1 Как измерили
Солнечную систему
Е.Д.Трифонов
Когда мы теперь узнаем о последних достижениях астрономии и астрофизики, то должны осознавать, что они стали возможны благодаря выдающимся открытиям прошлого, представляющим шедевры человеческой мысли. Все началось, конечно, с изучения нашей Солнечной системы. Кто, например, смог впервые оценить ее размер?
До нас дошло сочинение древнегреческого астронома Аристарха Самосского (310 — 230 гг. до н.э.) «О размерах и расстояниях Солнца и Луны», в котором излагаются разумные способы нахождения этих величин. Но результаты их применения в то время получились довольно грубыми. Например, расстояние до Солнца, как его определил Клавдий Птолемей (87—165), оказалось меньше истинного в 20 раз. Иоганн Кеплер (1571 — 1630), исходя из соображений придуманной им гармонии мира, увеличил эту величину в три раза, но первое достаточно точное ее определение, основанное на измерении положения Марса, было выполнено лишь в 1670-х годах. Так что Исаак Ньютон (1643—1727) уже располагал довольно точным значением этой величины.
Радиус Земли
Насколько нам известно, измерение радиуса Земли впервые
© Трифонов Е.Д., 2008
Евгений Дмитриевич Трифонов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики и астрономии Российского государственного педагогического университета им.А.И.Герцена (Санкт-Петербург). Область научных интересов — нелинейная квантовая оптика.
выполнил древнегреческий ученый, приятель Архимеда, Эрато-сфен (276—195 гг. до н.э.), который трудился в Александрии. Он нашел наименьший угол, который солнечный луч в день летнего солнцестояния образовывал с вертикальным шестом, стоявшим около библиотеки, где он работал. Для этого надо было измерить минимальный размер тени этого шеста. Этот угол оказался равным приблизительно 7°. В то же время он знал, что в городе Сиена, расположенном в верховье Нила и отстоящем к югу от Александрии на 5000 стадиев*, в этот день минимальный угол тени равен нулю, т.е. Солнце стоит в зените. Используя представление о том, что расстояние от Земли до
* Стадий — это единица длины, принятая в Древней Греции. В разных районах Греции этой величине придавались различные значения, от 150 до 200 теперешних метров.
Солнца значительно больше земного радиуса, и, следовательно, солнечные лучи, падающие на поверхность Земли, можно считать параллельными, Эратосфен высказал утверждение, что 5000 стадиев составляют 7° земного меридиана. Значит, полный меридиан (360°) равен приблизительно 250 тыс. стадиев. Правда, неясно, с какой точностью было известно расстояние Александрии до Сиены. Кроме того, Сиена немного смещена к востоку, а расстояние надо было измерять строго по меридиану. Греческая Сиена — это теперешний Асуан, который, действительно, находится почти на Северном тропике, имеющем северную широту 23.5°. Александрия расположена на 31°с.ш., т.е. в 7.5° от Северного тропика. Какой восторг ощутил Эратосфен, когда впервые получил значение радиуса Земли! Но, может быть, он уже имел
предварительные оценки этой величины, связанные с определением радиуса видимости на водной поверхности в зависимости от высоты Ь, на которой находится наблюдатель:
г = V(Ь + Е)2 - Е2 = <2Ш.
Житейский опыт показывает, что с высоты Ь ~ 10 м радиус видимости г ~ 10 км. Откуда можно получить
R
R2 2h
5000 км.
Принятое в настоящее время среднее значение радиуса Земли равно 6 371 030 м.
Расстояние до Луны
Радиус Земли, нашей родной планеты, — это первая измеренная характеристика Солнечной системы. Займемся теперь нашим спутником — Луной. Очень давно было известно, что угловые размеры Луны и Солнца с хорошей точностью одинаковы: при полных солнечных затмениях диск Луны аккуратно накрывает диск Солнца. Этот угловой размер довольно просто измерить без каких-либо специальных инструментов. Достаточно просто подобрать щепочку, которая точно перекрывала бы диск Луны, если держать щепочку на вытянутой руке. Отношение ширины щепочки к расстоянию ее до глаза и есть угловой размер Луны, выраженный в радианах. Если вы проведете такое измерение, то найдете, что это отношение равно приблизительно одной сотой. Более точное измерение дает 0.0087. Ту же величину имеет и угловой размер Солнца, выраженный в радианах*. Переводя радианы в градусы, для углового размера Солнца и Луны получаем а = 0.5°.
* Напомним, что значение угла в радианах получается, если длину дуги окружности, стягивающей этот угол, разделить на радиус окружности, 360° — это 2п радиан.
Первое, причем достаточно точное, определение размеров Луны было осуществлено древнегреческим астрономом Гип-пархом (II в. до н.э.). Он воспользовался методом, предложенным Аристархом, который основан на известных сведениях о лунном затмении: угловой размер тени Земли на Луне равен в = = 80' = 0.023 радиан. Этого было достаточно, чтобы при известных радиусе Земли и угловом размере Луны геометрическим путем вычислить расстояние до Луны. Рассмотрим схему лунного затмения, изображенную на рис.1. Основным является допущение, что расстояние до Солнца значительно больше расстояния до Луны. Тогда угол ABC можно считать равным угловому размеру Солнца а. Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению оснований. Основанием треугольника ABC служит диаметр Земли, а основанием треугольника A'BC' — диаметр земной тени на расстоянии до Луны, который превышает диаметр Луны.
земной тени будет равен D3T = = Le, и
Hl
Нл
D1
Lp.
А так как Нл = Нз - L и
Нз= D, то L
3 а '
а + в
Умножая L на а, получаем диаметр Луны
rv
Вл= D 3
о $
é
а + в
HЛ
Di
Смысл величин Нз и Нл ясен из рис.1.
Если расстояние до Луны обозначить через I, то диаметр
Таким образом было найдено, что расстояние до Луны равно почти 30 земным диаметрам, а диаметр Луны всего в 32/з раза меньше диаметра Земли.
Расстояние от Земли до Солнца
Свой труд Аристарх начинает с изложения идеи определения отношения между расстояниями от Земли до Солнца и Луны (рис.2). В момент, когда точно освещена половина Луны, надо измерить угол ф между лучами, направленными от наблюдателя на центры Солнца и Луны. Так как в этот момент угол между прямой, соединяющей центры Солнца и Луны, и лучом, на-
Рис.1. Идея Аристарха определения расстояния до Луны по наблюдению лунного затмения. Измерения по этому методу были осуществлены Гиппархом.
Рис.2. Метод Аристарха определения расстояния Земли до Солнца. Для пояснения идеи Аристарха мы были вынуждены исказить масштаб: на самом деле расстояние от Земли до Солнца приблизительно в 400 раз больше расстояния Луны до Земли, а диаметр Луны приблизительно в 100 раз меньше расстояния Земли до Луны.
правленным от наблюдателя на центр Луны, равен 90°, то искомое отношение равно cosф. Угол Ф был оценен Аристархом величиной в 87°, что давало отношение указанных величин заниженным приблизительно в 20 раз. Идея метода очень простая, но осуществить измерение угла Ф сложно из-за трудности установления момента времени, когда освещенной оказывается точно половина Луны.
Истинное расстояние от Земли до Солнца, так же как и расстояния от Солнца до других планет, не было известно даже великому Кеплеру. Как же он мог тогда установить свой третий закон, связывающий величины радиусов планетных орбит с периодами обращения их вокруг Солнца? Дело в том, что угловые измерения позволили определить радиусы всех орбит в единицах радиуса земной ор-
биты. Например, для Венеры, орбита которой находится ближе к Солнцу, чем земная, было измерено максимальное угловое отклонение рmax от направления на Солнце. Из рис.3 видно, что sinpmax равен отношению радиуса орбиты Венеры к радиусу орбиты Земли.
Относительные расстояния до внешних планет (конкретно, до Марса) находятся с помощью той же идеи, что и расстояния до внутренних планет. Нужно найти наибольшее угловое отклонение Земли, как если бы оно наблюдалось с Марса (рис.4). Так как угловые скорости обращения всех планет вокруг Солнца были известны, то угол 8 между направлениями от Солнца на Землю и Марс мог быть вычислен для любого момента времени. Угол у между направлениями от Земли на Марс и Солнце измерялся непрерывно в течение года. Для того момента времени, когда угол у становился близким к прямому, вычислялось значение угла 8. Из рис.4 видно, что Lu/L3 = ctgp.
Поэтому если измерить радиус орбиты Марса, то сразу же можно было бы вычислить радиус орбиты Земли. Наблюде-
Рис.3. Определение относительного расстояния внутренних планет до Солнца.
Рис.4. Определение относительного расстояния внешних планет до Солнца. Угол 8 вычисляется для момента времени, когда угол у становится прямым.
ния, позволившие определить расстояние до Марса Ь-м, были выполнены во второй половине семнадцатого века французскими астрономами. Из двух точек земного шара, разделенных известным расстоянием, наблюдалось положение Марса, который в тот момент времени находился ближе всего к Земле, так что 1зм = ьм - 1з. По измеренным углам наблюдения и известному расстоянию между точками наблюдения было вычислено расстояние Ь-м, а затем по известному отношению Ьм/Ьз находились и абсолютные значения Ьм и Ь-. Это было фактически первое более или менее надежное измерение расстояния Земли до Солнца, которое позволило установить разумный масштаб Солнечной системы. Погрешность измерения, как оказалась впоследствии, составила около 10% и была связана, по-видимому, с неточностью определения одновременности обоих измерений при определении расстояния до Марса.
Остроумный способ измерения расстояния Земли до Солнца был предложен современником и другом Ньютона — Эдмундом Галлеем (1656—1742). Этот метод был основан на явлении прохождения Венеры по диску Солнца. Измеряемая величина — время прохождения Венеры по диску Солнца, которое составляет несколько часов и может быть определено с хорошей точностью. Эти измерения должны были проводиться из разных точек земного шара.
Рассмотрим постановку этой задачи более детально. Для пояснения идеи Галлея сделаем несколько упрощений. Будем считать, что плоскость орбиты Земли и плоскость орбиты Венеры с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.