научная статья по теме К ЗАДАЧЕ О РАЗВЕРТЫВАНИИ В НЕВЕСОМОСТИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЯЗКИ ТЕЛ Механика

Текст научной статьи на тему «К ЗАДАЧЕ О РАЗВЕРТЫВАНИИ В НЕВЕСОМОСТИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЯЗКИ ТЕЛ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015

УДК 531.3

© 2015 г. А. П. БЛИНОВ

К ЗАДАЧЕ О РАЗВЕРТЫВАНИИ В НЕВЕСОМОСТИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЯЗКИ ТЕЛ

Рассматривается задача о развертывании в невесомости пары динамически идентичных тел (космических аппаратов в форме гантели), связанных между собой нерастяжимой и невесомой пленкой, которая намотана в виде рулона на цилиндрические поверхности тел. В предстартовом положении оси этих поверхностей параллельны и равноудалены от оси вращения связки. Направление намотки пленки согласовано с направлением вращения связки так, что после снятия фиксаторов под действием центробежных сил тела будут удаляться друг от друга, натягивая и разматывая пленку. Предполагается, что средняя линия пленки проходит через центр масс связки. Вместо пленки может использоваться пара тросов как бы окаймляющих пленку.

Получены основные соотношения между параметрами движения связки в процессе развертывания.

Предложена схема развертывания связок любого количества динамически одинаковых тел в форме многоугольника.

Ключевые слова: связка тел, кинематика, траектория.

1. Стартовое движение связки. На фиг. 1 изображено предстартовое положение тел I и II (круги радиуса К) в сечении неподвижной плоскостью системы координат ОХУ, нормальной к оси вращения связки (с угловой скоростью ю), проходящей через центр масс связки, точку О. Направление намотки пленки (как и в случае связки нескольких тел (фиг. 2)) изображено жирной линией.

По условию динамической симметрии системы тела I и II будут удаляться друг от друга при неизменном положении центра масс в точке О.

О движении системы достаточно судить по движению тела I.

Положение тела I определяется расстоянием его центра О: до начала координат О — величиной г, полярным углом у и углом поворота точки предстартового контакта М0 с

телом II в положение МО, вызванное натяжением отрезка пленки ОЛ".

Переход в такое положение можно осуществить:

1) качением тела I по оси У при разматывании куска пленки ОА длиной 5. При качении радиус О10М0 повернется в положение О'10М'0, описав угол ф в направлении, противоположном направлению ю. Между лучами ОО10 = г и О10 Л (Л' — точка касания круга с осью У) образуется угол у. При этом начальная точка контакта МО опишет эвольвенту и попадет в точку М0;

2) вращением конфигурации треугольника ОО10 Л, склеенного с кругом, против часовой стрелки (при выбранном направлении начальной скорости ю) на угол у + у + п/2.

Фиг. 1

Таким образом, кинематику движения можно описать следующими соотношениями: ф = л/r2/R2 - 1 - arccosR /r (соотношение для эвольвенты круга), ф = Г~2 2. .

= 4Г — R r/(Rr), ((ф = dф/dt); R — радиус барабана, на который намотана пленка. Пусть р = A O = j2Rs — радиус кривизны эвольвенты, где

s = R (ф + Y)2 / 2, cos y = R/r, r = JR (R + 2 s), г = r( cos y, sin y) Г = R(scosy — (2s + R)sinyy, ssiny + (2s + R)cosyy)/r r2 = Rs2/( 2s + R) + R ( 2 s + R )y2

Кинетическая энергия системы представляется выражением T = m (r2 + r2y2) + /(y — (ф )2

(1.1)

где I — момент инерции тела относительно своей оси вращения. После исключения циклической координаты у через постоянный момент количества движения связки

K = 2( mr + I) y — 2 /ф

и перехода от ф к r получим

T=

mr2( mR2 + I) л + K R (mr + I) 4(mr + I)

(1.2)

(1.3)

Фиг. 2

Фиг. 3

Переходя к безразмерным координатам и параметрам г = Яд, ? = т/ю, ю = у (0), I = тЯ2Е, д = юд' (д' = йд/йт), г = Яюд', К = 2тК2ю2(1 + Е) на уровне энергии

к = (I + тЯ2)ю2 = тЯ2ю2(1 + Е), получим уравнение фазовой траектории

(д )2 = 1 - 1 /д2

(1.4)

Как видно (после упрощений, сделанных рецензентом), это уравнение от параметров не зависит.

2. Стартовое движение связки в более общем случае. Рассмотрим более общий случай старта, когда в начальном положении тела не обязательно касаются друг друга, а удалены на некоторое расстояние друг от друга с сохранением центральной симметрии и натяжения связующей пленки (фиг. 3).

Фиг. 4

Неподвижную систему координат ОХУ с началом в центре масс связки выберем так, чтобы ось У прошла через предварительно натянутую пленку между цилиндрами. Пусть а — обозначает расстояние от центра О до точек касания пленки с цилиндрами.

Повторяя рассуждения в п. 1, после отпускания цилиндров, получим следующие кинематические соотношения

АМ0 = р = „ДЯ, ^ = Я (ф + у)2 / 2, ео8 у = Я //

ф = V/2/Я2 - 1 - агеео8Я//, / = М0О'10 = *]г2 + а2 - 2а*/г2 -Я (ф = V/2 - Я2•/(Я/) = ---(л/Т-Я2 - а)ЛГ-Я2гг

Я12,!ГГ-Я2

Далее (как в п. 1)

К = 2(тг + I)уу - 21ф = еои81, у = 1/2(К + 2/ф)/(тг + I)

Т = т (г2 + г2 уу2) + 1(у + (ф)2 =

т+

/т(7г2 - Я2 - а)2(/2 - Я2)г4 Я2/4(тг2 + /)(г2 - Я2)

.2

г +

К2

4 (тг + I)

После перехода к безразмерным величинам г = Яд, ? = т/ю, ю = у (0), I = тЯ2Е,

Ь = а/Я, = юд' (д' = йд/йт), г = Яюд', К = 2тЯ2ю2(1 + Е)ю, I = Ял/д + Ь2 - 2^л/д2 - 1, Т = тЯ2(1 + Ь2 + Е)ю2, получим уравнение семейства фазовых траекторий, зависящее от параметров Ь и Е

2

1+

/:'(Vд2 - 1 - Ь) (д + Ь - 2п*]д2 - 1 - 1)д4

д'2 = Ъ2 + (1 + Е )(д2 - 1) / (д2 + Е)

(д2 + Е)(д2 - 1)(д2 + Ъ2 - 2Цц1 - 1)

На фиг. 4 изображены траектории при некоторых значениях параметров.

2 Механика твердого тела, № 3

33

3. Стартовое движение связки с противоположным направлением обмотки пленки.

При ином направлении (чем в п. 1) обмотки пленки, направление угловой скорости ф качения цилиндра по пленке совпадает с направлением скорости ю.

Уравнение фазовой траектории при этом будет иметь вид

л = R2[ 4T( mГ + I) - K] r2 m( mR2 + I) r4 + 412( r2 - R2)

или в безразмерном виде

q'2 = 4 (E + 1)-( q2 - 1 ) q2-

(E + 1) q4 + 4 E2 (q2 - 1)

При Е = 1 соответствующая траектория изображена на фиг. 4 и отмечена знаком q'.

Можно отметить, что независимо от моментов инерции тел, q' ^ 2, тогда как q' ^ 1 в случае п. 1.

4. Маятниковое движение связки. Когда в процессе размотки пленки вся ее длина будет выбрана (точка A" совпадет с точкой крепления пленки на цилиндр), движение связки можно представить как движение пары двойных физических маятников по инерции с известными начальными условиями. Уравнения движения подобной системы и устойчивость стационарных решений (с учетом упругости связи) исследованы в книге [1] и (с учетом нелинейной упругости) в статье [2]. Отличие от аналога состоит в сдвиге значений силовой функции на постоянную величину пропорциональную r0, где r0 — длина пленки в нерастянутом состоянии. Условие устойчивости относительного равновесия, когда центр масс тела находится дальше от центра О, чем точка крепления, сводится к ограничению скорости вращения развернутой связки критическим значением жесткости связи. (Стационарность движения достигается приложением тормозных моментов к телам связки в момент времени, когда плоскость натянутых пленок пройдет через оси обоих цилиндров. При отсутствии торможения может пойти процесс свертывания связки.)

Определенные характеристики движения связки в этом режиме можно получить из работы [3] и др. Заметим, что рассмотренный способ решения задачи о развертывании связки двух тел можно распространить на случай развертывания вращающейся связки многих тел (фиг. 2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЧетаевН.Г. Устойчивость движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 204 с.

2. Журавлев В.Ф. Об устойчивости стационарных движений плоского тела в поле центральной

силы // Изв. РАН. МТТ, 1983. № 4. С. 71-76.

3. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Относительные колебания и вращения плоской шарнирной

связки двух твердых тел // Изв. АН СССР. МТТ, 1991. № 2. С. 8.

Москва Поступила в редакцию

E-mail: blinovap@gmail.com 20.11.2012

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»