УДК 622.276
© А.М. Свалов, 2012
Капиллярное давление в горных породах
А.М. Свалов, д.т.н. (ИПНГ РАН)
The capillary pressure in the rocks
A.M. Svalov (Oil and Gas Research Institute of RAS)
Results of the analysis of stable forms of menisci, formed in the pore space of rocks, are presented. The obtained results are used for more correct interpretation of capillary pressure curves, obtained with the help of existing tools and methods of laboratory testing.
Ключевые слова: капиллярное давление, мениски, остаточная насыщенность. Адрес для связи: svalov@ipng.ru
При многофазной фильтрации в горных породах капиллярные явления, обусловленные наличием поверхностей раздела жидких фаз в поровом пространстве, определяют вид кривых фазовых проницаемостей и предельные значения насыщенности порового пространства несмешивающимися жидкостями. Силы поверхностного натяжения, действуя внутри относительно малого элементарного объема пористой среды, практически мгновенно приводят к состоянию равновесия заполняющих этот объем жидких фаз, обусловливая образование менисков - искривленных поверхностей раздела фаз, форма которых определяется геометрией порового пространства. Исследование влияния этого фактора на процессы, развивающиеся в насыщенных горных породах, является одним из ключевых направлений теоретической и практической нефтегазовой механики и геологии.
Для объяснения капиллярных эффектов, наблюдаемых в горных породах, недостаточно представлений о менисках, как о сферических или цилиндрических поверхностях, формирующихся в трубках кругового сечения или между двумя параллельными стенками. Аналитически установлено, что неправильная форма пустотного пространства и, в частности, наличие в нем острых углов, образуемых соприкасающимися зернами породы, обусловливает формирование устойчивых менисков вполне определенного вида, что в свою очередь определяет форму несвязных фаз. К такому несвязному состоянию фаза, насыщающая пористую среду, приходит при ее вытеснении другой фазой, и минимальное остаточное насыщение данной фазой при многофазной фильтрации определяется формой образующегося устойчивого мениска. Кроме того, в процессах нефтенакопления предельная устойчивая форма менисков при отсутствии вытесняющего перепада давления определяет характер вертикального движения нефти сквозь гидрофильные породы как всплытие
микрокапель нефти, отделяющихся от неподвижных капель, находящихся в порах нижележащих пород.
Как известно [1, 2], на поверхности раздела между двумя не-смешивающимися жидкостями должно выполняться условие Др = о-ф1 + = а-(1^ + 1/й2), (1)
где Др - разница давлений в фазах в данной точке поверхности; а - поверхностное натяжение; R1, R2 - главные радиусы кривизны поверхности в данной точке, обратные величинам главных кривизн k1 и k2.
В условиях равновесия гидростатическое давление р в фазах изменяется только за счет действия силы тяжести, но при размере пор от нескольких до десятков микрон вкладом гравитации в распределение давления вдоль поверхности раздела фаз можно пренебречь, поэтому в дальнейшем будем считать, что давления в фазах неизменны и отличаются друг от друга на постоянную величину капиллярного давления р. Поправка в величину р, обусловленная действием гравитационного фактора, определяется отношением характерного размера пор к так называемой капиллярной постоянной [1]. Для менисков, формирующихся внутри пор горной породы, эта поправка будет иметь порядок ~10-3.
Если представить уравнение поверхности раздела фаз (мениска) в виде функции х = х(х, у) (х, х, у - пространственные координаты), то из теории поверхностей [3] следует
k. + k2 =—+ — = — =
12 R R s
(1 + *V ) •Z« - 2zxzyzxy + (1 + z ) •z
yy
(.++z 2)
2\1,5
(2)
Индексы х и у обозначают операцию дифференцирования по этим переменным. Граничным для уравнения (2) является условие, согласно которому угол между поверхностью и стенкой поры в каждой точке пересечения мениска со стенкой должен быть равен углу смачивания 0.
Опуская выкладки, приведем окончательное выражение для суммы величин кривизны кх+к2 (или 1 /К1+1 ^ на линии z(x)
Рис. 1. Схематичное изображение типичной геометрической формы сечения пор в горной породе
Наиболее простые точные решения уравнения (2), имеющие большое практическое значение, соответствуют сферической поверхности мениска для капилляров с круглым сечением и цилиндрической - между двумя параллельными пластинами и позволяют физически обосновать понятие капиллярного давления. Вместе с тем необходимо учитывать, что геометрия порового пространства в горных породах далека от геометрии сферы или кругового цилиндра. Типичное сечение порового пространства, образуемого соприкасающимися гранями зерен породы, показано на рис. 1 и характеризуется наличием острых углов, которые существенно влияют на процесс формирования мениска.
Как следует из уравнения (2), в условиях равновесия капиллярное давление на всей поверхности мениска должно быть постоянным. Вместе с тем очевидно, что в сужениях сечения поры вблизи угловых зон, где грани зерен породы сближаются под малым острым углом, условие равного угла смачивания соседних граней приводит к неограниченному росту кривизны поверхности мениска в этих зонах. Следовательно, для того, чтобы капиллярное давление при приближении к угловой точке оставалось постоянным, необходимо, чтобы вторая главная кривизна поверхности также неограниченно возрастала, но с противоположным знаком. Другими словами, при приближении к вершине малого острого угла внутри порового пространства в одном направлении мениск должен иметь вогнутую форму, а в ортогональном направлении в этой же точке - выпуклую. Найти точное аналитическое решение уравнения (2), описывающее такую форму мениска, едва ли возможно, но качественные результаты, отражающие свойства поверхности мениска вблизи угловых зон, можно получить с использованием приближенного решения.
Для приближенного решения уравнения (2) вблизи угловой зоны поры будем учитывать, что при малых значениях угла раствора 2а << 1, малом изменении координаты х поперечный размер угловой зоны изменяется незначительно (рис. 2, а). Вследствие этого форма мениска между гранями двугранного угла в каждой точке будет близка к форме кругового цилиндра, расположенного между двумя параллельными пластинами, но изменяющего свой радиус и ориентацию в пространстве по мере приближения к оси х. Будем считать, что нефть (несмачи-вающая фаза) расположена над поверхностью мениска, а вода (смачивающая фаза) - под мениском. Функция z(x) - линия пересечения мениска со срединной плоскостью двугранного угла (см. рис. 2, б). Предположим, что в каждой точке этой кривой сечение мениска в ортогональной плоскости представляет собой часть круговой цилиндрической поверхности, пересекающей грани угла под углом 0, равным углу смачивания.
1?1 +
(1+г'2)1-5 х • (1+г'2)'
2\0,5
^008 0-(1 + х'2 + х'2
2а)0,5
Га)
х'^а
- + 1,
(3)
где - соответственно первая и вторая производная функции z(x) по переменной х.
Условие равенства суммы к1+к2 некоторой постоянной величине приводит выражение (3) к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, которое в отличие от точного уравнения (2) допускает полное аналитическое исследование свойств его решений. При этом замена £ = р(х) - к уравнению первого порядка, исследование интегральных кривых которого и их свойств может быть проведено традиционными методами теории дифференциальных уравнений.
Проведенный анализ показал, что при всех значениях констант интегрирования (т.е., при любой форме поры вдали от вершины двугранного угла) при приближении к оси z величина z' стремится к бесконечности. При этом бесконечное значение z' достигается не в точке х=0, а в некоторой точке х* > 0, и асимптотика функции X(х) вблизи этой точки имеет вид z'~ (х -х*)-0,5, т.е. значение £ в предельной точке х* конечно, и формально функция z(x) в этой точке становится двузначной (рис. 3).
Таким образом, для обеспечения условия равенства капиллярного давления по всей поверхности мениска рост одной главной положительной кривизны мениска при приближении к угловой точке поры должен компенсироваться увеличением другой кривизны с отрицательным значением, соответствующим выпуклости кривой z(x). При этом из условия постоянства суммы к1+к2 (капиллярного давления) следует, что поверхность раздела жидкостей не может достичь угловой точки, круто изгибаясь вниз на некотором расстоянии от оси £. Вместе с тем нижняя ветвь решения £(х) вблизи точки неоднозначности х* (см. рис. 3) нефи-зична, поскольку поверхность раздела не может описываться двузначной функцией и должна касаться вершины угла. Это противоречие исключается, если предположить, что вблизи верши-
Рис. 2. Двугранный угол поры с углом полураствора а (а) и кривая г(х) с круговыми линиями мениска в ортогональных плоскостях , соответствующая линии пересечения мениска с этой плоскостью (б)
и
х
х
+
Рис. 3. Форма мениска вблизи угловой точки поры
ны угла нефтяная фаза теряет связность, т.е. разделяется на множество мелких капель, превращаясь в эмульсию (см. рис. 3). При этом давление внутри мелких капель нефти вблизи угловой точки (оси х) может быть сколь угодно высоким, но в силу несвязности нефтяной фазы не должно являться постоянной величиной, единой для всех капель.
Безусловно, полученный результат может быть следствием упрощения точного уравнения (2), описывающего форму поверхности раздела, но он обосновывается также соображениями физического характера. Как известно, поверхностное натяжение на границе нефти (несмачивающей фазы) и твердого тела ант больше, чем на контакте воды (смачивающей фазы) и твердого тела авт. Этот вывод следует из известного условия равенства действующих сил в точке контакта всех трех сред ант = авт + авн•сos 0 (авн - поверхностное натяжение на границе раздела воды и нефти). Следовательно, поверхностная энергия единицы площади твердого тела, смоченного водой, меньше поверхностной энергии той же площади при контакте с нефтью. Именно эта разность энергий на поверхности контакта со скелетом породы обусловливает
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.