ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 4, с. 160-176
РОБОТОТЕХНИКА ^
УДК 62-50
КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ПУТЕВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ*
© 2015 г. А. В. Пестерев1, 2, Л. Б. Рапопорт1, С. Б. Ткачев3, 4
ИПУ РАН, Москва 2 ООО "Джавад Джи Эн Эс Эс" 3МГТУим. Н.Э. Баумана, 4 ИСА РАН
Поступила в редакцию 17.12.14 г., после доработки 17.02.15 г.
Рассматривается задача путевой стабилизации для кинематических моделей колесных роботов, описываемых нелинейными нестационарными аффинными системами со скалярным управлением. Вводится понятие канонического представления задачи. В каноническом представлении задача путевой стабилизации формулируется как задача стабилизации нулевого решения по части переменных и легко решается применением метода точной линеаризации обратной связью. Показано, что исходная задача сводится к каноническому виду с помощью замены независимой переменной (времени) и последующего преобразования полученной промежуточной аффинной системы к нормальной форме. Установлено, что каноническое представление не единственно и определяется выбранной заменой независимой переменной. Обсуждаются преимущества и недостатки трех канонических представлений, получающихся с помощью предложенных ранее замен независимых переменных. Приведен пример задачи путевой стабилизации, описываемой аффинной системой с нестационарным дрейфовым полем.
Б01: 10.7868/80002338815040113
Введение. Колесным роботом (КР) принято называть автоматическое транспортное средство с установленными на нем датчиками и навигационным оборудованием. Существует много приложений, в которых требуется, чтобы транспортное средство, движущееся по ровной поверхности или пересеченному рельефу (с препятствиями или без препятствий), переместилось из заданной начальной позиции в желаемую конечную позицию или следовало вдоль заданной кривой/траектории (см. [1—3], а также приведенные там ссылки). Такие задачи возникают, например, в сельском хозяйстве [4, 5] (в области так называемого точного земледелия). В рассматриваемой в настоящей статье задаче путевой стабилизации целью управления является выведение робота из заданного начального состояния на предписанный криволинейный путь и стабилизация движения вдоль этого пути. Решению этой задачи посвящено большое число публикаций (см., например, [3—11] и приведенную там библиографию). Рассматривались различные модели колесных роботов (например, модель одноколесного велосипеда, кинематические модели автомобилепо-добного робота с приводом и без привода, модели с прицепами и т.д.) и разные целевые кривые (прямые, дуги окружностей, криволинейные траектории общего вида).
Один из часто и успешно применяемых подходов к решению задачи путевой стабилизации основан на частичной точной линеаризации уравнений движения с помощью подходящим образом выбранной обратной связи [3—9] (в англоязычной литературе для методов этого типа используется термин partial feedback linearization). В рамках этого подхода ищется такая нелинейная обратная связь, для которой замкнутая система становится линейной относительно стабилизируемых переменных. Применение этого подхода к конкретной системе предполагает приведение уравнений движения к некоторому специальному виду, допускающему такую линеаризацию. Примером такого специального вида может служить так называемая цепная форма [3, 6, 12, 13] — одна из наиболее важных канонических форм в области управления колесными роботами, которая использовалась для линеаризации различных моделей КР в [3—6, 10]. Применение цепного преобразования к рассматриваемым в настоящей статье системам с одним входом дает неавтоном-
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-07-06484а).
ную систему [3—6], которая легко приводится к линейному виду. Однако, с одной стороны, приведение к цепному виду является в общем случае нетривиальной задачей, с другой стороны, полученное с его помощью представление задачи путевой стабилизации — не единственное представление, допускающее точную линеаризацию по части переменных с помощью обратной связи. Например, в [8, 9, 14—16] для двух моделей КР были выведены отличные от цепного представления, допускающие точную линеаризацию по части стабилизируемых переменных, с помощью которых были синтезированы и реализованы на практике стабилизирующие управления для задачи путевой стабилизации.
Цель настоящей работы — определить класс представлений (далее называемых каноническими) задачи путевой стабилизации для колесных роботов, допускающих точную линеаризацию по части стабилизируемых переменных, разработать метод нахождения такого представления и показать, что полученные ранее представления, с помощью которых были синтезированы линеаризующие обратные связи для некоторых моделей КР, во-первых, являются частными случаями общего канонического представления, во-вторых, могут быть выведены единым образом с помощью предложенного в статье подхода и, в третьих, могут быть обобщены на другие более сложные модели. Рассматриваются только кинематические модели движения КР, полученные в предположении об отсутствии проскальзывания колес, дополненные при необходимости моделями динамики привода рулевых колес.
Статья организована следующим образом. В следующем разделе дана математическая постановка задачи путевой стабилизации для достаточно общей кинематической модели КР, описываемой нелинейной нестационарной п-мерной аффинной системой управления. В разд. 2 вводится понятие канонического представления задачи путевой стабилизации, для которого стабилизирующая обратная связь находится особенно просто, и устанавливаются условия, при которых обратная связь, стабилизирующая каноническую систему, является стабилизирующей обратной связью и для исходной системы. Хотя основные результаты раздела, утверждение и теорема 1, почти дословно повторяют аналогичные утверждение и теорему в [15], где было впервые введено понятие канонического представления задачи путевой стабилизации, они приведены здесь не только для целостности изложения, но также из следующих соображений. Во-первых, в [15] рассматривался частный случай аффинной системы, а именно аффинная система с дрейфовым полем, представимым в виде произведения зависящей от времени недифференциру-емой скалярной функции и стационарного векторного поля. В настоящей работе каноническое представление системы обобщается на более общий случай системы, в которой не только скалярная функция, но и векторное поле зависят от времени. Во-вторых, приведенные в [15] определение и доказательство теоремы содержат некоторые неточности, которые устранены в настоящей статье. Преобразование исходной аффинной системы к каноническому представлению обсуждается в разд. 3. Показано, что сначала следует применять замену независимой переменной (времени), с помощью которой исходная система преобразуется к промежуточной аффинной системе, не содержащей недифференцируемой скалярной функции в дрейфовом поле, которая затем приводится к искомому виду методами теории нормальных форм [17]. Так как промежуточная аффинная система нестационарна, ее преобразование к нормальному виду отлично от рассматриваемого в [15] преобразования к нормальному виду стационарной аффинной системы. Замена независимой переменной обсуждается в разд. 4. Наконец, в двух последних разделах дан пример системы с нестационарным дрейфовым полем: рассматривается модель автомобилепо-добного робота, движущегося по неровной поверхности. Этот пример показывает, что постановка нестационарной задачи путевой стабилизации имеет практические применения.
1. Постановка задачи. Цель управления в задаче путевой стабилизации — вывести КР из заданной начальной позиции на целевую кривую и стабилизировать движение некоторой фиксированной на платформе КР точки С (так называемой целевой точки) вдоль этой кривой [3], при этом линейная скорость движения КР, служащая одним из двух управлений в задаче стабилизации точки или в задаче траекторной стабилизации, в задаче путевой стабилизации предполагается произвольной положительной априори неизвестной функцией времени.
Рассматривается колесная система общего вида, кинематическая модель которой описывается п-мерным вектором состояний х е ММп, где ММп — гладкое п-мерное многообразие (пространство конфигураций), и уравнения движения записываются в виде нелинейной аффинной системы
X = g 0 (х, + gl(X, 1)и (1.1)
со скалярным входом (управлением) и. В (1) g0(X, ?) и g1(X, ?) — векторные поля, g1(X, ?) Ф 0 Vх е Мп и V? е Я+, а v(t) >v0 > 0 — непрерывная, в общем случае заранее неизвестная функция времени. С содержательной точки зрения последнее означает, что значение функции v(t) может быть получено (измерено) в текущий момент времени ?, но отсутствует информация о ее поведении в последующие моменты времени. Примером такой функции может являться зависимость скорости движения точки С от времени при наличии внешнего контура управления скоростью движения, информация о работе которого недоступна. Здесь и всюду далее точка над символом используется для обозначения (полной) производной по времени.
Управление и, в общем случае, ограничено. Однако так как основной целью настоящей статьи является нахождение канонического представления задачи, форма которого не зависит от ограничений на управление, будем полагать далее, что система имеет неограниченный ресурс управления. В случае системы с ограниченным ресурсом управления ограничениям на управление можно формально удовлетворить, применяя к линеаризующему закону управления функцию насыщения. Система, замкнутая такой обратной связью, линейна не во всей области определения канонической системы и, таким образом, возникает задача нахождения области притяжения искомого решения для нелинейной системы специального вида. Для решения указанной задачи можно применять методы теории абсолютной устойчивости аналогично тому, как это делалось в [18, 19]. Однако это выходит за рамки рассмотрения настоящей статьи.
Цель управления — стабилизация в нуле скалярного выхода
У = К х, ?)
системы (1.1). Функция х, ?) в общем случае есть мера "отклонения"
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.