ЯДРА
КАРКАСНЫЕ ФУНКЦИИ В ВАРИАЦИОННЫХ РАСЧЕТАХ СИСТЕМ
НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ
© 2004 г. А. Г. Дончев, ^ А. Калачев, Н. Н. Колесников, В. И. Тарасов
Московский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 31.03.2003 г.; после доработки 19.11.2003 г.
Для вариационных расчетов молекулярных и ядерных систем небольшого числа частиц предлагается использовать каркасные базисные функции, обобщающие экспоненциальные и гауссовские пробные функции. Показывается, что матричные элементы гамильтониана выражаются в замкнутом виде для кулоновского и иных стандартных потенциалов взаимодействия частиц. По сравнению с другими методами применение таких каркасных функций в двухцентровых кулоновских задачах на порядки сокращает число членов в вариационном разложении при той же или лучшей точности расчетов. Эффективность метода иллюстрируется расчетами трехчастичных кулоновских систем ¡¡в, рре, ¿¿в, Не и четырехчастичных молекулярных систем Н2 и НеН+ различного изотопного состава. На примере гиперядра дБе показывается, что предлагаемый метод может применяться и для расчета ядерных систем.
1. ВВЕДЕНИЕ
Среди существующих в настоящее время кван-товомеханических методов расчета нерелятивистских связанных систем вариационный метод выделяется в качестве наиболее универсального метода в смысле применимости как в атомных и молекулярных, так и в ядерных задачах, а также обеспечивающего возможность нахождения не только верхней, но и нижней оценки энергии. Имеются примеры уникальных по точности расчетов систем трех и более частиц.
Пробная функция обычно представляется в виде суперпозиции базисных функций ра:
ф = ^ СаРа
(1)
а=1
с линейными коэффициентами са.
В расчетах малочастичных ядерных и куло-новских систем с успехом применяются базисные функции экспоненциального и гауссовского типа, которые для системы А частиц в случае нулевого полного орбитального момента можно представить в виде
<Р
ехр
А
А-
г>] = 1
а
(2)
где К^ — расстояние между г-й и ]-й частицами, аЧ — вариационные параметры, а показатель Л равен 1 в случае экспоненциального и 2 в случае гауссовского базиса.
Как было показано в [1] (подробнее см. в [2]), все матричные элементы (МЭ), необходимые для нахождения не только верхней, но и нижней оценки энергии, выражаются для стандартных потенциалов (кулоновского, экспоненциального, юкавского, гауссовского, в виде прямоугольной ямы) через элементарные функции, интегралы ошибок и ди-логарифмы. Функции экспоненциального и гауссовского базисов обеспечивают наиболее высокую точность при расчете не только (наряду с полиномиальными функциями хиллерасовского типа [3]) одноцентровых атомных систем, но и систем частиц одинаковых или близких масс, например электронно-позитронных [4]. Если, однако, массы частиц различаются на порядок, то при наличии кроме легких частиц двух или более тяжелых сходимость вариационных оценок энергии на экспоненциальном или гауссовском базисе ухудшается настолько, что практически не удается достичь точности расчета энергии выше трех-четырех значащих цифр, как это отмечалось в ряде работ [5, 6]. Причина в том, что плотность вероятности ш найти две тяжелые частицы на расстояния К между ними имеет острый максимум при некотором значении К (максимум тем уже, чем больше отношение масс тяжелых и легких частиц), что трудно аппроксимировать с помощью экспонент или гауссоид. Это иллюстрируется на рис. 1, где показаны результаты расчетов с экспоненциальными функциями на примере системы рре-. По мере увеличения числа функций п в (1) и соответствующего повышения точности расчета максимум становится более узким, но все же шире, чем это соответствует
2178
точному расчету (в данном случае — с каркасными функциями, см. ниже).
Для улучшения пробной функции при расчете двухцентровых (адиабатических) систем трех частиц предлагалось модифицировать экспоненциальную пробную функцию путем добавления тригонометрических функций [7] или, что эквивалентно, использовать комплексные нелинейные параметры (показатели экспонент) [8]. Использование экспоненциально-тригонометрических функций позволило при большом числе параметров повысить точность расчета двухцентровых систем почти до величины, достигнутой в рамках адиабатического приближения (которая, впрочем, остается ниже точности расчета одноцентровых систем). Другой вариант преодоления трудностей при расчете двухцентровых систем — использование пробных функций вида ехр(—аЯ^) [9], где Я\2 — расстояние между тяжелыми частицами. Это позволило при т = 10 рассчитать энергию H+ с точностью до 7 значащих цифр, однако дальнейшее повышение точности требует увеличения т до 30, что осложняет расчеты, см. [5, 6]. Наконец, для расчета двухцентровых систем широко используется приближение Борна—Оппенгеймера [10, 11] или его модификации (см. подробнее в [12]), хотя при этом не всегда в полной мере учитывается связь между движением электронов и ядер (см. [6, 9]).
В настоящей работе предлагается весьма эффективный неадиабатический метод расчета двухцентровых систем, а также и других систем молекулярного типа, основанный на использовании каркасных пробных функций. Он был предложен в работе [13] в связи с расчетом ядерных систем, содержащих частицы, взаимодействие которых включает короткодействующий притягивающий потенциал, переходящий на самых малых расстояниях в мощное отталкивание. Точность результатов при использовании предлагаемого метода даже при сравнительно небольшом числе функций превышает полученную другими методами.
2. КАРКАСНЫЙ БАЗИС
В тех случаях, когда расстояния между частицами фактически меняются в узких пределах (см., например, рис. 1), образуется нечто вроде жесткого каркаса системы, относительно которого размазываются положения частиц. После исключения движения центра масс системы А частиц ее каркас можно задать с помощью А — 1 векторов ра (г = = 1, 2,... , А — 1), отсчитываемых, например, от А-й частицы, а зависимость базисной функции от координатных векторов р1 представить в виде
w 2.0
А-1
Рис. 1. Плотность вероятности т найти протоны в системе рре- на расстоянии Я при расчете с различным числом п экспоненциальных базисных функций (/0°° т(Я)йЯ =1).
= ехр(— (р — ра)Т ва(Р — Ра)),
где р и ра — одностолбцовые матрицы А — 1 векторов р{ и ра соответственно, а в — положительно определенная матрица размера (А — 1) х (А — 1), элементы которой наряду с векторами ра и рассматриваются как вариационные параметры.
С другой стороны, каркас базисной функции можно задать с помощью расстояний Ща^ между
каждой из пар (г,]) частиц. В этом случае каркасную базисную функцию можно записать в виде
А
Р = exp | -Y, aj(Rj - Rj)2
i>j=1
(4)
p = exp
i,j=1
(Pi - pj Щ (Pj - pa )|= (3)
и рассматривать aj и Rj в качестве вариационных параметров. Каркас, составленный из длин Rjj, не связан с ориентацией координатных осей, и мы будем называть каркасные функции (4) свободными (неориентированными). Они соответствуют, очевидно, нулевому орбитальному моменту и представляют хорошую основу для аппроксимации функций основного состояния.
Каркасные функции (3), в отличие от функций (4), зависят от ориентации каркасных векторов, в связи с чем мы будем называть их векторными каркасными функциями. Они не соответствуют нулевому (и вообще какому-либо определенному) моменту. Например, в случае системы двух частиц pa = exp(-f3a(p - pa)2), и плотность вероятности относительного положения частиц явно анизотропна с максимумом в направлении каркасного вектора pa.
Для описания основного состояния с помощью векторных каркасных функций (3) можно либо
усреднить базисные функции по ориентациям каркасных векторов, либо строить такие комбинации базисных функций, чтобы обеспечивалась приближенная сферическая симметрия волновой функции. Наконец, в молекулярных системах, где вращательная энергия движения тяжелых частиц мала по сравнению с полной энергией, можно использовать с достаточной точностью и не усредненные по углам векторные каркасные функции.
Возвращаясь к свободному (неориентированному) базису, прежде всего отметим, что с точностью до постоянного множителя функцию (4) можно представить в виде
= ехр
Я2 + Яг])
(5)
Такие функции являются более общими, чем чисто экспоненциальные или чисто гауссовские пробные функции, и переходят в них при специальном выборе вариационных параметров (в экспоненциальные функции — при а = 0, в гауссовские — при в = 0). Поэтому базис (5) с таким же успехом, как и экспоненциальный, применим для расчета одно-центровых систем и систем частиц близких масс, однако он способен описывать и многоцентровые системы даже при сравнительно небольшом числе вариационных параметров.
В частности, в случае двухцентровых систем в (5) оба члена в показателе экспоненты удерживаются лишь для одной связи (соответствующей, например, г = 1, ^ = 2), а по другим связям выбирают либо только линейные, либо квадратичные члены. Соответственно функции
4>а = (6)
( А \
= ехр
— «12 (Я12 — Я12 )2 —
в
1
\
г>] = 1 = {1,2}
/
будем называть каркасно-экспоненциальными, а функции
<ра = (7)
А
= ехр
—«12(Я12 — Я12) —
аа-Я2-
гу гу
\
г>] = 1 = {1,2}
/
— каркасно-гауссовскими.
Каждая из функций (6) и (7) имеет свои области применимости. Каркасно-экспоненциальный базис обеспечивает очень высокую точность расчета трехчастичных двухцентровых систем типа рре-даже при малом числе функций. Уже одна такая функция обеспечивает точность расчета энергии до трех значащих цифр, т.е. такую же точность, как
сотня обычных экспонент или гауссоид. Однако возникают трудности при расчете систем более чем трех частиц, которые, впрочем, присущи и обычным экспонентам.
Точность расчета трехчастичных двухцентро-вых кулоновских систем с помощью каркасно-гауссовских функций значительно ниже, чем с каркасно-экспоненциальными, но зато они применимы для расчета двухцентровых систем четырех и более частиц, например молекулы водорода.
С учетом этого в Приложениях А и Б приводятся формулы для нахождения МЭ гамильтониана при использовании как каркасно-экспоненциаль-ных, так и каркасно-гауссовских функций.
К сожал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.