ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1136-1155
УДК 519.624.2
"КАТАСТРОФА ГОЛУБОГО НЕБА" В ПРИЛОЖЕНИИ К МОДЕЛИРОВАНИЮ КАРДИОРИТМОВ1
© 2015 г. С. Д. Глызин*, А. Ю. Колесов*, Н. X. Розов**
(*150000Ярославль, ул. Советская, 14, ЯрГУ, матем. ф-т;
**119899Москва, Ленинские горы, МГУ, механ.-матем. ф-т) e-mail:glyzin@uniyar.ac.ru; andkolesov@mail.ru;fpo.mgu@mail.ru Поступила в редакцию 03.12.2014 г.
Предлагается новая математическая модель электрической активности сердца, представляющая собой некоторую специальную сингулярно возмущенную трехмерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с одной быстрой и двумя медленными переменными. Характерная особенность рассматриваемой системы заключается в том, что в ней наблюдаются так называемые неклассические релаксационные колебания и одновременно происходит бифуркация типа "катастрофы голубого неба". Оба эти фактора позволяют добиться феноменологической близости между графиком зависимости от времени быстрой компоненты нашей модели и графиком ЭКГ человеческого сердца. Библ. 19. Фиг. 11.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная система, релаксационный цикл, асимптотика, устойчивость, катастрофа голубого неба, моделирование кардиоритмов.
DOI: 10.7868/S0044466915070078
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Прежде всего скажем несколько слов о сути "катастрофы голубого неба". Этим термином принято называть нелокальную бифуркацию коразмерности один, которая в простейшем случае состоит в следующем.
Рассмотрим гладкое однопараметрическое семейство векторных полей X^ в [3 и предположим, что при ц = 0 поток X^ имеет периодическую траекторию L0 типа простой седло-узел. Рассмотрим, далее, некоторую достаточно малую окрестность Ш траектории L0, разделяемую двумерным сильно устойчивым многообразием Ws(L0) на две области: узловую Ш+, все траектории из которой стремятся к L0 при t —» + да, и седловую Ш-, в которой лежит двумерное неустойчивое
многообразие Woc (L0) с краем L0. Следующее ограничение носит существенно нелокальный характер и состоит в том, что все траектории системы X0 с начальными условиями из Woc (L0) при увеличении t сначала покидают окрестность Ш, а затем снова возвращаются в нее, попадая в узловую область Ш+. Тогда, очевидно, каждая из упомянутых траекторий оказывается двояко-асимптотической к L0. И, наконец, будем считать, что множество Wu(L0), получающееся из
Woc (L0) после продолжения по траекториям потока X0, не является топологическим многообразием (в трехмерном случае это означает, что его замыкание не гомеоморфно двумерному тору).
Как показано в [1], при сформулированных ограничениях и при некоторых дополнительных условиях технического характера исчезновение в системе X^, 0 < ц < 1, седло-узлового цикла L0 приводит к появлению устойчивой замкнутой траектории L^), период и длина которой стремятся к бесконечности при ц —► 0. Сама же траектория L(^ имеет своим верхним топологическим пределом при ц —»- 0 множество Wu(L0) u L0. Описанная бифуркация получила название "катастрофа голубого неба".
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 15-01-04066а) и Министерства образования и науки РФ (проект № 2014/258-1875).
Фиг. 1.
В [2], [3] проиллюстрирована реализуемость упомянутой выше бифуркации в сингулярно возмущенных системах с одной медленной и т, т > 2 быстрыми переменными. Далее, в [4] катастрофа голубого неба изучалась в системе
х = /(х, у, и), &У = g(x, у), х = (*!, х2) е К2, у е К, (1.1)
где 0 < б <§ 1, |и| ^ 1, на функции/, g е Сш были наложены стандартные ограничения (см. [5]), обеспечивающие существование так называемых классических релаксационных колебаний. Напомним, что классическими называются колебания, у которых при б —0 медленные компоненты хь х2 стремятся к некоторым непрерывным по ? функциям, а быстрая компонента у сходится поточечно к разрывной функции.
В настоящей статье результаты из [4] распространяются на аналогичную (1.1) трехмерную систему
х = / (х, и) + 4&у2/2(х), бу = g(х) - Н(у), (1.2)
где, как и выше, х = (х1, х2) е К2, у е К, 0 < б <§ 1, |и| ^ Ио, а Ио > 0 — некоторая достаточно малая константа. Что же касается функций/1(х, и) е С"(К2 х [—и0, Ио]; К2),/2(х) е С"(К2; К2), g(х) е е С"(К2), И(у) е СШ(К), то они будут удовлетворять специальным условиям, гарантирующим реализуемость неклассических релаксационных колебаний. Согласно принятой в [6] терминологии таковыми называются колебания, у которых при б —0 медленные компоненты сходятся поточечно к разрывным функциям, а быстрая компонента является 5-образной.
Приступим к детальному описанию ограничений на правые части системы (1.2). Первые два из них связаны с топологией поверхности медленных движений
Г = {(х, у) : g(x) - Н( у) = 0}. (1.3)
Условие 1. Предполагаем, что, во-первых, g(x) > 0 Ух Ф 0, g(0) = 0; во-вторых, при любом фиксированном г > 0 уравнение g(х) = г определяет в К2 замкнутую кривую класса С", гомеоморфную окружности.
Условие 2. Найдется такое у = у* > 0, что И'(у) > 0 при у < у*, И'(у) < 0 при у > у*, И'(у*) = 0, И"(у*) < 0, И (у*) = г* > 0. Считаем также, что И(0) = 0, а при у —»- + да справедливо асимптотическое равенство
да
Н (у) = г ** + У Ц, г** е (0, г *), (1.4)
к = 1 у
сохраняющее силу при дифференцировании по у любое число раз.
Наглядное представление о свойствах функции г = И (у) дает ее график, показанный на фиг. 1. Что же касается поверхности (1.3), то в силу условий 1, 2 она имеет вид, представленный на фиг. 2.
Действительно, обозначим через у = у1(г) и у = у2(г) корни уравнений И(у) = г при г е (—да, г*] и И(у) = г при г е (г**, г*] из промежутков (—да, у*] и [у*, +да) соответственно (существование этих корней вытекает из условия 2). Далее, опираясь на условие 1, заключаем, что поверхность Г разбивается на две части — устойчивую Г- (на которой И'(у) > 0) и неустойчивую Г+ (в точках которой
Фиг. 2.
h'(y) < 0), разделенные линией срыва Г0 (где к'(у) = 0). Для указанных частей справедливы равенства
Г_ = {(х, y) : y = Ф_(x), x gQi }, Г+ = {(x, y) : y = Ф+(x), x efi2}, (15)
Го = {(x, y) : y = y*, x g Ii },
Ф-(x) = yi(z) Iz = g(x), Ф + (x) = y2(z) Iz = g(x). (1.6)
Добавим еще, что в (1.5) через Q1 с R2 обозначена внутренняя область, ограниченная простой замкнутой кривой /1 = {x g R2 : g(x) = z*}, а Q2 с R2 представляет собой кольцевую область, ограниченную кривой /1 и простой замкнутой кривой l2 = {x g R2 : g(x) = z**} с Q1. Заметим также, что поскольку limФ+x = при x g Q2, x —- l2, то поверхность Г представляет собой "кувшин с бесконечно длинным горлом" (см. фиг. 2).
Перейдем теперь к ограничениям, касающимся вектор-функции f2(x) из (1.2). В связи с этим рассмотрим вспомогательную систему
x = f (x). (1.7)
Условие 3. Предполагаем, что все траектории системы (1.7) с начальными условиями, принадлежащими кривой l1, за конечное время попадают на l2 (см. фиг. 3). Считаешь еще, что упомянутые траектории не имеют контактов с кривой l2, т.е.
(gradg(x),f2(x)) < 0 при x g ¡2, (1.8)
где (*,*) — евклидово скалярное произведение.
Заключительная серия ограничений связана с системой
x = fi(x, ц), x g Qi u ¡i. (1.9)
Однако прежде чем сформулировать соответствующие условия, введем в рассмотрение новую кривую l3, расположенную в области, ограниченной кривой l2 (см. фиг. 3). В связи с этим предпримем некоторые дополнительные построения.
Фиксируем произвольно точку х = х0, лежащую в некоторой достаточно малой окрестности кривой l1, и обозначим через x(t, х0), х(0, х0) = х0 решение задачи Коши X = f2(x), x\t = 0 = х0. Далее, введем в рассмотрение функцию
t
a(t, хо) = |[g(х(0, хо)) - г**]d0 (1.10)
о
и заметим, что она обладает свойствами
da
a(0, х0) = 0, — (t, х0) = g(x(t, х0)) - г** > 0 при 0 < t < t*,
а dt (1.11)
da
— (t, х0)< 0 при t > t*, lim a(t, х0) = -да,
dt t^+»
где t* = ^(х0) — корень уравнения
g(х(t, х0)) - г** = 0. (1.12)
Действительно, будем считать точку х0 настолько близкой к кривой l1, что g^0) — г** > 0, а для траектории х = х(^ х0) системы (1.7) сохраняется условие 3. Тогда эта траектория с течением времени ровно один раз пересечет кривую l2 и согласно неравенству (1.8) при последующем увеличении t останется в области {х е [2 : g(x) — г** < 0}, не приближаясь к ее границе. А отсюда, в свою очередь, заключаем, что, во-первых, уравнение (1.12) имеет единственный корень t = и(х0) > 0 с требуемыми свойствами (см. (1.11)); во-вторых, при всех достаточно больших t подынтегральное выражение в (1.10) отрицательно и отделено от нуля. Следовательно, при t —► + да заведомо выполняется и фигурирующее в (1.11) предельное равенство.
Фиг. 4.
Опираясь на свойства (1.11), нетрудно увидеть, что уравнение a(t, х0) = 0 имеет на полуоси t > 0 единственное решение t = ^*(х0). Учитывая это обстоятельство, введем в рассмотрение двумерное отображение
по : хо ** х(I, хо) =,м(Хо). (1.13)
Несложная проверка показывает, что оно представляет собой диффеоморфизм, определенный в некоторой достаточно малой окрестности кривой /1. А это значит, что ¿з = П0(11) — простая замкнутая кривая класса Сш (см. фиг. 3). Данная кривая и является искомой.
Возвращаясь к системе (1.9), предположим, что выполнен следующий блок ограничений. Условие 4. Фазовый портрет системы (1.9) при | = 0 имеет вид, показанный на фиг. 4: в области П1 существуют единственное состояние равновесия х = X, являющееся экспоненциально неустойчивым узлом или фокусом, и единственный окружающий его полуустойчивый цикл
Ц : X = Хо(ф), ^ = Юо, Хо(ф + 2я)= Хо(ф), ©о > 0, (1.14)
типа простой седло-узел. Предполагаем также, что все траектории из кольцевой области, ограничиваемой кривыми ^ и L0, за конечное время попадают на кривую 1ъ пересекая ее общим образом, т.е.
^гафг(х),/1 (х, о))> о Ух е 11. (1.15)
И, наконец, считаем, что кривая 13 лежит в области, ограничиваемой циклом L0, но не содержит и не окружает точку х = х (см. фиг. 4).
Для пояснения фигурирующего в условии 4 требования простоты седло-узлового цикла (1.14) фиксируем произвольно точку М0 е L0 и обозначим через Е достаточно малый отрезок нормали к кривой L0 в этой точке (см. фиг. 4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.