МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 531.36
© 2008 г. А.П. МАРКЕЕВ
К ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИИ СПУТНИКА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
Исследуется линейная задача об устойчивости вращения динамически симметричного спутника вокруг нормали к плоскости орбиты его центра масс. Орбита считается эллиптической, эксцентриситет орбиты произволен. Предполагается, что гамильтониан содержит малый параметр, который характеризует отличие центрального эллипсоида инерции спутника от сферы. Рассматриваемая задача является резонансной, так как при нулевом значении малого параметра одна из частот малых колебаний оси симметрии в окрестности невозмущенного вращения спутника относительно центра масс в точности равна частоте его обращения по орбите. Для указанного в статье счетного множества значений угловой скорости невозмущенного вращения резонанс будет даже двукратным. В первом приближении по малому параметру найдены области устойчивости и неустойчивости.
1. Постановка задачи. Функция Гамильтона. Рассмотрим движение спутника относительно центра масс под действием моментов центрального ньютоновского гравитационного поля. Центр масс спутника движется по эллиптической орбите эксцентриситета е. Спутник - твердое тело, центральный эллипсоид инерции которого является эллипсоидом вращения. Через А и С обозначим экваториальный и полярный моменты инерции спутника соответственно.
Известно [1], что существует такое движение спутника, в котором ось его динамической симметрии перпендикулярна плоскости орбиты, а сам спутник вращается вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью г0. При этом эксцентриситет орбиты может быть любым (0 < е < 1). В абсолютном пространстве ось симметрии спутника описывает поверхность цилиндра, образующая которого перпендикулярна плоскости орбиты. Рассматриваемое движение спутника часто называют цилиндрической прецессией (см. монографию [2] и приведенную в ней библиографию).
Функция Гамильтона, соответствующая линеаризованным уравнениям возмущенного движения оси симметрии в окрестности нормали в плоскости орбиты, имеет вид [3]:
т- 1 / 2 2Ч
Г = -- (+ Р2) +
2 (1 + e cos v)
a ß ( 1 - e 2 ) 3/2 1
2
(1 + e cos v)
1 + 12
2 2 2 3
а ß (1 -e ) a,t 2.3/2
—22—2-2 aß( 1-e ) +3(а-1)(1 + ecosv)
(1 + e cos v)
P2 + #2 P1 +
(1.1)
2 1 2 3/2 2
+ 2aß( 1- e ) #2
Здесь а = С/А, в = г0/ю0 (0 < а < 2, < р < «>); ю0 - среднее движение центра масс по орбите. За независимую переменную принята истинная аномалия V.
Устойчивость цилиндрической прецессии спутника в случае р = 0 исследована ранее [4]. В данной работе считаем, что р Ф 0. Кроме того предполагаем, что величины моментов инерции А и С близки.
Положим а = 1 + е (0 < |е| ^ 1) и перейдем к новой независимой переменной, эксцентрической аномалии Е. Воспользовавшись известными (см., например, [5]) соотношениями
2 1/2 dv _ (1- e )
sin V =
2 1/2 (1 - e ) sin E
cos v =
cos E - e
dE 1- e cos E' 1- e cos E 1- e cos E
получим преобразованную функцию Гамильтона (1.1) в виде
Г = г(0) + еГ(1) + 0(е2)
Г
(m)
V (m) V1 v2 l1 l2 , n 1 \
= XYv^l^?1 #2 P1 P2 (m = 0, 1)
V1 V2 l1 l2
(1.2)
(1.3)
где суммирование производится по целым неотрицательным числам VI, V2, Ц1, Ц2, сумма которых равна двум, причем
о 3/2 о о 1/2
(0) _ Р(1 - e2) [Р( 1- ecosE)2- (1- e2) ]
У2000 =
2 (1 - e cos E)
(0) Y1001
(0)
0200
P (1 - e2 ) 2 2 (1- e cos E)'
(0) 0110
2 1/2 ( 1 - e ) ,
1 - e cos E'
(0)
Y0020
(0)
0002
P ( 1 - e cos E) 2 - (1 - e 2 ) 1/2 1 - ecosE
1 - e cos E
2 3/2
2 (1- e2)
2 3/2 2 3 2 1/2
(1) _ (1- e ) [2ft2(1 - ecosE)3- P( 1- e ) (1- ecosE) + 3]
У2000 =
(1.4)
2 (1 - e cos E)
2
71001 = P( 1- e cos E)' Y0200
(1)
P( 1- e2)2
2 (1- e cos E)
Остальные коэффициенты квадратичных форм Г(0) и Г(1) равны нулю.
2. О невозмущенной системе (е = 0). Если е = 0 (т.е. A = C), то центральный эллипсоид инерции спутника будет сферой. В этом случае гравитационный момент отсутствует и при Р ф 0 стационарное вращение спутника вокруг нормали к плоскости орбиты будет, очевидно, устойчивым.
При е = 0 имеем Г = Г(0). Пусть X(E) - фундаментальная матрица решений линейной системы дифференциальных уравнений с невозмущенным гамильтонианом Г(0), удовлетворяющая условию X(0) = E4, где E4 - единичная матрица четвертого порядка. Для нее можно получить следующее выражение:
X( E)
cos т -sin т
2 3/2
р( 1 - e ) sinт
sin v cos v
0
Д (E) -/2 (E) /2 (E) /1( E) cos т sin т
2 3/2
-p( 1- e ) sinv -sinv cosv
т = v - P( E - e sin E), / j =
sinv - sun
/2 =
cos v - cos т
povf
(2.1)
(2.2)
Связь между V и Е определяется соотношениями (1.2).
Несложные вычисления показывают, что характеристическое уравнение матрицы Х(2п) не зависит от эксцентриситета и может быть записано в виде
(р -1 )2(р2 - 2со82 пвр + 1) = 0
причем двукратному корню (мультипликатору) р = 1 этого уравнения соответствуют два линейно независимых собственных вектора.
0
Мультипликаторам р = cos2nP ± i sin2nP отвечают чисто мнимые характеристические показатели ±iüj (j = 1, 2). По известному алгоритму [6] можно построить линейную каноническую 2п-периодическую по E замену переменных q1, q2, p1, p2 ^ q\, q2, p\, p'2, приводящую невозмущенный гамильтониан Г(0) к нормальной форме
Г( 0) = 1/2 0l( q12 + p12 ) + 1/202 ( q22 + p'2 ) (2.3)
Неоднозначность вычисления характеристических показателей по значениям мультипликаторов устраняется рассмотрением предельного случая круговой орбиты. При e = 0 частоты малых колебаний системы с гамильтонианом Г(0) удовлетворяют уравнению
04- (р2 - 2р + 2)02 + (р -1 )2 = 0
Учитывая еще, что в случае круговой орбиты гамильтониан Г(0) при Р > 1 - определенно-положительная, а при Р < 1 - знакопеременная квадратичная форма, получаем, что в нормальной форме (2.3) следует положить 01 = 1, 02 = Р - 1.
В возмущенной системе (е Ф 0) при любых эксцентриситетах имеет место параметрический резонанс, так как в невозмущенной системе одна из частот ю1 (ю1 = 01) малых колебаний оси симметрии в окрестности нормали к плоскости орбиты равна частоте обращения центра масс по орбите: ю1 = 1. Если же величина 2р будет равна целому числу n, то параметрический резонанс будет двухкратным: ^ = 1 и 2ю2 = |n - 2|, ю2 = |02|. Далее оба эти случая исследуются при малых, но отличных от нуля, значениях е.
3. Исследование возмущенной системы (0 < |е| ^ 1). 3.1. О методе исследования. При е Ф 0 анализ устойчивости будет опираться на преобразование гамильтониана возмущенного движения (1.3) методом Депри-Хори [7]. Для упрощения вычислений сделаем предварительно каноническую замену переменных
u = X(E)u, u' = (qi, q2, pi, p2), u' = (xv x2, Xv X2) (3.1)
где X(E) - матрица (2.1) фундаментальных решений невозмущенной системы. В новых переменных функция Гамильтона (1.3) запишется в виде
H = H0 + е H1 + 0(е2) (3.2)
где H0 = 0, а H - функция Г(1) из (1.3), в которой сделана замена переменных (3.1):
H1 = X hV1 v2 x11 x22 X11X2 2 (3.3)
,(1) (1) 2 (1) .2 ,(1) r (1) Q/1 2Ч3/2 ( 14 . 2 (1) 2
h2000 = t2OOOcos t + YO2O0 sin T. h0200 = [y2O0O - P( 1 - e ) Y1001] sin V + YO200COS V
h0020 = Y2O0Of 1- Y1001 f 1sinV + Y0200f2' h0002 = Y2o0of 2 - Y1001 /2c0sV + Y0200 f 1
h1100 = [2y200O - P( 1 - e2)3/2y10O1 ] sinV c0sT - 2Y0200f 2 sinT h1010 = 2[y200Of1C0sT - Y02O0f2sinT] - Y1001sinVc0sT
h1001 = -2[y200O f2c0s T + Y0200f 1sin т] + Y1001c0s V c0s T
j(1) T ( 1) ■ (1) • г • О/1 2 ч3/2 , /-4 ( 1 ) r
ЛО110 = 2Y2000 f 1 sin V - Y1001 sin v[ sin v + P( 1 - e ) f 1 ] + 2 y O2O0 f2C0s v
ho ж = - 2y2ooo f 2sin v + Y1001 sin v[ cos v + p( 1 - в2)Ш f 2 ] + 2 y02oo f i cos v
h0011 = 2(yo12)GG - y2ooo)f 1f 2 + Yiooi(f 1 c0sV + f2sinv) (3-4)
Теперь по алгоритму метода Депри-Хори построим каноническое преобразование x1, x2, X1, X2 ^ y1, y2, Y1, Y2, исключающее независимую переменную E из нового гамильтониана в членах первой степени по е. Для нового гамильтониана получим выражение
K = е K1 + 0(е2) (3.5)
K = I С^? yV2 Y^1 Y^2 (3.6)
где ^V11V2H1 д2 - средние по E значения функций Й™2Ц1Ц2 из (3.4).
Из (1.2), (1.4), (2.2) и (3.4) следует, что йЦ^ , й^ш , hGxM, hGGl1 - нечетные функции от E. Поэтому их средние значения равны нулю, и функция (3.6) содержит не все десять, а только шесть одночленов.
Отбросив в функции Гамильтона (3.5) члены выше первой степени относительно е, придем к приближенной системе, движение которой описывается линейной автономной системой дифференциальных уравнений вида
dy¡ д K, dY¡ д K,
-Г = ТЕГ. -Г1 = --Г-1 (j = 1, 2) (3.7)
dn dY/ dn д yj
где за независимую переменную принята величина n = еЕ.
Характеристическое уравнение системы (3.7) имеет вид
+ aX2 + b = o (3.8)
а = 2[2(k(1] k(1) + k(1] k(1) ) -k(1] k(1) ]
а = k2GGG kGG2G + kG2GG KGGG2> k1GG1 kG11G-b
2 2 (3.9)
b = (k(1) -4 k(1) k(1} )(k(1 )2 -4k(1) k (1) )
b = vk1GG1 4k2GGGkGGG2/ vkG11G 4kG2GGkGG2G-'
В первом приближении по е достаточным условием устойчивости является выполнение системы неравенств:
а > o. b > o. d = a2-4b > o (3.10)
Если же хотя бы одно из неравенств (3.10) выполняется с противоположным знаком, то при достаточно малых е имеет место неустойчивость.
3.2. Некратный резонанс. Пусть величина 2в не является целым числом. Проведя усреднение, получим, что отличные от нуля шесть коэффициентов квадратичной формы (3.6) вычисляются по следующим формулам:
k(1) = 3 + 1 в2( 1- в2)3/2 k(1) = в i 3 k(1] = 3
k2GGG = л +оР ^ в J . k 1GG1 = Р+ ,, 3/2. kG2GG = л
4 2 2 В( 1- в2 )3/2 4
FV 7 (3.11)
k(1) = 3 k (1) = k(1} = 1 + 3
k G11G = — 3/2. k GG2G = kGGG2 = - 3 /2 + - - 3
2p( 1- в2)3/2 2 (1- в2)3/2 2p2( 1- в2 )3
Из (3.11) и (3.9) находим коэффициенты характеристического уравнения (3.8):
2 2 3/2 2 4 2 3 2 2 3/2 2
= [в ( 1 - в ) + 3 ] + в ( 1 - в ) b = 9 [ 2 в ( 1 - в ) + 3 ] 2р2( 1- в2 )3 16в4 (1- в2 )6
Выражение для величины й из (3.10) будет таким й =
_ [ [в ( 1 - e ) + 3 ]
(1-е )
Очевидно, что неравенства (3.10) всегда выполняются.
Следовательно, если число 2в не является целым, то в первом приближении по е цилиндрическая прецессия спутника устойчива при любых значениях эксцентриситета орбиты.
3.3. Кратный резонанс.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.