научная статья по теме К ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ ДЛЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «К ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ ДЛЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ»

Автоматика и телемеханика, № 8, 2013

© 2013 г. Н.О. СЕДОВА, д-р физ.-мат. наук (Ульяновский государственный университет)

К ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ ДЛЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ1

Рассмотрена задача слежения для неголономной системы в цепной форме произвольного порядка. Предложены два класса двумерных управлений в виде линейной обратной связи с учетом запаздывания, обеспечивающих сходимость всех траекторий управляемой системы к заданной.

1. Введение

Одна из причин активного интереса к проблеме управления неголоном-ными системами заключается в том, что такие системы не удовлетворяют условию гладкой стабилизации Брокетта [1]: если для системы х = /(х,и) с непрерывно дифференцируемой правой частью / : Кп х Кт — Кп, для которой /(0,0) = 0, существует непрерывно дифференцируемая функция д : Кт — Кп такая, что нулевое решение системы х = /(х,д(х)) асимптотически устойчиво, то образ / должен содержать открытую окрестность начала координат. Впоследствии было показано (см. [2, 3]), что это условие распространяется на более широкие классы как обратных связей, не зависящих от времени, так и правых частей уравнений.

Классическим примером системы, не удовлетворяющей условию Брокетта, является неголономный интегратор Брокетта [1]:

¿1 = щ, ¿2 = «2, ¿3 = г\П2 — г2Щ.

В [4] было показано, что к такому виду может быть локальной заменой координат сведена любая вполне неголономная система с трехмерным пространством состояний и двумерным пространством управлений (напомним, что в теории управления система называется вполне неголономной, если размерность пространства состояний совпадает с размерностью множества достижимости, но больше размерности множества скоростей).

Заметим, что замена х1 = ¿1, х2 = ¿2, х3 = ¿^2/2 — ¿3 приводит неголономный интегратор Брокетта к так называемой цепной форме: х 1 = П1, х2 = и2, х3 = х2и1.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00541).

В настоящей работе рассматривается аналогичная система дифференциальных уравнений произвольной размерности п ^ 3:

(1)

X1 = 41,

X 2 = 42, X з = Х241,

Хп — хп-14Ъ

где X = (Х1,..., хп) — вектор состояния системы, и = (и1,и2)— вектор управления.

К такому виду подходящей (локальной или глобальной) заменой переменных можно свести описание многих управляемых неголономных механических систем [4].

Трудности, связанные с невыполнением условия Брокетта, разрешались с использованием управлений, зависящих от времени, стохастических управлений, скользящих режимов и др. Обзор результатов, касающихся задач управления неголономными системами в различных постановках, можно найти, например, в [5-7].

Свою специфику имеет задача слежения, исследуемая в данной работе для системы (1). А именно, предполагается заданным желаемое управление иг(Ь) = (иг1(г),иг2(г)) и соответствующая траектория хг(Ь) и требуется выбрать и(Ь) в виде обратной связи так, чтобы для любого другого решения х(Ь) выполнялось условие хе(Ь) = х(Ь) — хг(Ь) — 0 при Ь — В такой постановке невыполнение условия Брокетта не исключает существования гладкой функции и(Ь). Заметим, что большинство известных результатов гарантирует лишь локальное или полуглобальное решение задачи, что ограничивает область притяжения решений (см. [8]). Кроме того, в отличие от традиционной постановки задачи здесь управление строится в виде обратной связи с учетом временного запаздывания, возникающего за счет конечного времени передачи данных регулятору.

Динамика ошибки в задаче слежения для системы (1) описывается уравнениями

Очевидно, поставленная задача слежения сводится к задаче глобальной стабилизации нулевого положения равновесия системы (2).

2. Построение управлений

(2)

хе,1 = и1 — 4г1,

х е,2 = 42 — 4 Г2,

хе,3 = хе,24г1 + (хе,2 + х^Х^ — 4^),

х е,п

хе,п-1иг1 + (хе,п-1 + хг,п- 1)(41 — 4^1).

Для решения этой задачи используем треугольную структуру системы: сначала построим управление 41 (Ь), глобально стабилизирующее первую координату, а затем, подставляя значение хе,1 = 0 и соответствующее управление и1(Ь) = иг1(Ь), найдем и2(Ь), глобально стабилизирующее остальные координаты. По свойству треугольных систем с запаздыванием (см., например, [9]) результирующее управление (и1(Ь), и2(Ь)) будет также глобально стабилизирующим для исходной системы (2).

Итак, задача разделилась на две: стабилизация подсистемы, описываемой уравнением хед = 41 — иГ1(Ь), и стабилизация «укороченной» системы размерности п — 1

х е,2 = 42 — 4г2,

хе,3 = хе,24г1, х е,п — хе,п-1иг1,

которую можно представить в виде у = У(Ь)у + Ь(и2 — иг2(Ь)), где у =

— (хе^ • • • , хе,п) .

Выберем стабилизирующее управление в виде

(3) 41 (Ь) = 4г1(Ь) — &1хед(г — Т1),

(4) 42 (Ь) = 4г2(ь) — Й2хе,2(Ь — Т2) — ^34Г1 (Ь)хе,3 (Ь — Т3) —

— Й4хе,4(Ь — Т4) — Й54г1(Ь)хе,5(Ь — Т5)----

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1) функция иг1(Ь) ограничена и липшицева при всех Ь € К, а также для некоторых е > 0, 5 > 0 на любом отрезке [Ь — 5, Ь] существует в, для которого |иг1(в)| > е;

2) &1 > 0, многочлен Лп-1 + к2Лп-2 + ■ ■ ■ + кп-1Л + кп гурвицев;

3) 0 < п < т, г = 1,... ,п.

Тогда существует То > 0 такое, что для любого т € [0, то) управление (3), (4) стабилизирует нулевое решение системы (2) до глобальной равномерной асимптотической устойчивости.

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Заметим, что в полученном результате постоянство запаздываний не существенно. Равномерная асимптотическая устойчивость доказана при ограничении лишь на верхнюю границу величины допустимого запаздывания, которое может изменяться со временем. С другой стороны, полученная оценка, помимо того, что является достаточной, неконструктивна, поскольку содержит матрицу Р(Ь), которую для конкретных систем не всегда удается построить в явном виде. Поэтому на практике верхнюю границу величины запаздывания приходится определять, например, экспериментальным путем.

Приведем еще один закон управления, решающий задачу слежения для системы (1), для которого получается явная (хотя также достаточная) оценка верхней границы допустимого запаздывания в цепи обратной связи.

После замены переменных ух(^) = ж^Ь), у2(Ь) = хп(Ь), ..., уп(Ь) = х2(Ь), ег(Ь) = Уг(Ь) — Уг,г(^), г = 1,...,п, Vj (Ь) = Uj (Ь) — urj (Ь), j = 1, 2, система в отклонениях (2) примет вид

¿1 = V1,

¿А = VlУry¿+l + (VI + иг1)вг+1,

(5) г = 2+..,п — 1,

¿п = V2.

Сначала построим стабилизирующее управление с учетом запаздывания для первого уравнения. К примеру, можно взять в качестве V! простейшее линейное управление, уже использованное выше:

(6) Vl(í) = -ав1(£ — Т1),

где а > 0, Т1 ^ 0, ат1 < п/2.

Снова используя треугольную структуру системы, построим теперь стабилизирующее управление V2 для системы, состоящей из последних п — 1 уравнений, в которых ¿1 (¿) = 0, т.е. для системы

ёг = иг1вг+1,

(7) г = 2, ...,п — 1,

¿п = V2.

Используем знакопостоянную функцию Ляпунова и индукцию по размерности п системы (5). Соответствующее управление будем обозначать как v2n).

Итак, при п = 2 система (7) состоит из единственного уравнения, нулевое

(2)

решение которого стабилизируется управлением v2 ;(Ь) = — Ье2(Ь — т2), Ь > 0, т2 ^ 0, Ьт2 < п/2. Теперь в предположении, что v2n)(t) известно, построим Возьмем функцию Ляпунова в виде е(£)) = ^(г^^) —

— иптг+1т2. Тогда при 4'г+1)(£) = + Ъь^^ - т2) -

— Ьиг1(Ь — т2)еп+^Ь — т2) — ии г 1 (^) вп+1 (^)) для производной функции РП+1(Ь,е(Ь)) в силу системы (7) на множестве {(Ь, е(Ь)) : тах_Т2^^0 ^п+1(^ +

+ з, е(Ь + 8)) = РП+1(^,е(^))} справедлива оценка РП+^Ь) ^ —(1 — Ьт2)^2п)(Ь) —

— иг1(Ь)еп(Ь))2. Таким образом, если управление v2n+1)(t) определено и ограничено при всех Ь € Л, то используя результат о равномерной асимптотической устойчивости для уравнений с запаздыванием в терминах знакопостоянной функции [15] и предположение индукции, делаем вывод о равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (7) при т2 € [0,1/Ь). Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение.

Теорем а 2. Пусть выполняются следующие условия:

1) функция иг1 имеет п — 1 непрерывных производных, ограничена вместе с функцией 1/иг1(Ь) и отлична от нуля при всех Ь € Л;

2) а > 0, Ь > 0, 0 ^ ат1 < п/2, 0 < Ьт2 < 1.

Тогда управление (6),

url(iJ

(8) - buri(t - T2)era+i(i - T2) - utri(i)en+i(i)), n ^ 2,

v22)(t) = -be2(t - T2)

стабилизирует нулевое 'решение системы (5) до глобальной равномерной асимптотической устойчивости.

В частном случае при ur1(t) = ur1 = const рекуррентная формула (8) принимает вид

, , n-1 bk о) 4ra)(i) = - Y.cn-i—en+i-k(t - кт2).

В общем случае это управление имеет довольно сложную структуру по сравнению с предложенным в теореме 1, использует значение последней координаты в текущий момент, а запаздывание T2 должно быть одинаковым во всех слагаемых. С другой стороны, данный метод позволяет получить явную (хотя и только достаточную) оценку максимальной величины запаздывания, при этом в силу произвольности положительных параметров управления a и b величины T1 и T2 можно сделать сколь угодно большими (уменьшение a, b и увеличение T1, T2 приводит лишь к уменьшению скорости сходимости отклонений).

3. Пример

Для иллюстрации приведенных результатов рассмотрим задачу управления движением тягача с прицепом (см. рис. 1). В указанных на рисунке

Рис. 1. Тягач с прицепом.

Рис. 2. Графики решения системы (2) при n = 5 и управлениях (11).

обозначениях кинематические уравнения движения имеют вид (см., например, [16])

xc = v cos ,

yc = v sin 6>o, <¿ =

(10) , v

0*0 = у tg <£>,

В качестве управляющих воздействий возьмем v и ^. Система (10) локальной заменой переменных может быть приведена к виду (1) при n = 5 (см. [4]).

Рассмотрим для примера задачу стабилизации движения вдоль прямой линии, что соответствует значениям (хгс угс фг 0го 0Г1 ьг шг) = (£ 0 0 0 0 1 0), или в новых переменных (хг1 хг2 хг3 хг4 иг1 «г2) = (£ 0 0 0 0 1 0). Заметим, что управление «Г1 здесь постоянно, так что управления (6) и (9), построенные согласно второму алгоритму, являются частным случаем управлен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком