ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 1, с. 119-136
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.782.051
КИНЕМАТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
© 2015 г. М. В. Левский
Юбилейный, Научно-исследовательский институт космических систем имени А.А. Максимова — филиал Государственного космического научно-производственного центра им. М.В. Хруничева Поступила в редакцию 12.12.13 г., после доработки 28.03.14 г.
Рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата из произвольного начального в заданное конечное угловое положение. Минимизируется время разворота. Исследуется случай, когда ограничены скоростные параметры движения. На основе необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина и используя кватернионные переменные для решения задач управления движением космических аппаратов, получено аналитическое решение поставленной задачи. Кинематическая задача переориентации космического аппарата решается до конца. Представлены формализованные уравнения и даны расчетные выражения для построения оптимальной программы управления. Для симметричной формы ограничения вектора угловой скорости решение задачи оптимальной переориентации представлено в аналитическом виде (доведено до выражений в элементарных функциях). Приводятся результаты математического моделирования движения космического аппарата при оптимальном управлении, которые демонстрируют практическую реализуемость разработанного алгоритма управления пространственной ориентацией космического аппарата.
DOI: 10.7868/S0002338814050114
Введение. В статье решается задача приведения космического аппарата (КА) в положение заданной ориентации оптимальным образом. Способ решения и формализация описания кинематики вращательного движения КА основаны на методе кватернионов [1].
Проблеме управляемых вращений твердого тела вокруг центра масс посвящено достаточно много работ [1—10]. В частности, в [2] рассматриваются вопросы управления КА, в том числе оптимального по времени и минимуму энергетических затрат. Интересные результаты приведены в [3], где управление построено методом совмещенного синтеза по критерию обобщенной работы. И хотя аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы не требует существенного упрощения модели объекта управления, оптимизация этим методом не позволяет обеспечить выполнение ограничений, накладываемых на управляющие переменные. Кроме того, данный метод применим только при относительно небольших начальных угловых отклонениях [4]. Использование при синтезе управлений прогнозирующих моделей повышает качество регулирования, и поэтому они широко применяются в настоящее время многими авторами [3, 5]. Но в таких алгоритмах конечный результат зависит в основном от вида прогнозирующей модели, которая полностью предопределяет реализующийся полученными управлениями тип движения вокруг центра масс. Принятие сколько-нибудь близкой к реальности прогнозирующей модели влечет за собой неустранимые математические сложности. В большинстве своем методы оптимизации с применением прогнозирующих моделей используются при синтезе управлений, стабилизирующих программное движение КА, или для построения высокоточных компенсаций. Нахождение же самих программных управлений подробно не исследовалось. Наиболее подробно задача оптимального управления угловым движением КА решена только для двух частных случаев — плоских вращений КА вокруг одной из главных центральных осей инерции [4, 6] и пространственного вращения сферически симметричного тела [1]. Вопросы создания эффективных режимов и алгоритмов управления ориентацией КА остаются актуальными и сегодня. Например, КА дистанционного зондирования Земли, мониторинга, а также астрофизические и другие научные КА требуют периодической смены ориентации для наведения научных приборов и целевой аппаратуры на интересующие участки земной поверхности или область небесной сферы. Нередко используется и режим закрутки — вращение КА с определенной, наперед
заданной угловой скоростью (или вектором кинетического момента). Он применяется, как правило, либо для обеспечения требуемого теплового режима, либо с целью подзаряда буферных батарей бортовой системы электропитания, либо как один из способов пассивной ориентации (стабилизация вращением).
Режим программного разворота КА (изменение пространственной ориентации КА) представляет особый интерес. Изучению вращения КА в режиме переориентации всегда уделялось большое внимание (этот режим требует значительных "усилий" — энергетических затрат, расхода топлива, резкого увеличения кинетического момента системы силовых гироскопов и др.). Задача оптимального управления разворотом твердого тела формулировалась неоднократно. Аналитические решения получены для плоских поворотов и произвольного разворота сферически симметричного тела. В [1] подробно изучена кинематическая задача разворота, а решение приведено для случая, когда вектор угловой скорости ограничен по модулю. Для несимметричного КА большинство решений соответствуют вращению КА вокруг неподвижной оси [1—3, 5, 9, 10]. И хотя принципы оптимизации и алгоритмы управления различны (в том числе на основе прогнозирующих моделей [3, 5]), результирующее управление приводит к развороту вокруг оси Эйлера. В то же время разворот в плоскости наименьшего угла разворота во многих практических случаях не является оптимальным, как бы точно он не исполнялся. Более поздние работы [9, 10] также описывают синтез и построение управлений, стабилизирующих вращение КА вокруг мгновенной оси Эйлера. Однако требование, чтобы КА во время разворота вращался вокруг мгновенной оси Эйлера, — это слишком сильное ограничение на движение КА, делающее процесс переориентации во многих случаях далеким от оптимального.
Ниже приводится определение и исследование оптимальной по быстродействию программы управления ориентацией КА при его пространственном развороте, когда существенным является ограничение динамических нагрузок [11].
1. Уравнения углового движения и постановка задачи управления. Под пространственной переориентацией понимается перевод связанных с корпусом КА осей OXYZ из одного известного углового положения в другое известное (обычно заданное) угловое положение за конечное время Т. В этом случае параметры разворота (например, компоненты кватерниона разворота) известны заранее, еще до начала маневра; исходные угловые рассогласования могут быть любыми (от нескольких до 180°). При этом угловая ориентация правой системы координат OXYZ (равно как ее начальное OX^YZ^ и конечное ОХкУ^к положения) определяется относительно выбранного опорного базиса I. В работе рассматривается широко распространенный случай, когда опорной является инерциальная система координат OXBYllZll (ИСК). В связи с этим исследуется вопрос оптимизации терминального управления, обеспечивающего за конечное время Т совмещение связанной с корпусом КА правой системы координат OXYZ с программным базисом, положение которого в инерциальной системе координат задано. Предполагается, что управление угловым положением КА осуществляется посредством исполнительных механизмов, создающих моменты относительно всех трех главных центральных осей инерции КА. Угловое движение КА как твердого тела описывается динамическими уравнениями Эйлера [6]
J1 «>! + (J3 - /2)ю2ю3 = M1, /2ю2 + (J1 — /3)ю1ю3 = M2, /3ю3 + (J2 - J1)№i№2 = M3, (1.1)
где J — главные центральные моменты инерции аппарата, Mi — проекции главного момента М
сил на главные центральные оси эллипсоида инерции аппарата, ю;, i = 1, 3, — проекции вектора w абсолютной угловой скорости КА на оси связанного базиса Е, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции аппарата. Для описания пространственного движения КА воспользуемся математическим аппаратом кватернионов (параметров Родрига-Гамиль-тона). Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Л [1]. Угловое положение начальной и конечной ориентации КА относительно опорного базиса I определяется кватернионами Лн и Лк соответственно. Для определенности базис I считается инерциальным. В этом случае имеют место следующие кинематические уравнения [1]:
2^0 = — — ^2®2 — ^3 ®3, 2А,1 = + ^2®3 — ^3 ®2, . . (1.2)
2^2 = ^0®2 + ^3 ®1 — ®3, 2^3 = ^0®3 + ^1®2 — ^2 ®1,
или в кватернионной форме: 2Л = Л о ю, где Xj, j = 0, 3, — компоненты кватерниона Л, причем
||Л|| = X2 + X2 + X2 + X2 = 1. Кватернион Л, задающий текущую ориентацию КА, принят нормированным [1] для удобства.
В условиях космического полета особенность управления движением КА заключается в малости возмущающих моментов, обусловленных взаимодействием аппарата с внешними полями и сопротивлением среды. Управление движением КА относительно его центра масс осуществляется путем изменения момента сил М (внешнего или внутреннего, если управление ориентацией КА производится с помощью инерционных исполнительных органов — силовых гироскопов). Запишем граничные условия маневра пространственного разворота КА:
Л( 0) = Лн, (1.3)
Л( T) = Лк, (1.4)
где T — время окончания маневра переориентации.
Кватернионы Лн и Лк, отражающие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, имеют произвольные наперед заданные значения, удовлетворяющие условию ||Лн|| = ||Лк|| = 1. Чтобы задача управления была замкнута, введем оптимизируемый функционал. Во многих случаях (в том числе и для научных КА или КА дистанционного зондирования Земли) важной характеристикой является длительность разворота, и становится актуальной задача разворота за минимальное время. Показатель оптимальности (минимизируемый функционал) имеет вид
т
G = j"dt. (1.5)
о
Достаточно часто из конструктивных соображений на движение КА (в частности, на угловую скорость ю) накладывается ограничение
к1ю2 + к1ю1 + к3ю\ < Q, (1.6)
где к1, к2, к3 > 0 — постоянные коэффициенты; Q > 0 — заданная положительная величина.
Задачу оптимального управления переориентацией сформулируем следующим образом: КА необходимо перевести из полож
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.