МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.38
© 2008 г. Н.Б. ВАВИЛОВА, А.А. ГОЛОВАН, Н.А. ПАРУСНИКОВ
К ВОПРОСУ ОБ ИНФОРМАЦИОННО ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СХЕМАХ В КОРРЕКТИРУЕМЫХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Ранее было показано [1], что задачу коррекции инерциальных навигационных систем (ИНС) при помощи информации, дополнительной по отношению к инерциальной, можно решать как путем оценки ошибок ИНС по ее выходным данным, так и путем введения обратных связей в навигационный алгоритм ИНС. В рамках линейной теории было также показано, что любая комбинация указанных двух схем информационно эквивалентна одной из них, когда задача коррекции решается как задача чистого оценивания. Была описана процедура построения соответствующих алгоритмов. Хотя вопрос был решен с достаточной степенью полноты, в настоящее время, как следует из опыта нашего общения с разработчиками, в его понимании нет ясности. Такое понимание особенно важно, когда задача коррекции решается с использованием грубых датчиков первичной информации, например, MEMS-датчиков, что актуально в последнее время.
Изложенное ниже следует рассматривать как некоторые дополнительные разъяснения к ранее сказанному. Особенно важны здесь иллюстрирующие примеры.
1. Задача коррекции в инерциальной навигации. Несмотря на появление в последнее время многочисленных терминов в области навигационных систем таких, как "комплексная обработка информации", "интегрированные навигационные комплексы, тесно- или слабосвязанные", будем, как и прежде, пользоваться термином "задача коррекции ИНС", подчеркивая тем самым разделение информации на основную (инерциаль-ную) и дополнительную (внешнюю по отношению к инерциальной).
Рассмотрим постановку задачи коррекции ИНС в общем виде. Как известно, ИНС может рассматриваться как числовая модель двух механических объектов: материальной точки - приведенной чувствительной массы блока акселерометров (ньютономет-ров) и приборного трехгранника, в осях которого акселерометрами измеряется сила, приложенная к этой чувствительной массе. Оба эти механических объекта описываются уравнением X = F(X, U), где X - вектор состояния, U - внешнее воздействие, доступное измерению. Для определения текущего значения вектора состояния X привлекаются два вида информации, условно называемые основной и дополнительной.
Основной информацией являются X0 = X(t0) + x0, где x0 - ошибка начального знания
вектора состояния, U(t) = U(t) + u(t), u(t) - инструментальная погрешность измерения, U - информация о силе, действующей на чувствительную массу и информация об угловой скорости приборного трехгранника [1].
Пусть дополнительная информация описывается уравнением Z*(t) = G(X) + r(t), где r(t) - инструментальная погрешность. Такую информацию могут доставлять, например, приемники СНС, астродатчики, датчики путевой скорости.
Принципиально важно, что совокупная информация X0 , U, Z* избыточна. Избыточность понимается как неоднозначность определения вектора состояния в том случае, когда вся исходная информация идеальна, т.е. x0 = 0, u(t) = 0, r(t) = 0.
Встает вопрос о том, каким образом строить систему, определяющую вектор состояния так, чтобы точность определения этого вектора была в каком-то смысле наилучшей.
Ниже рассматривается схема, позволяющая поставить и решить задачу оптимизации. Эта задача при достаточно малых величинах x0, u, r может быть решена в линейной постановке. Структуры систем, информационно эквивалентных друг другу, могут быть различны. Одна из них состоит в следующем. Пусть основная информация вводится в систему, которую будем обозначать I, в соответствии с модельными уравнениями:
X1 = F(X, U), X(t0) = X0 Уравнение ошибок такой системы относительно вектора x(t) = X(t) - X(t) имеет вид
, , dF(X, U') dF(X, U') „ . ,,
x = Ax + q, A = —-dX—> q =—¿¡U—u > x ( to ) = xo (1-1)
Введем величину г = 7* - О(Х). Разлагая О(Х) = С{Х + х) в ряд Тейлора и оставляя только линейные члены разложения, получим
7 _ Нх + г н _ эасх) _ эо(Х)
г _ Нх + г, н _-_-а2)
Задача сводится теперь к определению (оцениванию) величины х, удовлетворяющей уравнению (1.1) при помощи величины г. Пусть выбраны математические модели инструментальных погрешностей q и г, соответствующий этим моделям критерий и построен алгоритм (оператор) Ь, доставляющий оценку X = Ь[г} такой, что он минимизирует ошибку оценки Ах = х - X с точки зрения выбранного критерия.
Тогда оценка X находится из соотношения X = X - хх. Ошибка Ах оценки величины х оказывается, таким образом, ошибкой оценки вектора состояния X.
Величину г будем называть вектором коррекции, а саму задачу определения величин
х, X - задачей коррекции.
Очевидно, что любое решение по определению вектора состояния X при помощи совокупной информации XI), и, 7* в рамках принятых моделей с точки зрения точности
не улучшаемо по сравнению с только что описанной процедурой, подобно тому, как, имея информацию о том, насколько уходят часы, нельзя путем поворота стрелок сделать их точнее этой информации. Ссылки на теорему о двойственности (см., например, [3]), как это иногда делается в рассматриваемом случае, некорректны. Тем не менее, время от времени возникает идея улучшить точность системы за счет введения в ИНС обратных связей при помощи дополнительной информации. Но введение обратных связей может оказаться целесообразным при той же выходной точности системы для сохранения линейности задачи при больших инструментальных погрешностях. Возможны иные причины, например, требуется малость ошибок ориентации приборного трехгранника.
В триаде "математическая модель инструментальных погрешностей, критерий, алгоритм" первичной является модель погрешностей. Пока не сформулирована такая модель, задача определения вектора состояния не может быть корректно поставлена. Описание такой модели в инженерной практике называют, обычно, техническими усло-
виями (ТУ), но выбор адекватной модели погрешностей составляет наиболее трудную и неформальную часть задачи.
Как правило, в качестве математической модели инструментальных погрешностей выбираются линейные дифференциальные уравнения с известными коэффициентами. Те составляющие погрешностей, которые не укладываются в такую модель, входят в уравнения как возмущения. Эти возмущения будем называть немоделируемыми. Кстати заметим, что в состав математических моделей погрешностей включаются также модели электромеханических блоков, входящих в состав измерителей (например, усилители).
Итак, принимается такая модель величин q и г, что уравнения (1.1) и (1.2) приводятся к виду:
х = Ах + Г1 к +
К2 = Г3К2 + Сэ, г :
К1 = Г2 К1 + С2
Нх + Г4 К2 + £
(1.3)
Здесь Г; - известные матрицы, в общем случае зависящие от времени; £, I = 1, 2, 3 -немоделируемые возмущения, относительно которых должны быть приняты те или иные гипотезы. Чаще всего полагается, что эти величины - белые шумы с известными интенсивностями.
Введенная соотношениями (1.3) модель инструментальных погрешностей достаточно универсальна и гибка и, как показывает опыт проектирования навигационных систем, весьма конструктивна. Ее частным случаем является широко используемая модель, в силу которой компоненты инструментальных погрешностей представляются суммой двух слагаемых: первое слагаемое - конечномерное разложение по известным базовым функциям, второе слагаемое - стационарный случайный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью.
Обобщением указанной модели служит модель, в которой некоторые элементы матриц Г; неизвестны. Такая модель при построении алгоритмов навигационных систем приводит к адаптивным задачам.
Иная модель предполагает введение ограничений на компоненты векторов q и г (а также, может быть, на их первые, вторые и более старшие производные). Подобная модель обычно связывается с минимаксным критерием и задачей о накоплении возмущений. Две последние играют при построении алгоритмов оценки чаще всего вспомогательную роль.
Введем обозначения
( \ X ' А Г1 \ 0
5= К1 , А 5 = 0 Г2 0
К2 2 V 0 0 Гэ ,
Н
5 = (НОГ4), С1
(£ £ £)
в которых перепишем соотношения (1.3):
5 = + С, г = + С (1.4)
Задача состоит теперь в том, чтобы на основании (1.4) построить наилучшую в некотором смысле оценку 5 вектора 5 и тем самым получить оценку х для вектора х.
В качестве алгоритма (оператора) Ь, доставляющего оценку 5 вектору 5, в подавляющем числе случаев выбирается оператор, описываемый следующими соотношениями
5 = А55 + К(г - Н55), 5(*о) = 5о
Уравнение ошибок оценки относительно величины А£ = £ - £ имеет вид
А£ _ (А£ - КН£)А£ - Ке (1.5)
Матрица К называется матрицей усиления или коэффициентом усиления. Она подлежит выбору из условий минимизации, в том или ином смысле, величины А£. При условии, что принята гипотеза о том, что е - белые гауссовые шумы, оптимальные К выбираются по методу калмановской фильтрации.
Итак, описан вариант решения задачи коррекции как задачи "чистого" оценивания. Возможна иная, информационно эквивалентная по точности, функциональная схема решения задачи, в которой полностью или частично для коррекции используются интеграторы основной системы. При таком способе в систему I вводятся обратные связи.
Прежде чем описывать такие системы, запишем более подробно соотношения (1.4), (1.5). Уравнения коррекции имеют вид:
х _ Ах + Г11С1 + Кг - нх - Г4к2) К1 _ Г21С1 + К2 (г - Нх - Г4к2)
К2 _ Г3к2 + К3(г - Нг- Г4к2)
Уравнения ошибок оценки записываются в форме Ах _ А Ах + Г1 Ак1 - К 1( НАх + Г4 Ак2) - К 1е + ^
А1С1 _ Г2Ак1 - К2(НАх + Г4Ак2) - К2е +
Ак2 _ Г3Ак2- К3(НАх + Г4Ак2) - К3е +
Рассмотрим теперь систему I*, в которой в блок I введены обратные связи. Пусть алгоритм системы I* описывается модельными уравнениями
X* _ ^ (X *, и) - К1 (г*- Г4 к2) - Г1 к1
К1 _ Г21с1 + К2(г* - Г4к2), 1С2 _ Г3к2 + К3(г* - Г4к2) г* _ 7*- О(X*) _ Нх* + Г4к2 + е
где х* = X - X* - ошибка определения системой I* вектора состояния X.
Уравнения ошибок системы I* относительно величин х*, Ак1, Ак2 имеют вид
х* _ Ах* + Г1Ак1 - К 1(Нх* + Г4Ак2) - К 1е + С1 Ак1 _ Г2Ак2 - К2(Нх* + Г4Ак2) - К2е + С2 Ак2 _ Г3Ак2 - К2(Нх* + Г4Ак2) - К3е + С3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.