МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 512.972
© 2008 г. М.У. НИКАБАДЗЕ
К ЗАДАЧЕ О НАХОЖДЕНИИ У ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ
Более подробно чем в [1] изучены тензорные модули четного порядка и задача о нахождении собственных значений и собственных тензоров тензора любого четного ранга. Дано каноническое представление тензора модуля C2p(Q). Приведены некоторые утверждения и теоремы, касающиеся собственных тензоров для тензора четного ранга, а также сопряженного, нормального, эрмитова и унитарного тензоров модуля четного порядка. Следует заметить, что задача о собственных значениях и собственных тензорах для тензора модулей упругости была рассмотрена Я. Рыхлевским в 1983-1984 гг. Ранее она была изучена для тензора любого четного ранга И.Н. Векуа.
1. Локально гильбертовы комплексные модули тензоров. Рассмотрим некоторые общие вопросы тензорной алгебры, используя элементарные понятия алгебры и функционального анализа [1-9]. Обозначим через Cp(Q) множество комплексных тензоров1
рангаp > 0 из C(Q), где Q - некоторая область я-мерного риманова пространства R", C -множество комплексных чисел, а C(Q) - множество отображений f: Q ^ C. Предполагаем, что комплексные тензоры можно представить в виде W = U + iV, где U и V - вещественные тензоры. Следовательно, C0(Q) - кольцо скаляров (тензоров нулевого ранга). Нетрудно заметить, что множество Cp(Q) является модулем над кольцом скаляров C0(Q), т.е. Cp(Q) представляет ^^-модуль [1]. Число p назовем порядком модуля Cp(Q).
Если W = U + i Ve Cp(Q), то комплексно-сопряженный тензор имеет вид
W = U - i V e Cp(Q). В дальнейшем будем предполагать, что элементы модуля Cp(Q) -непрерывные тензоры в области Q и переход от одних координат к другим осуществляется при помощи гомеоморфизма некоторого класса Ck, k > 1. Поэтому, если тензор принадлежит классу Cm (0 < m < k) относительно одной, произвольно выбранной системы координат, то он принадлежит тому же классу относительно любой другой системы координат. Очевидно, принадлежность тензора классу Cm (m < k) является инвариантным его свойством. При k = «> можно рассматривать тензоры класса Сте.
1.1. Внутреннее r-произведение тензоров. Приведем определение внутреннего r-про-изведения тензоров.
Определение 1.1. Внутренним r-произведением тензоров A e Cp + r(Q) и В e Cq + r(Q)
r
называется тензор, который обозначается через D = A ® В и компоненты которого определяются следующим2 образом:
= (A ¿ В = Ak^BjZX (1.1)
1 Определение тензора см., например в [1, 3, 10-12].
2 Определения операции свертки и следа эндоморфизма можно смотреть в [3].
Итак, при внутреннем г-произведенни тензоров происходит сокращение 2г индексов. Поэтому во внутреннем г-произведении могут участвовать тензоры, ранг каждого из которых не меньше г. Если не происходит сокращение индексов (г = 0), то такое произведение называется прямым произведением тензоров.
г
Если р = q = 0, то будем опускать символ < и просто писать АВ. В этом случае внутреннее г-произведение назовем просто внутренним произведением. Оно, конечно, выра-
к^-.-к,.
жается формулой АВ = Лк к к В . Следует заметить, что если А и В - тензоры из
С(О) и внутреннее произведение АВ обращается в нуль для любого тензора В, то А = 0.
1.2. Локальное скалярное произведение тензоров. Локальная норма тензора. Угол между двумя тензорами. Введем в Ср(О) понятие локального скалярного произведения тензоров. Если Ш = У + гV, Ш' = У + гV б Ср(О) то выражение
(Ш, Ш')х = ШШ' = УУ' + VV, + г(VУ'- УV')
называется локальным скалярным произведением тензоров Ш и Ш' в точке х области О. Здесь УУ', VV', VУ' и УV' обозначают внутренние произведения соответствующих вещественных тензоров. Например, УУ' = У^^ ; У'12 р, где индексы принимают значения 1, 2, ..., п. Аналогично в силу (1.1) можно ввести понятие г-локального скалярного произведения. Пусть Ш б Ср + г(О) и Ш' б + г(О). Тогда г-локальным скалярным произведением тензоров Ш, Ш' называется тензор, обозначаемый через
О = (Ш, Ш')Хг) = Ш <15 Ш', компоненты которого определяются в виде О^2 =
= ^кк •к1к2-к^1 . Очевидно, при р = ' = 0 имеем О = (Ш, Ш ')х = ШШ' =
— клк*>-..к,, = жкк кЖ'12 г.
1 2 г
Легко показать, что в каждой точке х области О скалярное произведение обладает следующими свойствами:
(Ш, Ш')х = (Ш', Ш)х, УШ, Ш' 6 Ср(О)
Ш, Ш')х = (XШ, Ш')х = (Ш, ХШ')х, УШ, Ш' 6 Ср(О), 6 С (Ш + Ш', Ш'')х = (Ш, Ш'')х + (Ш', Ш'')х, УШ, Ш', Ш'' 6 Ср(О) (Ш, Ш' + Ш'')х = (Ш, Ш')х + (Ш, Ш'')х, УШ, Ш', Ш'' 6 Ср(О)
Из этих свойств следует, что (Ш, Ш') - билинейная форма. Кроме того, если Ш 6 Ср(О), то (Ш, Ш)х = УУ + VV > 0, причем знак равенства достигается только в том случае, когда Ш(х) = 0, х 6 О.
Определение 1.2. Неотрицательная функция ||Ш||х = 7(Ш, Ш)х = (УУ + VV)1/2 > 0, УШ 6 Ср(О) называется локальной нормой тензора Ш. Нетрудно доказать неравенства [1]:
1/, Ш') I <1Ш11ЛШIIх, ||Ш + ШЦх <|Ш11 х + 1 |Ш'||х, УШ, Ш' 6 Ср(О) (1.2)
где второе из них называется неравенством треугольника.
Из изложенного выше заключаем, что модуль Cp(Q) в каждой точке области О обладает свойством гильбертова пространства. В этой связи назовем его локальным гильбертовым пространством (модулем). Очевидно, C2p(Q) также является локальным гильбертовым модулем четного порядка, который в то же время является и кольцом с единицей, и алгеброй [1]. Заметим, что общие вопросы, касающиеся модулей и колец, рассмотрены в [4].
Определение 1.3. Будем говорить, что тензоры W, W' б Cp(Q) ортогональны в
точке х, если (W, W')x = WW' = 0.
Очевидно, для ортогональных тензоров имеет место теорема Пифагора
||W + W'II2 = IWII2 + IIW'II2, VW, W' 6 C(Q), х 6 О
Косинус угла между вещественными тензорами W, W' определяется формулой (W, W') х
cos ¥ = шгелf, VW, W' 6 C (°), х 6°
хи их
Отсюда, учитывая первое неравенство (1.2), получаем |со8< 1.
Следует заметить, что для множества тензоров заданного ранга справедливы все теоремы о линейной зависимости и линейной независимости множества векторов (тензоров первого ранга). С целью сокращения письма на них останавливаться не будем.
2. Задача о нахождении собственных значений и собственных тензоров для тензора ранга 2р. Поставим следующую задачу [1]:
Пусть А - некоторый тензор алгебры С2р(0). Найти все тензоры Ш модуля Ср(0), которые удовлетворяют уравнению р
А < Ш = XШ, где X - скаляр (2.1)
Уравнение (2.1) всегда имеет тривиальное решение Ш = 0. В дальнейшем, говоря о решении уравнения (2.1), будем иметь в виду только нетривиальные решения Ш ф 0. Итак, цель заключается в изучении условий существования нетривиальных решений уравнения (2.1) и указании способов их построения.
Если для некоторого скаляра X уравнение (2.1) имеет решение Ш б Ср(0), то X называется собственным значением тензора А, а Ш - правым собственным3 тензором, соответствующим собственному значению X.
Можно рассмотреть и следующую задачу: найти все тензоры Ш' модуля Ср(0), которые удовлетворяют уравнению р
Ш' < А = цШ', где ц - скаляр (2.2)
Если уравнение (2.2) для некоторого скаляра ц имеет нетривиальное решение Ш' б Ср(0), то ц называется собственным числом тензора А, а Ш' - левым собственным тензором, соответствующим собственному значению ц. Далее в основном речь пойдет о правом собственном тензоре, ибо для левого собственного тензора все подобные вопросы рассматриваются аналогично.
3 В [4] дано понятие собственного элемента и вводятся инварианты подобия эндоморфизма. Доказывается теорема Гамильтона-Кэли и т.п. При рассмотренном в [4] подходе многие известные результаты матричной алгебры [5] нетрудно переносятся на случай пространств эндоморфизмов, порожденных тензорами четного ранга. Ниже рассмотрены некоторые подчиняющиеся подобному переносу вопросы.
Заметим, что если Ш - решение уравнения (2.1) для некоторого скаляра X, то аШ, где а - произвольный скаляр, также будет его решением. Очевидно, всегда можно выбрать скаляр а так, чтобы удовлетворить условию ||аШ||х = 1, Ух е О. В самом деле, для этого
достаточно положить а = (||Ш||х)-1. Таким образом, решение уравнения (2.1) всегда можно нормировать условием ||Ш||х = 1, х е О. В этой связи в дальнейшем будем иметь в виду нормированные решения уравнения (2.1).
Если для собственного значения X уравнение (2.1) имеет к линейно независимых решений Ш1, ..., Шк, то их линейная комбинация а1Ш1 + ... + акШк, где а!, ..., ак - произвольные скаляры, также будет решением. Эти решения в силу теоремы Шмидта [1] можно ор-
тонормировать и полагать, что выполнены условия (Ш', Шу) = ^ к Ш ^ Р = 5у. Пусть Ш - нормированное решение уравнения (2.1) для некоторого собственного значения X. Умножая4 обе части уравнения (2.1) на комплексно-сопряженный тензор Ш , получим
X = Ш О А О Ш = ШАШ = Ш'1 "Л"А; ' ; ; ^ (2.3)
Правая часть этого равенства инвариантна относительно преобразований координат. Отсюда заключаем, что всякое собственное значение тензора А б С2р(О), если таковое существует, является скаляром. Учитывая Ш = Е О Ш = ЕШ (Е - единичный тензор [1] кольца С2р(О)), уравнение (2.1) можно представить в виде (ХЕ - А)Ш = 0 ((А - ХЕ)Ш = 0),
а в компонентах в форме (X^ - А1^ ■) Ш] ^у = 0, ц, ..., 'р;...,]р = 1, п, или коротко можно представить еще так:
(X5f- A¡•)= 0, ¡,] = 1, пр (2.4)
Отсюда заключаем, что система уравнений (2.4) (тензорное уравнение (2.1)) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда выполняется условие
бе^Е - А) = 0 (2.5)
Получено уравнение (2.5), инвариантное относительно преобразований координат, так как детерминант тензора модуля С2р(О) - инвариант [1]. Заметим, что
det(XЕ - А) = det(X5¡' - А'1) является детерминантом порядка пр. Поэтому, представив уравнение (2.5) в развернутом виде, получим алгебраическое уравнение относительно X степени пр:
пр пр 1 пр ^ пр -1 пР
Xn - а, X" - + аЛ? - + ... + (-1)п - а р X + (-1)п а „ = 0 (2.6)
п -1 п
где а!, ..., а р - скаляры, которые зависят от инвариантов тензора А. Видно, что исходя
из (2.2), получим те же самые соотношения (2.5) и (2.6) относительно ц. Отсюда следует, что X = ц. Для левых и правых собственных тензоров собственные значения один
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.