ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 72. Вып. 3, 2008
УДК 531.36:534.014.2
© 2008 г. П. М. Белоцерковский, Л. В. Пугина КАЧЕНИЕ КОЛЕСА ПО РЕЛЬСУ С ВОЛНООБРАЗНЫМ ИЗНОСОМ
Исследуется качение без отрыва твердого массивного колеса, несущего статический груз, по рельсу с волнами на поверхности катания, возникающими в результате неравномерного износа. Рельс поддерживается упруговяз-ким основанием. Благодаря инерции колеса и экипажа горизонтальная составляющая скорости центра колеса мало отличается от постоянной величины, поэтому движение колеса вдоль рельса предполагается равномерным. Рассматриваются установившиеся вертикальные колебания колеса. Вертикальная координата центра колеса, а также разность между продольными координатами центра колеса и точки касания колеса и рельса - периодические, соответственно четная и нечетная функции продольной координаты центра колеса, их период равен длине волны на поверхности рельса. Периодическая сила взаимодействия колеса и рельса определяется в виде ряда Фурье. На поверхности рельса часто наблюдаются короткие волны, амплитуда которых много меньше их длины, а эта длина много меньше радиуса колеса. В этом случае коэффициенты ряда Фурье выражаются через функции Бесселя первого рода целого порядка. Наблюдения показывают, что глубина короткой волны на поверхности рельса увеличивается до тех пор, пока радиус кривизны во впадине волны не приблизится к радиусу колеса, поэтому предполагается, что упомянутые радиусы близки друг к другу или равны. В этом случае траектория центра колеса существенно отличается от волны на поверхности рельса.
Качение деформируемого колеса по ровному деформируемому рельсу исследовалось ранее [1]. Рассматривалось движение материальной точки по рельсу с синусоидальной неровностью [2-4] и с произвольной периодической неровностью [5, 6]. Качение круглого колеса по рельсу с синусоидальной неровностью исследовалось численно [7]. Рассматривалась общая задача о катании тела по движущейся поверхности [8].
1. Постановка задачи. Колесо радиусом r0 и массой m0, несущее статический груз p0, катится слева направо без отрыва по рельсу с волнами на поверхности катания (фиг. 1). Рельс поддерживается упруговязким основанием. Рассматриваются малые вертикальные колебания рельса, вызванные качением колеса. Силы прикладываются к недефор-мированному рельсу. Обозначим х и t продольную координату и время. Направление снизу вверх считаем положительным.
Профиль поверхности катания рельса и угол а его уклона задаются формулами
, , , 2пх ,,, , 2па . 2пх п п
h(х) = -acos —--—, tgа = h (х) = -т—sin-т—, -- <а< - (1.1)
К К К 2 2
где а - амплитуда, К - длина волны. Обозначим r1 = (К/(2п))2/а радиус кривизны в низшей точке впадины (или на вершине гребня) волны.
Пусть величина ас задает уклон профиля в точке касания колеса и рельса. Если задана продольная координата точки касания хс, то продольная и вертикальная ко-
Фиг. 1
ординаты центра колеса x0 и y0 выражаются через радиус колеса r0 при помощи формул
( a 2 2 п хл-1/2 2п xc х0 = xc - r0sin ac, y0 = h (xc) + r0cos ac = r0^ 1 + —sin —j— j - a cos—j— (1.2)
Траектория центра колеса имеет радиус кривизны, равный r1 - r0, когда колесо находится над низшей точкой впадины, и r1 + r0, когда оно находится над вершиной гребня. Штриховая кривая на фиг. 1 изображает траекторию центра колеса с предельным значением радиуса r0 = r1, вычисленную при помощи формул (1.2). В этом случае радиус кривизны траектории над низшей точкой впадины равен нулю. На фиг. 1 также показаны положения колеса в низшей точке впадины, на вершине гребня и в точках перегиба, разделяющих впадину и гребень волны. При скатывании колеса с вершины гребня точка касания оказывается позади центра колеса. При подъеме колеса на вершину эта точка находится впереди центра. Разность продольных координат точки касания и центра колеса достигает экстремального значения при прохождении точкой касания перегибов профиля. На фиг. 1 показаны расстояния d1 и d2, пройденные центром колеса соответственно при обкатывании гребня и впадины.
Рассмотрим путь с короткими волнами. Предположим, что a < J ^ r0. В предельном случае r0 = r1 имеют место равенства d:, 2 = J(1/2 ± 1/п). Таким образом, dx = 0.82J и d2 = 0.18 J. Будем полагать, что горизонтальная составляющая скорости центра колеса и0 постоянна, а продольная координата центра колеса равна x0 = u0t. В этом случае время обкатывания гребня (впадины) составляет 82% (18%) времени прохождения всей волны. Неравномерное движение точки касания приводит к появлению гармоник высшего порядка в зависимости вертикальной координаты центра колеса от его продольной координаты и от времени.
В другом предельном случае r0 = 0 колесо стягивается в точку, ее траектория определяется первым равенством (1.1), включающим в себя единственную гармонику. В этом предельном случае d1 и d2 равны длине полуволны J/2, а время движения этой точки по гребню волны равно времени ее движения по впадине.
Контактная сила fc(t) действует на колесо и рельс в противоположных направлениях и имеет период J/u0. Обратная величина и0Д равна частоте прохождения волн на поверхности рельса. Обозначим ю0 = 2пц/J угловую скорость, соответствующую этой частоте. Положительные направления контактной силы для колеса и рельса показаны на фиг. 2. Можно считать, что эта сила приложена к центру колеса и к точке
центральной оси рельса с вертикальной координатой -h0 и с продольной координатой Xj = Хо + (xc - Xo)(ho + Го)/Го.
Пусть вертикальная составляющая контактной силы представляется рядом Фурье
f(t) = -Ро X Fn exP(1) (1.3)
n =
Безразмерные коэффициенты ряда Фурье Fn неизвестны и подлежат определению.
2. Качение колеса по волнистому недеформируемому пути. Нелинейные уравнения (1.2) ранее решались численно в [7]. Далее будем считать амплитуду волны a малой величиной. Отбросим малые величины более высокого порядка, чем a. Для этого заменим в первом уравнении (1.2) малую величину первого порядка sin ac близкой к ней величиной tgac, определяемой вторым равенством (1.1). Преобразуем второе уравнение (1.2), используя биномиальное разложение. Для сокращения записи введем безразмерное время т = 2пц/Д и безразмерную координату точки касания колеса и рельса Sc = 2rnc[k. Тогда уравнения (1.2) приобретут вид
т = ^c - R sin Sc. У о = Го-a ((R/2) sin2 ^ + cos ^), R = (2.1)
Отметим, что первое равенство (2.1) подобно уравнению Кеплера, связывающему эксцентрическую аномалию планеты с ее средней аномалией (см. [9], гл. 19, п. 720). Второе равенство линейно относительно малой величины a. При возрастании одной из величин Sc и т на 2п значение другой также возрастает на 2п. Вертикальная координата центра колеса y0 - четная периодическая функция безразмерного времени т, имеет период 2п и может быть представлена в виде ряда Фурье:
+ Го п п
1 2
Уо = ao+ X an cos (пт). ao = п J Уо йт. an = п JVoCos (n т) йт. n > 1
n = 1 о о
Пределы интегрирования 0 и п соответствуют низшей точке впадины и вершине гребня. Если центр колеса находится над вершиной гребня или над низшей точкой впадины, то разность между продольными координатами центра колеса и точки касания равна нулю. Для вычисления коэффициентов ап, п > 1 произведем интегрирование по частям. Примем величину £с в качестве новой переменной интегрирования, что не требует изменения пределов интегрирования. Учитывая, что внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, получим
2 п 2 п й
ап = — 1у° (пт) = -пп 1^ (пт) щ-
0 0 с
Подставим выражения (2.1) в предыдущие подынтегральные выражения и приведем интегралы к виду
п
а° = п|(Г°- а £с + СО!4 1- Я С°» £,с)й£с = Г0 + а4 (2.2)
ап
п
а
пп
1вт(п£с - пЯ вт£с)(2вт£с - Я вт(2£с))С£с (2.3)
Заменяя произведения тригонометрических функций под знаком последнего интеграла суммами тригонометрических функций, получим сумму четырех интегралов вида
п
(г) = - [ с°» (г »ш £с - п£с )С£с п
1п
Каждый интеграл представляет собой функцию Бесселя первого рода ([10], формула 9.1.21). В результате этих преобразований получим выражение
ап = ап-\ 1п + -(пЯ) - 1п -1 (пЯ) - (Я/2)( Зп + 2(пЯ) - Зп-п(пЯ)))
которое содержит четыре функции Бесселя, различающиеся только своим порядком. Последовательно применяя рекуррентную формулу ([10], формула 9.1.27), заменим четыре функции Бесселя одной. Подставим коэффициенты а0 и ап, п > 1 в ряд Фурье. Возвращаясь к переменной Г, получим разложение вертикальной координаты центра колеса у0 в тригонометрический ряд
У° = + Я -Я X --^СО» (пш° г) (2.4)
2а 1 (пЯ)
Я п = 1 п
Если г0 ^ 0, то постоянные слагаемые в правой части равенства (2.4) обращаются в нуль. Принимая во внимание асимптотическую формулу ([10], формула 9.1.7), заключаем, что 2/1(Я)/Л ^ 1, а при п > 2 1п(пЯ)/Я ^ 0. В результате предельного перехода в ряде (2.4) остается только одно ненулевое слагаемое, которое тождественно гармонической величине й(х0), определяемой формулой (1.1). Таким образом, учет радиуса колеса г0 приводит к появлению гармоник высшего порядка в правой части равенства (2.4).
3. Установившиеся вертикальные колебания рельса. Определим деформацию рельса под действием вертикальной составляющей /(Г) контактной силы /с( Г), показанной на фиг. 2. Обозначим у(х, 0 направленное вверх поперечное отклонение рельса. Уравнение
°
°
вертикальных колебаний рельса, который имеет изгибную жесткость Е1 и поддерживается однородным основанием с жесткостью и и вязкостью г, записывается в виде [11]
4 2
+ рЭ-^ + гЩ^ + иу(х, г) _ 5(X - х!)/(г) (3.1)
Эх дг дг
Линейная плотность р включает в себя распределенную массу рельса, а также массу подрельсового основания, колеблющуюся вместе с рельсом. Функция Дирака 5(х - х1) задает положение сосредоточенной силы /(г) в точке х1 на оси рельса.
Будем полагать, что задолго до появления катящегося колеса рельс находился в покое. Под действием вязкости однородного основания рельс возвращается в состояние покоя после удаления колеса. Перейдем к движущейся системе координат. Функция г^, г) = у^ + и0г, г) двух независимых переменных ^ = х - и0г и г описывает установившиеся вертикальные колебания
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.