МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2013
УДК 539.4
© 2013 г. |А. Г. БАГДОЕВ] , В. Н. КУКУДЖАНОВ
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПОДХОДЫ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ, ДВИЖЕНИИ ТРАНСПОРТА, ДВИЖЕНИИ МИКРОПОР В МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ
На основе кинематических нелинейных волновых моделей с использованием эмпирических зависимостей между основными переменными, исследованы стохастические пространственные процессы фазовых переходов для неустойчивости Ганна в полупроводниках, для движения транспорта с образованием коллапсов на перекрестках, для роста и движения микропор с образованием макроразломов. Все эти процессы имеют общий механизм и для них существует аналогия при одинаковой зависимости между определяющими переменными, характеризующими эти физически разные процессы.
Ключевые слова: кинематические нелинейные волны, фазовые катастрофические переходы, неустойчивость Ганна в полупроводниках, транспортная задача, разрушение, поврежденность с фазовыми переходами в механике, аналогии.
1. Введение. В настоящей работе предлагается ряд феноменологических моделей [1—6], использующих применение методов нелинейной волновой динамики к изучению аналогичных по характеру фазовых переходов в стохастических пространственных процессах для полупроводников, для движения транспорта [4, 7], для роста и движения микропор на микро-мезоуровнях с последующим переходом к макроразрушению [5, 6]. На основе многих современных исследований этих процессов, в частности, в микро-, макропереходах в механике разрушения [6], проявляется универсальность их механизмов при одинаковом характере указанных определяющих зависимостей. В [1, 3, 4] устанавливается аналогия между процессом неустойчивости Ганна в полупроводниках [1, 3], описанной нелинейным диффузионным уравнением для электрического поля с учетом релаксационных членов, дополненным дельта-флуктуациями, при наличии и использовании экспериментальной зависимости скорости электронов от напряженности электрического поля, и процессом движения транспорта на насыщенных линиях. Проблема неустойчивости Ганна в полупроводниках была решена Хакеном и Накамурой методом разложения на плоские волны, и было получено эффективное приближенное решение для финального стационарного устойчивого за-критического состояния после фазового перехода [1]. Транспортная задача с образованием пробок на нагруженных насыщенных линиях движения была поставлена и исследована Лайтхиллом и Уиземом методом нелинейных кинематических волн [4]. Для регуляризации задачи к нелинейному волновому уравнению добавляются диффузия, релаксация и флуктуация в полном соответствии с уравнением для полупроводников. Применяется метод разложения движения на плоские волны, в общем случае, с учетом свободных членов. Указано, при каких внешних управлениях проходит реше-
й- т йХ с1с1е
q(p)
10-8
1.5
10-9
10-10
1.2
10-11
0.6
10-12
5 ■ 10-13
0
0.2 0.5 2 5
атт
Фиг. 1
Фиг. 2
ние [1—3]. Все указанные решения [1—3, 7] дополнены изучением исходных нестационарных пространственных уравнений, где стационарное решение есть уже функция координаты. Этот метод решения переносится и на третью задачу о движении микро-пор с резким фазовым переходом к макроразрушению при аналогичном графике зависимости скорости пор от корня квадратного из их длины (фиг. 1).
2. Синергетические исследования неустойчивости в полупроводниках. В согласии с положениями системного анализа все приведенные выше фазовые переходы возможно описать феноменологически на основе эксперимента, не вдаваясь в детальный теоретический анализ этих процессов. Это возможно сделать в динамических переменных, соответствующих определяющим уравнениям сред, на основании обобщения кинетической теории нелинейных волн, рассмотренных в [4], учитывая дополнительно релаксацию и флуктуационные процессы. Этого достаточно для получения устойчивости движения и корректного решения задачи. Экспериментально необходимо определить зависимость скорости или потока частиц от интенсивности электрического поля в полупроводниках, от плотности потока частиц жидкости в транспортной проблеме и от пористости или поврежденности при разрушении. Эти зависимости математически совпадают: в начале имеется участок, где решение возрастает (упрочнение среды), достигается критическое значение, при котором происходит потеря устойчивости, а затем на закритическом участке имеется падающая зависимость (разупрочнение среды).
В полупроводнике это соответствует переходу от неустойчивого состояния к финальному стационарному устойчивому состоянию; в движении транспорта это переход от жидкой фазы к уплотненной с образованием пробки, а закритический режим соответствует ее рассасыванию. Для сплошной среды эта смена процесса упрочненного состояния разупрочнением и последующим разрушением.
Таким образом, начальному участку отвечает устойчивый процесс роста, который по достижению критического значения определяющей переменной сменяется переходом к неустойчивому состоянию, задача становится некорректной, и для определения закритического движения требуется регуляризация постановки задачи — учет смены механизма, который может привести либо к скачкообразному изменению процесса (сингулярный фазовый переход), либо к континуальному непрерывному изменению состояния (континуальный фазовый переход).
В настоящей работе предполагается, что существует аналогия между тремя рассмотренными выше процессами, т.е. уравнения, полученные экспериментально для полупроводников, верны и для двух других процессов с заменой соответствующих определяющих величин. Поскольку в [1—3] было получено решение задачи о неустойчивости Ганна, определен фазовый переход и дан способ расчета закритического состояния, то этот метод можно перенести на решение транспортной задачи и задачи о разрушении сплошной среды, изменив определяющие переменные в соответствии с заменой, о которой говорилось выше. Кроме того, задача для полупроводников в [1—3] была рассмотрена для частного случая внешнего нагружения и в данной работе это решение обобщено на общий случай. В [1, 3] выведено уравнение для электрического поля в полупроводниках, представляющее типичное диффузионное нелинейное волновое уравнение
2
дЕ , / ,-л / ,-,4 дЕ , пд Е ,4 л т ,4л /0 , ч
— =-е п0и (Е) - и (Е)--+ В—- + — I, е =— е (2.1)
дг дх дх £ о £ о
где I = I (г) — внешняя плотность тока, которая определяется после решения задачи [1, 3].
Зависимость скорости электронов u(E) от поля Е для эффекта Ганна в полупроводниках считается известной экспериментально. Пусть Е0 — постоянное электрическое поле, Е' (х, г) = Е (х, г) - Е0 — возмущенное поле в рассматриваемом процессе. Решение (2.1), записанное для возмущений E', получено в [1—3] в виде разложения E' на плоские волны.
Следует отметить, что исходное уравнение (2.1) для Е содержит переменную внешнюю нагрузку 4п1 (г) /б0, где I (г) имеет смысл плотности тока. В [1, 3] получено решение уравнения (2.1) в виде плоских волн (3.2) без свободного члена и ставится условие
X
постоянства потенциала и = | Е (х, г)йх, где L — длина образца. При записи решения
о
в [1, 3] в виде разложения по гармоникам без учета свободного члена, то для Е'0, должно
быть выполнено соотношение: 4л! (г) /б0 « е'п0и (Е0) /2 + е п0и" (Е0 )с-, после чего решение [1, 3] будет соответствовать решению при наличии этой нагрузки на конце образца х = X. Подобно этому для задачи о движении транспорта в качестве исходного уравнения можно
брать уравнение (3.1), где приближенно можно положить I(г) « Хд'(р0) + Хд''(р0)с-. При таком внешнем воздействии решение будет прежним (3.1)—(3.9), что осуществляется при регулировании скорости изменения плотности машин при х = X.
Следует отметить, что решение (4.1) п. 4, записанное для E' вместо р', влияет на условие постоянства и только через свободные члены и имеет вид
XX
и = \е (х, г)йх = Е0х + \Е' (г) йх = Е0х + Е' (г) X = Е0 X - с- (г) X
0 0 4 0/ XX
и = |р (х, г)х = p0х + |р' (г) йх = p0х + р' (г) X = p0х - д-(р°) с- (г) X 0 0 д'(р0)
Как видно из полученных соотношений, и потенциал и поля Е, и полное число машин U на длине X мало отличаются от постоянной величины, однако учет среднего члена в решении уравнения для с (г) в общем случае необходим.
3. Исследование фазового перехода при движении транспорта методом плоских волн.
В работе [2] проводится аналогия математических постановок задач неустойчивости Ганна в полупроводниках [1, 3] и движении транспорта [4] на насыщенных линиях. В [4] записывается уравнение сохранения плотности машин р (x, t) на линии
dpdt + dq/dx = 0
где q = ри — плотность потока, и — скорость. Единая кривая q = q(p), определяемая экспериментом считается известной. Она приведена в [4] и на фиг. 2, где показана качественная зависимость плотности потока от плотности частиц, определяемая экспериментом.
В [1—3] рассмотрено движение электронов в полупроводнике, скорость которых и = u(E) экспериментально определяемая функция напряженности поля E, качественно аналогичная приведенной на фиг. 2. Соответствующая потеря устойчивости процесса E (x, t) дается нисходящей частью кривой фиг. 2, где следует заменить функции р на E, а q на и. Выведенное в [1, 3] уравнение для E, кроме указанных газодинамических нелинейных членов, содержит также вторую производную от искомой функции, дающую диффузию, и что особенно важно при получении фазовых переходов, члены с релаксацией [4], т.е. алгебраические слагаемые до третьего порядка по E' = E — E0, где E0 — начальная напряженность поля. В соответствии с принципами системного анализа, в которых главное значение имеет сам процесс перехода, а уравнения для аналогичных параметров для разных систем уравнений одинаковые, и учитывая идентичность кривых процессов, обобщение уравнения для р получаем добавлением аналогичных членов с диффузией и релаксацией относительно возмущенной плотности р', причем p(x, t) =р0 + p'(x, t), р0 = const, начальная точка на кривой фиг. 2. Тогда получится уравнение
f = -А,q(р) - q• (р)3> + Лf^ + /(t)
dt dx dx
где X — некоторая постоянная.
При выборе внешней нагрузки в виде J (t)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.