Статья поступила в редакцию 31.08.15. Ред. рег. № 2335
The article has entered in publishing office 31.08.15. Ed. reg. No. 2335
УДК 536.21 doi: 10.15518/isjaee.2015.17-18.016
К ВОПРОСУ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ПОЛЯ ТЕМПЕРАТУР В СТЕНКЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
А. В. Машков
Филиал НИУ «МЭИ» в г. Волжском 404110 г. Волжский, Волгоградская обл., пр. Ленина, д. 69 Тел.: (8443) 210160, факс: (8443) 210166, e-mail: vfmei@vfmei.ru
Заключение совета рецензентов: 03.09.15 Заключение совета экспертов: 06.09.15 Принято к публикации: 09.09.15
Предложена расчетная схема построения приближенных решений стационарного двумерного уравнения теплопроводности без внутренних источников тепла вариационными методами для эллиптической трубы постоянной толщины. При построении и решении уравнения теплопроводности в стенке эллиптического цилиндра используется криволинейная система координат специального вида, учитывающая геометрию сечения. В качестве иллюстрации рассмотрены два примера решения краевой задачи при граничных условиях первого рода в виде заданных функций и в виде постоянных значений температуры.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, эллиптическая труба, вариационные методы.
TO A QUESTION OF APPROXIMATE CALCULATIONS OF A STATIONARY FIELD OF TEMPERATURES IN A WALL OF THE ELLIPTIC CYLINDER OF EQUAL THICKNESS BY A VARIATIONS METHOD
A.V. Mashkov
Volzhsky Branch of the National Research University «Moscow Power Engineering Institute» 69 Lenin str., Volzhsky, Volgograd reg., 404110, Russia Tel.: (8443) 210160, fax: (8443) 210166, e-mail: vfmei@vfmei.ru
Referred: 03.09.15 Expertise: 06.09.15 Accepted: 09.09.15
The calculation scheme of creation of approximate solutions of the stationary two-dimensional equation of heat conductivity without internal sources of heat by variation methods for an elliptic pipe of constant thickness is offered.
At creation of the equation of heat conductivity in a wall of the elliptic cylinder the curvilinear system of coordinates of a special type considering geometry of section is used. As an example, two examples of the solution of a border task are reviewed under boundary conditions of the first sort in the form of the set functions and in the form of constant values of temperature.
Keywords: equation of heat conductivity, an elliptic pipe, variation methods.
Александр Васильевич
Машков Alexander V. Mashkov
Сведения об авторе: канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры «Теплоэнергетика и теплотехника» ВФ МЭИ.
Образование: Саратовский госуниверситет (1972).
Область научных интересов: нелинейная теория упругости высокоэластических материалов, теория теплопроводности в твердых телах, методы математической статистики в моделировании процессов теплоэнергетики. Публикации: более 60.
Information about author: Ph.D. (Tech.), associate professor, professor of the Department of «Heat power engineering and heat engineering» Volzhsky Branch of the Moscow Power Engineering
Institute.
Education: Saratov State University (1972).
Research area: nonlinear elasticity highly elastic materials, the theory of heat conduction in solids, statistical methods in modeling of the processes of heat and power engineering. Publications: more than 60.
Введение
В настоящей работе предложен вариант приближенного расчета стационарного поля температур в стенке трубы эллиптического сечения равной толщины вариационным методом с использованием специальной криволинейной системы координат.
В технике наряду с цилиндрическими трубами в ряде случаев используются трубы эллиптического сечения. Расчет поля температур в стенке эллиптического цилиндра представляет собой самостоятельную, существенно двумерную задачу, решение которой не может быть получено на основании известных решений для кругового цилиндра. Одним из вариантов технологии изготовления труб эллиптического сечения является метод прокатки на оправке эллиптического сечения. При такой технологии толщина стенки трубы S = const по периметру постоянна, а внутренняя поверхность трубы представляет собой эллиптический цилиндр с полуосями a и b (a > b). Длина L эллиптической трубы предполагается значительно большей, чем большая полуось эллипса L >> a. В силу предположения о стационарности задачи и условия L >> a задача расчета поля температур в стенке эллиптического цилиндра рассматривается как плоская. При этом элемент объема, элемент поверхности и другие характеристики рассчитываются на единицу длины трубы. Внутренние источники тепла в стенке трубы отсутствуют.
Анализ
Решение для толстостенной эллиптической трубы равной толщины строится с использованием специального вида системы координат и вариационных методов решения полученного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
Рис. 1. Расчетная схема сечения эллиптической трубы. (ф, s) криволинейная система координат. Вектор-радиусы точек M0 и P: 70 = OM0; 7 = ОР Fig. 1. Design scheme of elliptical cross section of the pipe. (ф, s) curvilinear coordinate system. Vector-points and radii: Mo and P: 70 = OM0; 7 = ОР
Таким образом, рассматриваемая эллиптическая труба имеет сечение, ограниченное с внутренней стороны базовым эллипсом (кривая Ь\, рис. 1), а с внешней стороны - эвольвентой эволюты базового эллипса. Толщина стенки предполагается постоянной по периметру сечения. При этом каждая точка сечения внешней поверхности эллиптической стенки (эвольвента Ь2, рис. 1) находится на одном расстоянии в направлении соответствующей нормали М0М к базовому эллипсу (кривая Ь1, рис. 1). Данная модель геометрии сечения эллиптической стенки соответствует возможной технологии изготовления эллиптических труб равной толщины методом прокатки листа на оправке эллиптического сечения.
При решении задачи используются декартова система координат (ОХУ1) с базисом (I, у, к), ось 1
которой направлена вдоль оси трубы, и специальная система координат. При введенных предположениях задачу можно считать плоской и имеющей симметрию относительно осей ОХ и О У. Поэтому рассматривается четверть сечения трубы в первом квадранте декартовой системы координат ОХУ1 с базисом (I, у). Пусть, соответственно, а и Ь - большая и
меньшая полуоси базового эллипса (рис. 1, кривая Ь\); М0(х0, у0) - произвольная точка базового эллипса; М00М - нормаль к эллипсу в точке М0; Р е М0М - произвольная точка нормали с координатами (хр,ур); 70 и 7 - радиусы-векторы точек М0 и М; п - единичный вектор в направлении нормали М0М; ф и ф - углы, образованные, соответственно, радиусами-векторами 70 и 7 с осью ОХ; ю - угол, образованный нормалью
ММ с осью ОХ; 5 - длина вектора М0Р (0 < 5 < 5).
Угол наклона касательной ю находится через угол ф (рис. 1) с использованием углового коэффициента нормали к эллипсу [1] в виде
tgю = (а/Ь)tgф . (1)
Результаты и их обсуждение
При введенных обозначениях вектор-радиус 7 произвольной точки нормали Р(хр, ур) может быть представлен в виде
г = r + 5 • n ,
(2)
где единичный вектор в направлении нормали п является функцией угла ф и равен
n (ф) = i cos ю + j sin ю .
(3)
Используя тригонометрические выражения для собю и бшю через tgю, из (1), (2) и (3) можно получить выражение для вектора-радиуса 7:
a cos ф +
sb cos ф
+ í
b sin ф +
sa sin ф
где
p = т]a2 sin2 ф + b2 cos2 ф
(4)
(5)
-a sin ф-
sa 2b sin ф
+ J
b cos ф +
sab2 cosф
pa sin ф - pb cos ф -
■i +
p + sab p + sab
J
b cos ф a sin ф
+ J
_ p _ _ p _
(6)
(7)
основании (8), (9) и (5) коэффициенты Ляме [2] Hj, H2, H3 системы координат (ф, s) равны:
sab
Hj = p + -^; H 2 = H 3 =1. p
(11)
Из приведенных соотношений следует, что положение произвольной точки области сечения P(xp, yp) однозначно определяется углом ф и расстоянием s, отсчитываемым от точки М0 в направлении нормали ММ. Линия L2, ограничивающая область сечения с внешней стороны (рис. 1), является координатной линией и имеет уравнение s = S . Следует отметить, линия L2 не является эллипсом.
Для построения двумерного уравнения тепловод-ности вводится система координат (ф, s), в которой вектор-радиус 7 произвольной точки определяется (4). Координатными линиями в системе (ф, s) являются: ф = const - определяют положение нормали в точке М0 базового эллипса; s = const являются координатными линиями в рассматриваемой области, равноудаленными от базового эллипса. При этом значению s = 0 соответствует линия базового эллипса L1, то есть внутренняя граница рассматриваемой области. Значению s = S соответствует внешняя граница области L2 (рис. 1). В принятой постановке задачи функция температуры есть функция координат (ф, s): u = и(ф, s). Ко- и контравариантные векторы базиса (т\, 72, r3), (r1, 72, 7Ъ) введенной системы координат (ф, s) находятся из (4) в виде
Из (6), (7) и (11) следуют соотношения, связывающие векторы ко- и контравариантных базисов, а также вид оператора Гамильтона:
r1 =
1
r1; r = r2; r = r3 = k;
H2
- Э _2 Э 1 _ Э _ Э
У= г--+ г — =—- г1--+ г2 — .
Эф Эs Н1 Эф Эs
При решении задачи предполагается, что коэффициент теплопроводности материала трубы - величина постоянная, а внутренние источники тепла отсутствуют. Тогда с учетом (11) можно записать уравнение теплопроводности У«Уи = 0 (уравнение Лапласа) относительно функции температуры и = и(ф, s) в системе координат (ф, s) в виде [2]
1 dH2 du dH2 du
+ Hj-
Эф H2 Эф Эф ds ds
Используя выражение для р (5) и (11), (12) можно привести к виду
Э2и Эи Эи Э2и
— + Я(ф,^ — + 0(ф,+ Р(ф,= 0 , (13) Эф2 Эф Эs Эs
где переменные коэффициенты определяются равенствами
Я(ф, s) = _
_2_H = _ a2 - b2 p3 - 2sab H2 Эф 2p2 p3 + sab
s) = Hj = ;
ds p4
р(ф ) H 2 (p3 + sab)2 Р(ф, s ) = Hj =-4-.
sin 2ф;
(14)
- G-Ж
■a
ÜJ
с
О
+ Hj2^ = 0. (12) as
i
I
о
ю *
о
Л
с; о £
1
_2 b cos ф- a sin ф-
r =-i +-J ;
r3 = к = k .
(8)
Из (6) и (7) находятся скалярные произведения ковариантных векторов базиса:
r\-72 = 0; 71-73 = 0; 72 • 7 = 0; (9)
7г-т[ = [р+sabр2 ] ; 72 • 72 = 1; 7 • 7 = i- (Ю)
Из (8) и (9) следует, что введенная система координат (ф, s) является ортогональной. При этом на
Граничные ус
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.