РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 45-51
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.574.6
К ВОПРОСУ О ВЫБОРЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК КОЛЛОКАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ © 2015 г. В. Г. Кошкидько, Э. С. Сердюк
Инженерно-технологическая академия Южного федерального университета Российская Федерация, 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44 E-mail: kvg59@mail.ru Поступила в редакцию 16.04.2014 г.
Рассмотрен вопрос о выборе системы точек коллокации при решении интегродифференциальных уравнений электродинамики методом Крылова-Боголюбова. На примере простой дифракционной задачи приведены варианты решения при двух различных системах точек коллокации: первая система точек коллокации (традиционная) выбрана так, что крайние точки не попадают на границы интервала, во второй системе крайние точки попадают на границы. Показано, что для решения задачи могут быть использованы обе системы, однако при использовании второй системы заданную точность удается получить при меньшем числе точек коллокации.
DOI: 10.7868/S003384941501009X
ВВЕДЕНИЕ
Решение различных электродинамических задач часто сводится к решению интегральных (ИУ) или интегродифференциальных уравнений (ИДУ). Практически важные ИУ и ИДУ электродинамики имеют вид [1]:
J u (x')K (x, x')dx' = f (x),
(1)
N
u(x) = XUn^n (x),
затем выбирают систему пробных функций ¥ т (х), образуют скалярное произведение левой и правой частей с ¥ т (х). В результате исходное ИУ или ИДУ сводится к системе линейных алгебраических уравнений порядка N
Си = Р,
где
+ к2 ^ |и (х')К (х, х')Сх' = / (х) (2)
а
и содержат в ядрах К (х, х') логарифмическую особенность. Некоторые характерные уравнения вида (1) и (2) имеют известное аналитическое решение, которое является основой для проверки точности численного решения. Однако аналитические решения можно получить только для некоторых частных случаев, поэтому на практике, как правило, используются численные методы. Сравнительные примеры аналитического и численного решений характерных ИУ даны в [2].
Для численного решения как ИУ, так и ИДУ наиболее часто используется метод моментов, согласно которому неизвестную функцию и (х) представляют в виде разложения в ряд по системе базисных функций Ъпп (х):
P =
Jf (xи (x)dx,
для ИУ
Cmn = JJV и (x)^n (x') K (x, x') dx' dx,
для ИДУ
b b
Стп = ^ + к к) Я^ т (х Нп(х) К (х, х)Сх' Сх,
а а
т, п = 1,2,..., N.
В частном случае метода моментов — в методе Крылова—Боголюбова — в качестве базисных используются кусочно-постоянные функции, а в качестве пробных — 8-функции [2]:
^n (x) = Пn (x) =
1, x 6 (xn - А2;xn + А/2),
n=1
0, x e (xn -А2;xn + А/2), ¥ m (x) = 5 (x - xm ) ,
a
a
х0 j X, XN - 1 XN \ XN + 1
\ —а / а c X
Рис. 1. Система точек коллокации 'x, для H-поляри-зации.
Рис. 2. Система точек коллокации xe для £-поляри-зации.
где xn и xm — координаты точек коллокации, А — интервал разбиения.
1. УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПРИ ВЫБОРЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК КОЛЛОКАЦИИ
При решении задач дифракции на отверстии в идеально проводящем экране уравнение (1) соответствует случаю H-поляризации, а уравнение (2) — E-поляризации падающего поля.
Случай H-поляризации. Искомое поле u (x) = = Ex (x) является перпендикулярным к ребру вблизи точек x = a и x = b. Перпендикулярные к ребру компоненты искомого поля Ex должны удовлетворять условию на ребре [1], определяющему характер поведения компонент поля:
|E*| = O (Р-1/2),
где р — расстояние до ребра. Таким образом, составляющая электрического поля E x имеет особенность в окрестности кромок:
lim \EX\ = да. (3)
x ^a,b
Решение должно удовлетворять граничному условию (3). Для удовлетворения этого условия участок [a, b] разбивают на N интервалов, а точки xn берут в середине каждого интервала. Иллюстрация такого разбиения (обозначим его xf) представлена на рис. 1. Следовательно, точки xn не будут принимать значения а и b, т.е. особенность (3) исключается, поэтому никаких проблем при численной реализации решения в случае ^-поляризации не возникает.
Случай E-поляризации. Искомое поле u (x) = = Ez (x) является касательным к ребру вблизи точек x = a и x = b. Касательные к ребру компоненты поля Ez должны удовлетворять условию
E\ . = 0. (4)
Z\x=a,b
Если воспользоваться системой точек xh, применяемой для H-поляризации, то, строго говоря,
условие (4) не будет удовлетворено, поскольку крайние точки коллокации будут располагаться на некотором расстоянии от ребра (х = а и х = Ь). В результате искомое решение и (х) = Е^ (х) в этих точках будет принимать конечное значение, не обязательно равное нулю.
В связи с этим при численном решении ИДУ (2) с граничным условием (4), различные авторы обычно поступают следующим образом:
1) используют систему точек коллокации хк
[1]. В этом случае для достаточно точного удовлетворения граничного условия (4) необходимо, чтобы крайние точки располагались как можно ближе к ребру, чего можно достичь при достаточно большом числе точек коллокации;
2) используют такую систему точек коллока-ции (обозначим ее хе), при которой крайние точки попадают на границы интервала х = а и х = Ь
[2]. При такой системе точек условие (4) выполняется строго. Иллюстрация такой системы приведена на рис. 2;
3) используют более сложные базисные и пробные функции [2], позволяющие более точно представить искомое решение и в то же время удовлетворить граничному условию (4): например, систему треугольных базисных функций шириной 2Д или систему базисных сплайн-функций шириной 4Д (рис. 3). Недостаток использования подобных функций состоит в том, что для расчета коэффициентов матрицы Ст„ требуются значительные вычислительные ресурсы, связанные с необходимостью применения численного интегрирования.
С точки зрения экономии машинного времени варианты 1 и 2 по сравнению с вариантом 3 являются наиболее предпочтительными, так как используются более простые базисные и пробные функции, позволяющие рассчитывать элементы матрицы аналитически без применения численного интегрирования.
Данная работа посвящена сравнению этих двух вариантов при решении ИДУ (2) с граничным условием (4) с целью определения возмож-
Рис. 4. Постановка задачи — щель в идеально проводящем экране.
ности использования одинаковой системы точек коллокации (вариант 1) для решения ИУ (1) и ИДУ (2).
На примере задачи дифракции плоской падающей волны на щели в бесконечно тонком идеально проводящем неограниченном экране, рассмотрим вопрос влияния выбора системы точек коллокации и их числа на точность решения.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задачу сформулируем следующим образом. В бесконечно тонком идеально проводящем неограниченном экране имеется щель шириной с = 2а (рис. 4).
Неограниченное пространство разделено экраном на две области: область У1 с параметрами ё(, и область У2 с параметрами б2, ц2. Первичное поле возбуждается в области У1 плоской волной, падающей под углом 9, отсчитываемым от нормали к плоскости экрана. Все параметры конструкции не зависят от координаты г, т.е. задача двумерная. Требуется найти распределение поля Ег (х) в щели для ^-поляризации падающей волны.
Для касательной составляющей электрического поля ИДУ имеет вид:
2 Л а
-д-- + к21 | и (х')К (х, х')ёх' = / (х), (5)
где
u(X') = Ez (X'), K(x,x)=Ho(k\x - x'|), f (x) = -kW x
x cos2 (O)exp [-jkx sin (0)], k = 2яД — волновое
число, W = WqV^Í = 120^/^1 — характеристическое сопротивление среды. Для упрощения выкладок считаем, что параметры первого и второго полупространств одинаковы (6 1 = 6 2 = §, = = ц).
3. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
Для решения полученного ИДУ применен метод Крылова—Боголюбова. Для получения коэффициентов матрицы Стп была использована методика, предложенная в [1]:
С = Н1-) (к|хт - х„ + А|) - Н(-) (к|хт - хв - А|) _ т'" Wsign (хт - хп + А) Wsign (хт - х„ - А)
А (6)
к | Н0-) (
W
|xm - xn + x')dx',
-А
a
где sign(Z) — функция знака ф 0) :
[ 1, Z> 0, I-1, Z< о.
Для вычисления цилиндрических функций
sign (Z ) =
(7)
H02 (у) и Н( 2 (у) на ЭВМ было использовано представление в виде ряда из шести членов с погрешностью в < 10-7 из [3]:
Для |у| < 3 ^(у) = /о(у) - У (у); Hl(2) (у) = Jl (у) -
- У (у);
J о (y) ^ £ (-1)"
^о (y) ^ (2 )J о (y)+£ь» (() ;
j1 (y) = y
2n
£ (-1)"
n=0
y (y) = ^
y
2n
nln (2 )J 1 (y )+£ dn (3
n=0
'1.0000000l
2.2499997 1.2656208 0.3163866 0.0444479 0.0039444
v0.0002100,
r 0.5000000 l 0.56249985 0.21093573 с = 0.03954289 0.00443319 0.00031761 v0.00001109 Для |y|> 3
b =
0.36746691 i 0.60559366 -0.74350384 0.25300117 -0.04261214 0.00427916 -0.00024846
d =
^0.63661980l 0.2212091 2.1682709 -1.3164827 0.3123951 -0.0400976 0.00278773
J0 (y) - -I /0COS (00 ); Y) (y) - -г ./0sin (ö0 ); Vy Vy
= y + £ 0 n ( 31 ; /0 = £ /
n=0
n=0
j1 (y) - -t/1 cos (01 ) ; yj (y) - -1 /1 sin (01 ) ; Vy Vy
6 xn 6 N n
01 =y + £0n(3);f1 = £Л(3];
n=0
^-0.78539816^1 -0.04166397 -0.00003954 0.00262573 -0.00054125 -0.00029333 0.00013558
v
/ =
y
0.79788456 1 -0.00000077 -0.00552740 -0.00009512 0.00137237 -0.00072805 0.00013558
v
j
^-2.356194491 0.12499612 0.00005650 -0.00637879 0.00074348 0.00079824 -0.00029166
/ =
0.79788456 1 0.00000156 0.01659667 0.00017105 -0.00249511 0.00113653 -0.00020033
Представление функции Неймана У0 (у) в виде выделенной логарифмической функции и гладкой части позволяет получить аналитическое выражение для первообразной от функции Ганкеля [4]:
F(у) = ¡H02) (y)dу =
= Y {(у) - i(n(Цу) - F1(y) + F2(y))
(8)
где
f0 (y ) = £ ^ n ' ^ 2n + 1
n=0
2n
3) • F1 «=n
(-1)V
"On + D
£
2(3)
\ 2n
F2 (y) = b - £
n=1
(-1)nbn
2n +1
2n
Тогда с учетом соотношений (7) и (8) выражение (6) для расчета коэффициентов матрицы Стп примет вид:
С = ЯР (к|хт - хп ) ЯР (к|хт - хп -А|) -
т,п (хт - хп +А) (хт - хп - А) (9)
(Б (хт - хп - А) + Б (хт - хп + А)} .
УУ
Таким образом, получено компактное выражение для расчета коэффициентов матрицы Стп, позволяющее полностью избавиться от численного интегрирования в (6), что заметно сокращает время расчетов.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Полученные выражения были использованы дл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.