научная статья по теме КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГЕНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ Математика

Текст научной статьи на тему «КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГЕНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ»

ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2015, No 2, с. 46 53

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА

У V 004.92+004.94

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГЕНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ

АЛГЕБРЫ *

© 2015 г. Франсуа Булье4, Маоан Хан1} Франсуа Лёмэр4, Валерий Романовский1'2'3

1

Shanghai 200234, Р- R- China

2

Krekova 2, SI-2000 Maribor, Slovenia

3

Кoroska с. 160, SI-2000 Maribor, Slovenia 4

59655 Villeneuve d'Ascq, France E-mails: Francois.Boulier@univ-lillel.fr, mahan@shnu.edu.cn, Francois.Lemaire@lifl.fr,

Valéry. Romanovsky@uni-mb. si Поступила в редакцию 20.06.2014

С использованием алгоритмов и пакетов систем компьютерной алгебры проведено качественное исследование трехмерной автономной системы ОДУ, использованной в работе [1] для моделирования динамики гена. Предложен вычислительный подход, основанный на алгоритмах теории исключения, для нахождения инвариантных поверхностей многомерных полиномиальных систем дифференциальных уравнений, который позволяет свести изучение динамики системы к исследованию динамики траекторий системы меньшего порядка. Предложен также эффективный подход, основанный на использовании функций Ляпунова, для изучения бифуркаций Андронова-Хопфа, который использован для поиска таких бифуркаций в рассматриваемой модели.

1. ВВЕДЕНИЕ

Многие биологические и химические процессы моделируются полиномиальными системами дифференциальных уравнений вида

x 1 = fi(xi,...,xn),

! (1) xn = fn(x 1,...

, xn),

* Работа выполнена при поддержке National Natural Science Foundation of China (11271261), Slovenian Research Agency и Marie Curie International Research Staff Exchange Scheme Fellowship within the 7th European Community Framework Programme, FP7-PEOPLE-2012-IRSES-316338.

^Корреспонденцию, касающуюся данной статьи, следует адресовать М. Хану (E-mail: mahanQshnu.edu.cn).

где fl,...,fn полиномы, зависящие от параметров. Большинство исследований в области математического моделирования биохимических процессов посвящено численному изучению таких систем. Однако при таком подходе мы можем проследить за поведением только нескольких траекторий системы (1) при некоторых, в большинстве случаев случайно выбранных, значениях параметров и не можем сказать что-нибудь определенное об общих свойствах решений системы.

Изучение общих свойств автономных систем ОДУ является предметом качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Основными объектами исследования являются особые точки (состояния равновесия), пре-

дельные циклы и хаотические аттракторы. В настоящее время имеются эффективные методы для изучения поведения траекторий в окрестности особой точки - если особая точка известна, с помощью алгоритмического подхода в большинстве случаев можно установить фазовый портрет системы в окрестности особой точки. Однако системы вида (1), возникающие при изучении биохимических моделей, обычно содержат много параметров, поэтому нахождение особых точек таких систем уже само по себе является сложной проблемой. Поскольку в большинстве случаев одним из главных вопросов при изучении таких моделей является определение автоколебательных режимов системы, многие исследования посвящены поиску областей в пространстве параметров системы, при которых появляются такие режимы, математически соответствующие бифуркации Андронова-Хопфа (см., например, [2, 3] и ссылки, приведенные там).

В отличие от большинства работ по исследованию биохимических моделей, в настоящей статье мы предлагаем начинать изучение модели не с поиска особых точек, но с поиска инвариантных поверхностей системы (1). Если нам удастся найти такие поверхности, во многих случаях это может помочь понять поведение траекторий системы с помощью анализа векторного поля системы, редуцированного на инвариантную поверхность.

Мы используем эту идею при изучении системы

С=0(70 - С - СРп),

Р=па(70 - С - СРп) + 5(М - Р), (2)

М =ЛС + 70^ - М,

предложенной в [1]. Данная система дифференциальных уравнений представляет собой простое семейство моделей зависящих от параметра п € N. Она описывает динамику гена, регулируемого п

ного протеина: протеин Р = Р\ может реагировать с полимером Рг, порождая другой полимер Рг+1, при 1 < г < п. Полимер Рп является регулирующим протеином гена: в зависимости от значения параметров он увеличивает или подавляет активность гена. Модель описывает состо-

яние G гена, концентрацию M матричной ри-бонуклиновой кислоты (мРНК), транскрибируемой геном, и концентрацию P протеина, определяемую мРНК. Три уравнения системы (2) получены в результате упрощения первоначальной модели, состоящей из n + 2 дифференциальных уравнений, зависящих от 2 n + 5 параметров, полученной в результате анализа химической реакции, основываясь на законе действующих масс химической кинетики. Другая редуцированная модель, основанная на теории квазиравновесной аппроксимации, изучалась в работе [4], которая, в свою очередь, основана на работе [5].

Все переменные и параметры, кроме Л, являются положительными (отрицательный Л соответствует разности двух кинетических констант первоначальной модели). Если Л < 0, полимер действует как репрессор, в противном случае - как активатор. Переменная G понимается как булевая переменная, но записанная, как непрерывная; диапазон ее значений [0, 70]. При G = 0 регулирующий протеин не ограничен генным промотором, тогда как при G = 70 - ограни-G

ожиданием состояния гена.

В настоящей статье с использованием средств компьютерной алгебры изучаются качественные свойства траекторий системы (2). Вначале мы находим инвариантные поверхности первой степени. Затем изучается динамика потока векторного поля на этих поверхностях в случаях n = 1

n=2

числительный подход, основанный на использовании функций Ляпунова, для нахождения в пространстве параметров систем, допускающих бифуркацию Андронова-Хопфа, который проде-

n=2

Изучение проведено с использованием систем компьютерной алгебры Матнематюа и Singular [6]. Процедура Reduce системы Матнематюа использовалась для решения полуалгебраических систем. Библиотека primdec.lib [7] системы Singular применялась для нахождения решений полиномиальных систем (т.е. для нахождения неприводимых разложений алгебраических многообразий), процедура eliminate - для вычисления идеалов исключения. Некоторые вычисления были проведены также в системе MAPLE с использо-

ванием пакетов DifferentialAlgebra, Groebner и RegularChains.

2. ИНВАРИАНТНЫЕ ПЛОСКОСТИ СИСТЕМЫ

Переходя к более традиционным обозначениям x = G,y = P,z = M получаем из (2) систему

x =0(yo — x — xyn), y =n a(Yo — x — xyn) + 5(z — y), Z =X x + Yo V — z,

(3)

где у, в, ^о, а, 5 положительные параметры, но Л может принимать отрицательные значения. Нетрудно видеть, что поверхность, определяемая уравнением Е = 0, где Е - некоторый полином, является инвариантной поверхностью системы

x 1 = P (xi,x2,x3), x 2 = R(xi,x2,x3),

x 3 = Q(xi,x2,x3),

(4)

с соответствующим кофактором

К (х,у,г) = ко + к\х\ + к2у + кз г. (7)

Подставляя эти выражения для Е(х\, х2, х3) и К(х\,х2,х3) в уравнение

D(F) = KF

(8)

и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем полиномиальную систему

hi = h2 = ••• = hio = 0

где

где максимальная степень полиномов Р, Q, Я равна ш, тогда и только тогда, когда

дЕ дЕ дЕ Б(Е) := дд~Р + ^ + дд~Я = К Е, (5) дх\ дх2 дх3

где К - полином степени не выше ш-1. Полином Е

К

Следующая теорема дает условия на коэффициенты системы (3), при которых у системы существует инвариантная поверхность первой степени, т.е. инвариантная плоскость. Некоторые из этих поверхностей являются также центральными многообразиями системы.

Теорема 1. Система (3) имеет, инвариантную плоскость, если выполняется одно из следующих условий: (г) 5 = 0, (И) ^о = 0, в=0

(гю) п а 5 + Л в — па = 0, Л=0

Доказательство. Рассмотрим вначале систему (3) с п = 1. Будем искать инвариантные плоскости системы в виде

F(x, y, z) = fo + fix + f2y + f3Z,

(6)

hi = —fiki h2 = —f2k2

h3 = —Sf2 — f2ko — fo k2

h4 = —f3k3

h5 = Sf2 — f3 — f3ko — fok3 h6 = —f3ki — fik3 hi = —f3k2 — f2k3

h8 = —af2 — f2ki — fik2 — fid h9 = —af2 — fiko — foki + f3\ — fid hio = af2Yo — foko + f3YoV + fi Yo9.

Обозначим через I := (hi, h2,..., hio) идеал, порожденный приведенными выше многочленами. Чтобы получить условия существования инвариантной плоскости, нужно исключить из системы переменные fi и ki. Заметим, что система (8) всегда имеет решение F = fo, K = 0. Сле-

I

ляется нулевым идеалом (о теории исключения см., например, [9]). Чтобы преодолеть это препятствие, нужно наложить условие, что полином (6) отличен от константы. Это можно сделать с помощью так называемого "трюка Раби-

I

1 — wfi, получая идеал J = (1 — wfi,I). Вычисляя 9-й идеал исключения идеала J в кольце Q[w, fo, fi, f2, f3, ko, ki,k2, k3,9, a, v, 5, Yo] с помощью процедуры eliminate системы Singular, находим, что данный идеал исключения является главным идеалом, порожденным полиномом 5 yo 92(—a + a5 + X 9). Подобным обра-

J=

(1 — wf2, I), получаем

(X52(—a + a5 + X 9),a5(—a + a 5 + X 9)).

Это означает, что система (1) имеет решение, если выполнено одно из условий (¿)-(1у).

Вычисляя 9-й идеал исключения идеала 7 = (1 - ш/3, I), получаем идеал

(Л0(-а + ай + Л0)).

Это дает условие (у) теоремы.

Покажем теперь, что при выполнении одного

п=1

п

вариантную плоскость. Для доказательства найдем такую плоскость в каждом случае.

В случае система имеет первый интеграл вида Ф = % - паж, который определяет семейство инвариантных плоскостей.

(и) В этом случае ж = 0 - инвариантная плоскость.

(111) В данном случае система имеет первый интеграл Ф = ж.

(¿у) Найдем сначала инвариантные плоскости системы (3) с п = 2 (подобным образом, как мы

п=1

Вычисляя, получаем, что инвариантная плоскость существует, если 2ай + Л0 - 2а = 0. Это дает основание предположить, что система (3) с п

если выполнено условие (¿у). Действительно, в этом случае нетрудно видеть, что уравнение ^ = 0, где ^ = —- апж + айпж + % - + определяет инвариантную плоскость системы.

(у) В данном случае г = 7о^ - инвариантная плоскость системы. □

Примечание 1. Мы не можем утверждать, чт

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»