МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.36:531.352
© 2008 г. А.П. МАРКЕЕВ
К ЗАДАЧЕ О ПЛОСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЯХ СПУТНИКА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
Исследуется движение спутника - твердого тела относительно центра масс на эллиптической орбите малого эксцентриситета. Дан анализ нелинейной задачи о существовании и устойчивости периодических в орбитальной системе координат вращений спутника с периодом, кратным периоду обращения центра масс по орбите. Изучаются прямые и обратные вращения. В частности, найдено и исследовано множество бифуркационных значений безразмерного инерционного параметра спутника, в окрестности которых происходит ветвление периодических обратных вращений. Рассмотрены три конкретных примера приложения полученных общетеоретических выводов. В одном примере доказана устойчивость прямых резонансных вращений меркурианского типа. В двух других рассмотрена задача о ветвлении обратных вращений с периодом, отношение которого к периоду движения центра масс по орбите равно 1 или 2.
1. Функция Гамильтона. Рассматривается движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных моментов центрального ньютоновского силового поля. Спутник представляет собой абсолютно твердое тело, линейные размеры которого малы по сранению с характерным размером орбиты. Это позволяет считать [1], что движение спутника относительно центра масс не влияет на движение самого центра масс. Предполагается, что центр масс спутника движется по эллиптической орбите с эксцентриситетом e(0 < e < 1).
Пусть Oxyz - система координат с началом в центре масс O спутника. Ее оси Ox, Oy и Oz направлены вдоль главных центральных осей инерции спутника, соответствующие этим осям моменты инерции обозначим через A, B и С.
В данной статье изучаются плоские движения спутника. Для них одна из главных центральных осей инерции спутника (пусть это будет ось Oz) перпендикулярна плоскости орбиты. Пусть ф - угол, который составляет ось Oy спутника с радиус-вектором его центра масс относительно притягивающего центра F (фиг. 1). Для кинетической и потенциальной энергии спутника в его плоском движении относительно центра масс имеем следующие выражения (см., например, [1] или [2]):
3 Ю
T = 1 С(ф + V)2, П = -^Ц(1 + ecosv)3(B - A)cos2ф (1.1)
2 4 (1- e2)
где v - истинная аномалия, ю0 = 2п/т - среднее движение центра масс спутника, т - период обращения центра масс по орбите, точкой обозначено дифференцирование по времени t.
Дифференциальные уравнения плоских движений спутника будем записывать в га-мильтоновой форме. Пусть Рф - импульс, отвечающий углу ф. Тогда Рф = С( ф + V), а для функции Гамильтона имеем следующее выражение:
Р2
° = 2С~ PфV + П (1.2)
Будем изучать периодические вращательные движения спутника, предполагая, что орбита его центра масс слабоэллиптическая (0 < е < 1). Существенно нелинейная задача о существовании и устойчивости плоских периодических движений спутника на слабоэллиптической орбите впервые рассматривалась в статье [3] в рамках метода усреднения. Обширному численному исследованию задачи о существовании и устойчивости (в линейном приближении) этих движений посвящены работы [4-8]. Вопросы ветвления плоских периодических движений спутника численно и аналитически исследовались в работах [4-11].
Анализ, проведенный в данной статье, дополняет результаты упомянутых работ. В основе анализа лежат строгие качественные и аналитические методы теории возмущений гамильтоновых систем [12-15]. Задача об устойчивости решается в нелинейной постановке. При проведении громоздких выкладок применяются компьютерные системы аналитических вычислений.
Для записи функции Гамильтона в виде, удобном для исследования, сделаем каноническое (с валентностью 4/(Сю0)) преобразование ф, Рф ^ 5, р5 по формулам 5 = 2ф, р§ = 2(Рф/(Сю0) - 1) и вместо времени примем в качестве независимой переменной среднюю аномалию М. Тогда, принимая во внимание известные (см., например, [2, 16]) соотношения
Ю0 2
^ = -г-зд(1 + еcosv) , М = ЮоС? - ?о)
(1- е2)
где ?0 - время прохождения центра масс спутника через перицентр орбиты, получим, что дифференциальным уравнениям плоского движения спутника будет отвечать функция Гамильтона вида
1 2
Г = 2 Ps + 2 Ps
i _ ( I -i- e cos v ) 2
- 2 3/2
(1-e2) .
(1 + ecosv) s ,,
- y--3— cos5 (1.3)
(1- e2)
Здесь у = 3(А - B)/C - безразмерный инерционный параметр спутника. Случай у < 0 сводится к случаю у > 0 заменой 5 на л + 5. Поэтому, учитывая еще известное свойство моментов инерции |A - B| < C, в дальнейшем считаем, что 0 < Y < 3.
В (1.3) v - функция от M. При малых e имеет место [16] разложение
2
v = M + 2sin Me + 5/4sin2 Me + ... и функция Г представляется в виде ряда
Г = p5/2- у cos 5 - e(4p5 + 3y cos 5) cosM -
2 (1.4)
-e [3уcos5 + (10p5 + 9ycos5)cos2M]/2...
где многоточием обозначена совокупность членов выше второй степени по e, несущественная аддитивная постоянная отброшена.
2. Переход к переменным I, w. Пусть при e = 0 движение спутника представляет собой вращение в орбитальной системе координат. Возмущенную систему с функцией Гамильтона (1.4) удобно исследовать в переменных I, w, которые являются переменными действие - угол в невозмущенной (при e = 0) задаче. Согласно [2] эти переменные можно ввести по следующим формулам:
5 = 2oam (—Л" wj, p5 = 2 о
w (2.1)
где о = ±1, причем верхний и нижний знаки отвечают соответственно прямым и обратным вращениям. В (2.1) и всюду далее применяются стандартные обозначения для эллиптических функций и интегралов [17].
В переменных I, w функция Гамильтона (1.4) принимает вид
H = H0 + eH1 + e2 H2 + ... (2.2)
H0 = 2y /k2, H1 = g^os M, H2 = g0 + g2cos2 M (2.3)
g1 = 6ysn2Л"wj - 8о
kdni Ш
w - 3 y (2.4)
go = 3y sn2 k wj -2 y (2.5)
g2 = 9y sn2 (^ wj - 10 о #dn (^ wj - 9 Y (2.6)
V п j k V л j 2
В (2.3)-(2.6) модуль эллиптических функций и интегралов k - функция от I, являющаяся обратной к функции I(k), задаваемой соотношением
I = 4^E(k) (dl = 4 J~Y—(k) ф 0j (2.7)
nk \dk nk2 j
3. Существование и устойчивость периодических вращений. В невозмущенном (при e = 0) движении спутника величина I постоянна, а
w = raM + Q (3.1)
где Q - произвольная постоянная, а частота ю задается выражением
ю = d-H = njL (3 2)
Ю dl k K (k) l )
Через c обозначим вторую производную функции H0 по I. Тогда
c = = ^ k)3 > о (3.3)
дI2 4(1- k )K3(k)
Задачу о существовании и устойчивости периодических движений в возмущенной системе с функцией Гамильтона (2.2) будем изучать, опираясь на результаты статьи [14].
Функцию gi(l, w), входящую в выражение для функции H1 из (2.3), можно представить в виде следующего ряда Фурье:
g1 = a0 + ^ ancosnw (3.4)
n = 1
где ar (r = 0, 1, 2, ...) - функции от I, вычисляемые (при учете равенств (2.7), (3.2)) по формулам
2
a0 = -4 ою-3(0 K2( ^ - [(k2 - 2 )K( k) + 2E(k)] (3.5)
п
. n^ 3юп 4о ^ ,,
an = -4 юq I-- +-- , n = 1, 2, _
\ i 2n ч 2n I í^t
4 - q 1 + q J (3.6)
q = exp (-nK'/K)
Для применения алгоритма статьи [14] потребуется выражение для среднего значения Я1 функции H1 на невозмущенном решении (3.1). Из (2.3), (3.1) и (3.4) следует, что,
если величина 1/ю не будет целым числом, то H1 = 0. Далее будем считать, что
ю = 1/ш, m = 1, 2, _ (3.7)
При выполнении равенства (3.7) получаем
H1 = -a cos mQ (3.8)
где 2a = -am. В случае прямых вращений (о = 1):
m,n 2m4
a = 2q (7 - q4m->0 (3.9)
m( 1 - qm)
а в случае обратных вращений (о = -1):
m 2m
a = 2q ( 7q ~m1} (3.10)
m (1 - q m)
3.1. Прямые вращения. Так как (согласно (3.9)) величина a отлична от нуля, то уравнение д H1 /dQ = 0 эквивалентно уравнению sin mQ = 0 и поэтому имеет 2m решений
й = яп/т, где я = 0, 1,..., 2т - 1 (другие целые значения я не приводят к новым механически отличным решениям). При этом
Э2Н/Эй2 = (-1)*ат ф 0 (3.11)
Следовательно [14], при достаточно малых е существуют 2ш-аналитических по е 2пт-периодических плоских вращений спутника, переходящих при е = 0 в периодические движения, в которых
w = 1М +-П, я = 0, 1, ..., 2т -1 (3.12)
тт
Удобно (в зависимости от четности или нечетности я) разбить эти периодические вращения на две группы по т вращений в каждой. Периодические вращения, для которых
й = яп/ш, я = 0, 2, ..., 2т-2 (3.13)
назовем движениями типа 2(0), а периодические вращения, для которых
й = яп/т, я = 1, 3, ..., 2т -1 (3.14)
движениями типа 2(1).
Рассмотрим устойчивость этих движений. Для движений обоих типов имеем
5
эе3
2
Э2 Н! Э4 И 26 ф - 3----т- = 3 а т ф 0
эе2 эй
Принимая еще во внимание соотношения (3.3) и (3.11), получаем отсюда [14], что периодические движения типа е(0) устойчивы по Ляпунову, а периодические движения типа е(1) неустойчивы.
3.2. Пример: об устойчивости меркурианских вращений. Меркурианский тип вращения спутника характеризуется тем, что при прохождении центра масс спутника через перицентр его орбиты одна из главных центральных осей инерции спутника направлена вдоль радиус-вектора центра масс, а в апоцентре эта же ось перпендикулярна радиус-вектору. При этом за время, равное двум периодам обращения центра масс спутника по орбите, спутник в абсолютном пространстве совершает три оборота вокруг направления нормали к плоскости орбиты (меркурианский резонанс 3:2). Задача о существовании и устойчивости в первом приближении периодических движений спутника в окрестности его плоских вращений меркурианского типа на эллиптической орбите впервые исследована численно в статье [18].
В терминах и обозначениях данной статьи меркурианские движения спутника представляют собой прямые периодические вращения, для которых т = 1. Согласно сказанному выше, для достаточно малых значений е существует одно периодическое движение типа е(0) (для него й = 0) и одно периодическое движение типа е (для него й = п). Первое вращение устойчиво по Ляпунову, а второе неустойчиво. Для устойчивых плоских вращений меркурианского типа ось Оу меньшего из моментов инерции (А или В) в перицентре орбиты должна быть направлена вдоль радиуса-вектора центра масс спутника.
3.3. Бифуркационные значения параметра у в случае обратных вращений. При заданном т величина а, определ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.