ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 4, с. 63-66
УДК 550.31
К ВОПРОСУ О ВЕЛИЧИНЕ СМЕЩЕНИЯ ВНУТРЕННЕГО ЯДРА ЗЕМЛИ
© 2004 г. В. А. Антонов1, Б. П. Кондратьев2
1Главная астрономическая обсерватория РАН, г. С.-Петербург 2Удмуртский государственный университет, г. Ижевск Поступила в редакцию 28.11.2002 г.
Новым методом получены уравнения движения твердого внутреннего ядра Земли в окружающем его внешнем жидком ядре под действием приливной силы от небесных тел. Реальной является только приливная сила от Луны, а влиянием других небесных тел на внутреннее ядро нашей планеты можно пренебречь. Выяснено, что смещение твердого ядра возникает только от третьих гармоник возмущающего потенциала, причем приливная сила зависит от сплюснутости ядра и оказывает на него лишь незначительное воздействие. Конкретно установлено, что амплитуда колебаний ядра при учете Луны в качестве главного возмущающего тела оказывается ничтожно малой: в стационарном случае верхний предел смещения твердого ядра оказывается равным лишь 6.1 х 10-4 см. Это на порядок меньше результата, полученного ранее Н.Н. Парийским и почти на семь порядков меньше оценок смещения ядра, полученных другими авторами. Ключевые слова: внутреннее ядро Земли, приливные силы, гидродинамика.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время о динамике внутреннего твердого ядра Земли, а также о течениях в жидком ядре, нет четких представлений. В частности, вопрос о смещении внутреннего ядра как целого под действием приливных сил от внешних тел (практически надо учитывать только Луну) рассматривался в монографии [Авсюк, 1996], но, по нашему мнению, недостаточно полно и с погрешностями. Данная Авсюком оценка смещения ядра составляет около десяти метров (стр. 10 его монографии).
В работе [Чуйкова и др., 1997] сделана попытка анализа колебаний внутреннего ядра Земли под воздействием гравитационного и магнитного полей. Однако при конкретных расчетах все нелинейные члены в уравнениях движения были отброшены, то есть задача решалась в тривиальном линейном приближении. Данные расчетов оказались неполными; кроме частоты колебаний была дана только оценка стационарного смещения ядра Земли (оно оказалось равным порядка нескольких сотен метров; по порядку величины его можно оценить просто как следствие грушевидной формы Земли). В этой работе ничего, в частности, не говорилось о смещении ядра под воздействием других небесных тел. Но именно последнее и будет интересовать нас далее.
В оценке смещения твердого ядра Н.Н. Парий-ский [Парийский, 2000] дает совершенно другой результат. Используя потенциал гравитационного притяжения Луны на Землю в форме Мак-Кулло
GMM, CM,
V =--1--[A + B + C-3 J] (а)
r 2 r
(M1 - масса Луны, r - расстояние между центрами тяжести Земли и Луны, A, B, C - главные моменты инерции Земли, J - момент инерции Земли относительно направления r), он находит величину радиального приливного ускорения на центр твердого ядра равным (5 - склонение Луны, v -истинная аномалия, a - экваториальный радиус Земли)
А ar (5, v) = 0.495 GM^CzA (^^ 5). ^
rC
В итоге Н.Н. Парийский получил максимум смещения твердого ядра под воздействием Луны равным лишь 7 х 10-3 см.
В виду резкого различия в оценках смещения ядра у разных авторов необходимо рассмотреть этот вопрос заново, и желательно другим методом. Ниже вопрос о приливных эффектах и смещении внутреннего ядра мы рассмотрим, используя выражение приливного потенциала Луны на Землю.
Наш подход отличается от подхода Н.Н. Па-рийского (напомним, что он пользовался формулой Мак-Кулло), поскольку позволяет провести усреднение воздействия третьей гармоники на внутреннее ядро Земли. У Парийского никакого усреднения метод не предусматривает: действительно, Ааг из формулы (б) выражает приливное воздействие Луны лишь на одну центральную точку ядра. Именно в наличии усреднения мы усматриваем причину некоторого отличия нашего
результата от смещения, найденного Н.Н. Парий-ским.
2. О СИЛЕ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ВНУТРЕННЕЕ ЯДРО ЗЕМЛИ
Примем следующие обозначения: Ф - полный гравитационный потенциал внутри ядра, состоящий из двух частей Ф1 + Ф2, где Ф1 - потенциал самой Земли, а Ф2 - внешнего тела (Луны); ре и -плотности соответственно внешнего и внутреннего ядра Земли, предполагаемые здесь постоянными (эффекты неоднородности и сжимаемости практически не меняют результата); Яе и Я, -средние радиусы внешнего и внутреннего ядра Земли; Т и 5 - область пространства и поверхность внутреннего ядра; п - вектор внешней единичной нормали на поверхности раздела внутреннего и внешнего ядра; р - давление внутри жидкого ядра (вязкостью и магнитным полем пренебрегаем); у(ух, vy, v.) - вектор скорости течений в жидком ядре.
Ввиду крайней малости ожидаемых приливных течений, в уравнениях гидродинамики можно пренебречь инерционными членами, так что остается
д V 1
■-— =--grad р + grad Ф, divv = 0. (1)
д г Ре
Мы пользуемся системой координат, связанной с твердым телом Земли. Кроме того, в векторном уравнении (1) опущен член, представляющий центробежное ускорение, поскольку это ускорение заведомо мало и составляет всего 1-2% от внешней приливной гравитационной силы.
Формально уравнениям (1) удовлетворяет решение
V х = v у = v. = 0, р = Ре Ф. (2)
Это решение, однако, не совсем удовлетворяет граничным условиям, так как при движении ядра граница раздела, вообще говоря, подвижна. Обозначив вектор смещения центра инерции внутреннего ядра через И и соответствующую ско-—И
рость через w = — , находим решение системы (1)
при нулевой правой части, но смещающейся границе раздела (ф - потенциал скоростей)
V = grad ф, р = -р
—ф
а + w - ^п(wг) 1п = 0, (г = Яе),
кг' Г I
или
а
-24 = 1, а-24 = 0.
Я
я
Очевидно,
1 в 1 Я
а =--; Р = 2-
Я 2 я
ее
(5)
Полное решение получается суммированием обоих предыдущих
V = grad ф, р = реГф -—. (6)
Таким образом, поле скоростей и давление в жидком ядре найдены.
Изучим баланс сил, действующих на внутреннее ядро. Во-первых, это сила давления на него от жидкого окружения
= рП—5 = -РеДф -—ф)П—5 =
= - р-1[ф - <—;п)я, - Сп)я [I
п —5 =
= -Ре
Ф—п ^ Га Я, + 1
3 —г
(7)
= -Ре
Ш grad Ф—х—уй.
Я
1+Я:
3 3
4кяи——w_2Яз
3 —г Яъ
1-Я3
Я3
Во-вторых, есть сила непосредственного гравитационного воздействия на точки внутреннего ядра
^г
ф = аwг + р -3-;
г3
а + w - п(wг) - w 1п = 0; (г = Я1),
\ Г ' Г I
(3)
Е2 = Р;Ц1 gradФ —х—у.
(8)
Полная сила равна Е1 + Г2. Уравнения движения ядра имеют вид
Т
Т
К ВОПРОСУ О ВЕЛИЧИНЕ СМЕЩЕНИЯ ВНУТРЕННЕГО ЯДРА ЗЕМЛИ
65
з йг2
= (р; - Ре)|Цgradфйхйуйг ■
+
1 + *
4П Р; М; _$
3 я; йг2'
(9)
1-
я
Следовательно,
4 п Я2
2 я; + я;
Р; + —-з—-з- Ре
йТЪ йг2
2(яе - я;)
= (Р; - Ре )|Ц gradФ йхйуйг.
(10)
Отметим, что коэффициент при второй производной содержит, кроме самой массы внутреннего ядра, также и присоединенную массу [Ламб, 1947].
Основную часть потенциала дает притяжение самой Земли. Притом в состоянии покоя Ф1(х, у, z) -симметричная функция и поэтому интегрирование grad Ф1 дает нуль. Несимметричный член происходит от смещения внутреннего ядра. Это смещение дает как бы дополнительную плотность р; - ре на фоне симметричного распределения, так что соответствующая добавка к потенциалу
8Ф1 = 2КО(Р; - Ре) -2пО(Р; - Ре)
2-,
я2-
я2-;- (г + И)2
ПО(Р; - Ре)Иг.
(11)
Гравитационным влиянием на ядро от мантии Земли здесь можно пренебречь [Кондратьев, 2003].
Нас интересует приливная сила от Луны. Пусть положение ее центра инерции в системе отсчета, связанной с твердой оболочкой Земли, дается вектором г'(х', у', ¿). Разлагаем гравитационный потенциал Луны, Ф2 в ряд по степеням координат х, у, z (без штрихов!) внутренней точки Земли. Члены первого порядка несущественны, так как они дают ускорение, действующее на Землю целиком, исключаемое у нас фиксацией положения твердого тела Земли. Эффект от члена второго порядка (для краткости мы его не выписываем) симметричен относительно начала координат и также не относится к делу. Возможное воздействие начинается только с членов третьей степени
Ф2 = От
,5( г г' ) 3 - 3 Г2 (г г' ) г2
7 ,
2 г'7
(12)
где т - масса Луны. Тогда
^ ^ .[ 15(гг')2-3г,2г2]г'-6г'2(гг')г
gradФ2 = От -—-—--7---——. (13)
2 г'
Очевидно, интеграл от этого grad Ф2, по точному шару был бы равен нулю, поскольку любая сферическая гармоника порядка >1, усредняясь по всей сфере, дает нуль. Стало быть, в данном пункте приходится учитывать несферичность внутреннего ядра Земли. По современным данным [Буллен, 1978], оно имеет форму слегка сжатого сфероида с квадратом эксцентриситета е2 ~ 5 х 103. Обозначим полуоси этого сфероида через а, с. Результаты интегрирования по телу ядра дают
|Ц( гг' )2 йxйyйz = |Ц( хХ + уу' + zz' )2 йxйyйz =
4па4с, ,2 ,2Ч 4па2с3 ,2 (Х + у ) + Z ;
15
И! г2 йxйyйz =
15
8 па4 с 4па2 с +
15
15
!!!(гг' )2 гйxйyйz =
Т
= |Ц[x(xХ + уу' + zz'), у(xХ + уу' + zz'),
z (xХ + уу' + zz') ]йxйyйz =
4па4с , 4па4с , 4па4с Х, -7--— у , —ГТ— Z |.
15
15
15
Вместе:
Ц! grad Ф2 йxйyйz =
2пОт'а2сггс, 2, ,2 ,2Ч 2 ,2
5 г"
{[5 (а (Х + у ) + с Г) -
- (2а2 + с2)г'2 ]г' - 2г'2(а2У, а2у', Л')} =
2кОт'а2сгг, 2, ,2 ,2, , 2 ,2-, , = --— {[5 а (Х + у ) + 5 с z ]Х -
5 г'7
- (2а2 + с2)г'2Х - 2а2Х(х'2 + у'2 + z'2) +
+ [ 5а2( х,2 + у'2) + 5с2 z•2 ] у'- (2а2 + с2)г'2у' - 2а2у'(х'2 + у'2 + z'2) + + [ 5а2( х,2 + у'2) + 5с2 z•2 ] у'-
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
- (2 а2 + с2) г'2- 2 а2 г'( х'2 + у'2 + г'2)} =
2пОт'а2с Г ,. 2 2Ч, ,2 ,2 . ,2Ч = --— {х (а - с )(х + у -4. ) +
5 г'1
+ у' (а2- с2)(х,2 + у'2-4 г'2) + + г' (а2- с2)(3 х'2 + 3 у,2-2г'2)}.
Рассмотрим, согласно (10), уравнение движения твердого ядра в х - направлении
есть x ~ r, находим
4 п R3
Pi +
2 п Gm'R
,5
2 R 3 + R -
3 3 re
2( R3 - R3)
(Pi - Pe) e2 (x'2 + y'2-4 Z2) X-
d2 hx
dt
5Г
.,7
(15)
4 п GR- 2
■—5—(Pi- Pe) hx>
10
(Pi - Pe)Г'
.,7
3 m'e2(x,2 + y,2-4z'2)r2 ,
hy = -г-----y;
10
(Pi- Pe)Г
7
(16)
= 3 m' e2 ( 3 x' 2 + 3 y' 12 - 222 Z 12 ) R 2 , Z =10 ( P i - P e) r'7 Z' Встречающиеся здесь постоянные равны
25
-4
hx ~ hy ~ 6.1 х 10 см.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
(17)
где е - эксцентриситет ядра Земли. Нас интересует максимальная а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.