М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2013
УДК 532.527
© 2013 г. А. М. ГАЙФУЛЛИН К ЗАДАЧЕ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВИХРЯ С ПЛОСКОСТЬЮ
Рассмотрена известная задача о взаимодействии вихря с перпендикулярной плоскостью в вязкой несжимаемой жидкости. Образ вихря в данной работе — вращающаяся полубесконечная игла. При этом рассматриваются разные модели: игла нулевого радиуса, неподвижная и подвижные в осевом направлении иглы конечного радиуса. Исследованы диапазоны существования решения, а также соответствие течения около иглы конечного радиуса при стремлении этого радиуса к нулю течению около иглы нулевого радиуса.
Ключевые слова: вихрь, автомодельность, нестационарность, вязкость.
Задача о вязком взаимодействии вихря с плоскостью имеет давнюю историю. Особый интерес к ней возник после обнаружения Гольдштиком решения [1], которое он назвал парадоксальным. Суть парадокса заключается в том, что при условии ограниченности осевой скорости на вихревой нити решение существует только при числах Рейнольдса Re < 5.53. В [2] было показано, что если отказаться от ограниченности осевой скорости, то решение с логарифмической особенностью можно построить при всех числах Re. Коэффициент при логарифме при этом был свободным параметром. В [3] неопределенность коэффициента при логарифме при больших числах Re была разрешена, при этом в рассмотренном решении делалось предположение о том, что функция тока не является растущей при выходе из пограничного слоя, расположенного около вихревой нити. Вместе с тем аргумент, которым авторы статьи [3] объясняют такое поведение функции тока, а именно невозможность при заданной схеме течения выполнить условие прилипания на твердой поверхности при других коэффициентах, не представляется убедительным.
Особенностью публикаций, посвященных взаимодействию вихря с плоскостью, является то, что в них решается идеализированная задача, что приводит к потере или к навязыванию граничного условия для осевой скорости на оси течения. В данной работе исследуется вопрос о единственности решения математической задачи при конечных числах Рейнольдса и о соответствии некоторых физических задач этой математической постановке.
1. Постановка задачи. Рассмотрим осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости, вызванное вращением полубесконечной иглы нулевого радиуса zy ^ 0, t\ = 0 над бесконечной твердой поверхностью zy = 0. Здесь введена цилиндрическая система координат zy, ry, ф; щ, wy — осевая, радиальная и окружная компоненты скорости. При ty < 0 игла покоится, а при ty > 0 вращается так, что в любом сечении Zy = const циркуляция скорости по контуру, лежащему на поверхности иглы и охватывающему эту поверхность, равна 2пГ0. Введем функцию тока у у и завихренность юу
= у = -1ю =du ди1
ry дry' ry dzy ' dzy дry'
Пусть r0 — некоторый масштаб длины. Определим безразмерные величины
1 г1 . Го ^ 1 го
-, г = -, Г =-0 г1, у = , Г = — М1, ^ = тт1
Го Го Г) ГоГо Г 0 Го
и число Рейнольдса Яе = Г о/ V.
Уравнения Навье—Стокса для функций Г, у принимают вид
дГ + 1 д¥5Г- 1 д¥5Г = X {д-Г + д-Г- 15г1 (11)
д1 г дг дг г дг дг Яе ^дг 2 дг2 г дг )
+1 dv.dk -1 21) - 2ГдГ =
д г г д г дг г дг Уд г г ) г2 дг Яе
Гд% + д% 1 а\
дг2 дг2 г дг
2 +ТТ <1.2)
^ + ^ = ч (1.3)
дг дг2 г дг
Уравнения (1.1)—(1.3) необходимо дополнить граничными и начальными условиями
Г(г, г, г) = о, %(г, г, г) = о, у(г, г, г) = о, г ^^ (1.4)
дг(^г,г) = о, £(г,г, г) = о, у(г, г, г) = о, г (1.5)
дг
На твердой поверхности г = о ставится условие прилипания
их = ц = М = о (1.6)
из которого следует Г((, о, г) = о, у(г, о, г) = о и условие на функцию £(г, о, г). При численной реализации на функцию £(г, о, г) ставилось условие, аналогичное условию Тома [4].
Особая сложность заключается в постановке граничных условий на оси течения. Очевидно только условие у(г, г, о) = о. В связи с тем, что площадь единичного участка иглы нулевая, условие прилипания на игле поставить не удается. Отсюда и неоднозначность в постановке задачи в работах, посвященных взаимодействию вихря с плоскостью. Заменим условие прилипания, которое невозможно выполнить, на условие прилипания только для окружной скорости (условие минимальной особенности разности скоростей жидкости при г ^ о и поверхности иглы). Откуда следует граничное условие Г(Г,г,о) = 1 при г > о. Граничное условие при г = о для функции £ пока оставим неопределенным.
Начальное условие: при г = о скорость жидкости равна нулю всюду, за исключением поверхности иглы.
2. Качественная структура течения. Разобьем при г > о область течения на несколько подобластей. Первая область — это большие ъ. Характеристики течения в этой области
нестационарны и в главном приближении не зависят от ъ Г = ехр(-г2Яе/(4 г)), £ = о, у = 0.
Вторая область — окрестность точки г = о, г = о. Здесь в главном приближении будет реализовываться автомодельное решение, аналогичное построенным в [1—3], но с неопределенным граничным условием для функции Е, на поверхности иглы. Характеристики течения в этой области будут, во-первых, стационарными, а во-вторых, примут вид
Г = Я (п) > £ = 1 ^ (п) ¥ = г/(п), П = г (2Л)
г г
Характерный размер второй области растет с течением времени.
Все остальное пространство занимает третья область. В любой ее точке нестационарные характеристики меняются так, чтобы с течением времени стать стационарными и приблизиться к автомодельным. Найдем асимптотическое поведение характеристик течения в этой области при г ^ 0. Из (1.1)—(1.3) следует
Г(/, г, г) = 1 - с(г, г) г2 + о(г2)
г, г) = ^(г, г) + г) г21п2 г + к2(г, г) г21п г + к3(г, г) г2 + о(г2) (2.2)
12 2 2 у(г,г,г) = --^0(г,г)г 1пг + Ь(г,г)г + о(г )
Подставив разложение (2.2) в (1.2), получим к1 = -0.5 Яе Е0 дЕ0/дг и
/2 Л
+ (-1 ^0 + 2^0 + 2с) = ^ Ц0 + 2 (к1 + к2) | (2.3)
дг \ 4 / Яе ^ ,1
дг
Напомним, что имеет размерность скорости, физический смысл ее — либо произведение завихренности на радиус, либо коэффициент, взятый с обратным знаком при логарифмическом поведении скорости в окрестности линии г = 0. Конечное изменение Е, на оси приводит к бесконечному изменению ш.
Исследование асимптотического поведения характеристик течения при г ^ 0 не привело к определению значения функции £ на оси течения. Подставляя различные к2 в соотношение (2.3), будем получать различные решения задачи. Аналогичная ситуация имеет место и в области автомодельного течения.
Таким образом, центральная проблема данной задачи — проблема задания функции Ц(г, г, 0).
3. Задача о вращении иглы конечного радиуса. Рассмотрим вспомогательную задачу о течении жидкости около вращающейся иглы конечного радиуса г0. Сохранено обозначение г0, поскольку в этом случае в качестве линейного масштаба можно взять радиус иглы. По-прежнему будут справедливы уравнения (1.1)—(1.3). Граничные условия (1.4)—(1.6) необходимо дополнить условиями
Г(г, г,1) = 1, и(г, г,1) = ^(г, г,1) = 0, у(г, г,1) = 0 (3.1)
Г0
которые означают, что на поверхности иглы выполняется условие прилипания.
На достаточно больших временах данная задача будет включать уже четыре характерные области. Первая и третья области останутся теми же. Решение в первой области будет несколько иным, но по-прежнему независимым от переменной ъ. Вторую стационарную область можно разделить на две — в одной из них г ~ г0 (область 2а), а в другой г > г0 (область 2б).
Уравнения (1.1)—(1.3) решались численно при Яе = 1 и 10. В качестве расчетной области выбирался прямоугольник 0 < г < гк, 0 < г < гк, гк = гк = 256. Так как расчетная область была конечного размера, вместо условий (1.4)—(1.5) в качестве граничных условий на границе области применялись "мягкие условия"
дГ(г, г, г) = 0, д^, г, г) = 0 ^ ду(г, г, г) = 0 ^ г = дг дг дг
дГ(г, г, г) = 0, г) = 0 ^ ду^ z, г) = 0 ^ г =
дг дг дг
Фиг. 1. Изолинии Г = const при Re = 10 от 0.1 (внешняя кривая) до 1 при r = 1 с шагом 0.1: t = 103, 2 • 103, 3 • 103 (а-в)
Фиг. 2. Результаты расчета при Re = 10, t = 3 • 10 : а — линии £ = const от —0.06 до 0.16 с шагом 0.02, б — линии у = const от 1 (внешняя кривая) до 7 с шагом 1
На фиг. 1, 2 представлены результаты расчета при Re = 10. На фиг. 1 показаны изолинии Г, соответствующие трем временам. Линии r = 1 здесь и на некоторых следующих фигурах соответствует поверхность цилиндрической иглы. Прямолинейность кривых Г = const в окрестности начала координат характеризует размер области, в которой течение можно считать в главном приближении автомодельным. Видно, что с
Фиг. 3. Результаты расчета при Re = 1, t = 103: а — линии £ = const от —0.02 до 0.02 с шагом 0.004, б — линии у = const от 1 (внешняя кривая) до 6 с шагом 1
Фиг. 4. Линии д0 = о: 1 — Яе = 1, г = 103, 2— Яе = 10, г = 3 • 1о3
течением времени этот размер растет. На фиг. 2, а представлены линии постоянных £, а на фиг. 2, б — постоянных у при г = 3 • 1о3.
На фиг. 3 приведены аналогичные данные, соответствующие Яе = 1 и г = 1о3. И при Яе = 10, и при Яе = 1 жидкость в окрестности иглы движется вверх.
Следует ожидать, что течение в области 2б будет стремиться к автомодельному. Этот факт подтверждают также и численные результаты, в том числе и приведенные на фиг. 1—3. Особенный интерес представляет зависимость £ по углу 9 = аг^(г/г). Видно, что в области 2б линия д£/дв = о приближенно является прямой. Эта линия, представленная на фиг. 4, показывает слабое отклонение от прямой при г > 4о для Яе = 1 и достаточно сильное отклонение при г > 3о для Яе = 10. При таких больших ъ течение еще не вышло на автомодельный режим. Для этого нужны большие времена.
4. Автомодельная стационарная задача о вращении иглы нулевого радиуса. Из решения задачи о вращении иглы конечного радиуса следует, что наклон линии, на которой д\/д0 = о, в области, где установилось автомодельное течение, будет зависеть только от числа Яе. Каким бы малым ни был радиус иглы, наклон линии, на которой д\/д0 = о, от этого радиуса зависеть не будет. Задача о вращении иглы нулевого радиу-
са будет иметь физический смысл, если ее рассмотреть как предельный переход при г0 ^ 0 задачи о вращении иглы радиуса г0. Так как ни уравнения (1.1)—(1.3), ни граничные услови
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.