УДК 521.9
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД МЕТОДОМ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
© 2014 г. В. В. Витязев*, А. С. Цветков**, Д. А. Трофимов***
Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 21.04.2014 г.
Предложен метод кинематического анализа лучевых скоростей звезд с помощью сферических функций. Такой подход не зависит от конкретной кинематической модели и позволяет проанализировать как низкочастотные, так и высокочастотные кинематические компоненты лучевых скоростей. Принимается во внимание возможный систематический ход расстояний по координатам небесной сферы, который в свою очередь моделируется линейной комбинацией сферических функций. Получены теоретические соотношения, показывающие, как коэффициенты разложения расстояний влияют на коэффициенты разложения самих лучевых скоростей. Показано, что эффект смещения координат апекса Солнца тем больше, чем больше среднее расстояние до анализируемой выборки звезд, в то время как смещения параметра Оорта А определяются главным образом отношением коэффициента второй зональной гармоники к среднему расстоянию до звезд, т.е. степенью сжатия пространственного распределения звезд к плоскости Галактики. Проведены разложения по сферическим функциям расстояний до звезд, для которых в каталоге CRVAD-2 имеются оценки лучевой скорости, и показано, что из-за сравнительной близости звезд этого каталога от Солнца (не более 500 пк) имеющийся ход расстояний по координатам не оказывает заметного влияния ни на значения компонентов скорости движения Солнца, ни на оценки параметра Оорта A. Кроме этого показано, что, как и в случае собственных движений звезд, в лучевых скоростях звезд обнаруживается кинематическая компонента, не имеющая объяснения в рамках трехмерной модели Огородникова—Милна.
Ключевые слова: астрометрия, лучевые скорости и собственные движения звезд, параллаксы, сферические функции, звездная кинематика, Hipparcos.
DOI: 10.7868/80320010814110072
ВВЕДЕНИЕ
Для выполнения кинематического анализа поля скоростей звезд требуется знание координат, собственных движений, параллаксов (расстояний) и лучевых скоростей звезд. Весьма полезны также сведения, касающиеся фотометрии, спектрального класса и показателя цвета звезд. В настоящее время имеются астрометрические каталоги, в которых содержится информация о положениях и собственных движениях сотен миллионов звезд: UCAC4 (Захариас и др., 2013), PPMXL (Резер и др., 2010), XPM (Федоров и др., 2009). В противовес этому число звезд с известными тригонометрическими параллаксами чуть более превышает 100 тыс. (HIPPARCOS, Перриман и др., 1997, Левен, 2007). Еще менее обильными являются каталоги лучевых скоростей OSACA (Бобылев и др.,
Электронный адрес: vityazev@list.ru Электронный адрес: astsvetkov@inbox.ru Электронный адрес: dm.trofimov@gmail.com
2006) и CRVAD-2 (Харченко и др., 2007), содержащие не более 55 тыс. звезд. Отсутствие информации о тригонометрических параллаксах звезд не является фатальным для кинематического анализа собственных движений и лучевых скоростей звезд. Во-первых, иногда можно вместо тригонометрических параллаксов использовать их аналоги — фотометрические параллаксы; во-вторых, даже при полном отсутствии сведений о параллаксах возможно частичное решение задачи, при котором вместо истинных компонентов скорости движения Солнца (при анализе собственных движений звезд) и вместо параметров поля деформации скоростей звезд (при анализе лучевых скоростей) можно определить их значения с точностью до постоянного множителя, равного среднему параллаксу или среднему расстоянию взятой в обработку группы звезд. Однако параллаксы рассматриваемой выборки звезд могут иметь систематический ход по небесной сфере. При анализе собственных движений звезд, как показано в работе Оллинга и Денена (Оллинг и др., 2003), это приводит к иска-
жению искомых значении параметров кинематической модели из-за эффекта смешивания гармоник (mode-mixing effects, по терминологии авторов). В указанной работе этот эффект изучен на примере упрощенной кинематической модели, в которую не были включены эффекты в плоскостях, перпендикулярных основной плоскости Галактики. Кроме того, смешивание гармоник изучалось в одномерном варианте зависимости параллаксов только от долготы. В силу этих упрощений в цитированной работе основным математическим аппаратом стало использование рядов Фурье для представления как собственных движений звезд, так и их параллаксов. Такой подход ограничил возможность учета зависимости параллаксов от долготы узкой зоной широт вблизи Галактического экватора. В работах авторов (Витязев, Цветков, 2013, 2014) указанная проблема при анализе собственных движений звезд решена в рамках трехмерной модели Огородникова—Милна с помощью сферических функций вместо рядов Фурье. Это позволило изучить эффект смешивания гармоник не только по долготе, но и по широте.
Насколько известно, аналогичная задача при анализе лучевых скоростей еще не ставилась. По этой причине настоящая работа посвящена исследованию влияния систематического хода расстояний по небесной сфере на определение коэффициентов разложения лучевых скоростей звезд по сферическим функциям. Этот подход позволяет определить как параметры стандартной кинематической модели Огородникова—Милна, так и старшие гармоники, не входящие в стандартную модель. С этой целью выведены формулы, показывающие как коэффициенты представления расстояний по сферическим функциям сказываются на определении коэффициентов разложения по сферическим функциям самих лучевых скоростей и параметров модели Огородникова—Милна. Найдены условия, при которых систематический ход расстояний по небесной сфере оказывает существенное влияние на определение координат апекса Солнца и на определение параметра Оорта A = M+. Проведено сравнение полученных теоретических результатов с данными кинематического анализа лучевых скоростей каталога CRVAD-2 (Харченко и др., 2007), в котором содержатся также экваториальные координаты J2000, собственные движения и тригонометрические параллаксы в системе каталога HIPPARCOS, фотометрия в полосах B и V в системе Джонсона и спектральные классы звезд.
ЛИНЕИНАЯ МОДЕЛЬ ОГОРОДНИКОВА-МИЛНА
При анализе поля скоростей звезд часто используют уравнения модели Огородникова—Милна
(Огородников, 1965; Дю Монт, 1977). В этой модели поле скоростей звезд представляется линейным выражением
V = Vo + П х r + M+ r, (1)
где V — скорость звезды, V0 — влияние поступательного движения Солнца, П — угловая скорость твердотельного вращения звездной системы, M+ — симметричный тензор деформации поля скоростей. Модель Огородникова—Милна содержит 12 параметров:
U, V, W — компоненты вектора скорости поступательного движения Солнца V0 относительно звезд;
ш2, w3 — компоненты вектора твердотельного вращения П;
M+, M+, M+ — параметры тензора M+, описывающие сжатие-растяжение поля скоростей вдоль главных галактических осей;
M+, M+, M+3 — параметры тензора M+, описывающие деформацию поля скоростей в основной и двух перпендикулярных к ней плоскостях.
Спроецировав уравнение (1) на орты галактической системы координат и введя множитель K = 4.74 для перевода размерности собственных движений звезд мсд/год в км/скпк_1, получим
К.щ cos b = U/r sin l — V/r cos l — (2) — ш1 sin b cos l — ш2 sin b sin l + ш3 cos b — — M+3 sin b sin l + M+3 sin b cos l —
1
+ cos b cos 21 - -M^ cos b sin 21,
Kßb = U/r cos l sin b + V/r sin l sin b — (3) — W/r cos b + ш1 sin l — ш2 cos l —
- sin 2bsin 21 + Мтя cos 2bcos l +
13
+ M+3 cos 2b sin l —
(4)
- jM^ sin 2bcos 21 + iX sin 2b, Vr = —U cos l cos b — V sin l cos b —
— W sin b + r (M+ sin 2b cos l +
+ M+ sin 2b sin l + M+2 cos2 b sin 2l + + M+1 cos2 b cos2 l + M+2 cos2 b sin21 + M+3 sin2 b). В приведенных формулах
Mil = M+1 — M+, X = M+-±(M++M+).
СКАЛЯРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции широко используются в различных областях математики и физики, их определение можно найти во многих источниках, например в книге (Арфкен, 1970). В настоящей работе для сферических функций будем использовать следующее представление:
Кикр{1, Ь) =
I j
Pnfl(b), k = 0, p = 1; = Rnki Pnk(b) sin kl, k = 0, p = 0; yPnk (b)cos kl, k = 0, p = 1,
-Rnk
2n + 1
4n
(га+fc)! ' ^ U'
k = 0.
В формуле (6) через I и Ь обозначены соответственно долгота и широта точки на сфере (0 < I < < 2п; —п/2 < Ь < п/2); через Рпк(Ь) — полиномы Лежандра (при к = 0) и присоединенные функции Лежандра (при к > 0), которые можно вычислить с помощью следующих рекуррентных соотношений:
2П — 1
Рпк(Ъ) = sinb--Pn_itk(b) -
n — k
n + k-l m k=o,i,...
nk
n=k+l,k+2,...
Pk
k+1,k
Pfcfc(6) = ^COsH'
,,, (2k + 2)! k . (6) = -— cos о sin o.
w 2k+l{k + 1)!
(KiKj) dw =
0, г = j;
1, г = j.
Таблица 1. Значения коэффициентов разложения модельных лучевых скоростей (4) по сферическим функциям при г = Г
(6)
(7)
Коэффициент Значение
«001 1.18f(M+ + М+ + М+)
«101 -2.05 W
«110 -2.05V
«111 -2.05 U
«201 -0.53f(M+ + М+ - 2М+)
«210 1.8ЗМ23Г
«211 1.83М^г
«220 1.83М^г
«221 0.92f(M+ - М+)
(8)
Для удобства часто вводят линейную нумерацию функций \пкр одним индексом 3:
3 = п2 + 2к + р - 1. (9)
Введенные функции удовлетворяют следующим соотношениям:
(10)
Другими словами, множество функций Кпкр образуют на сфере ортонормированную систему функций.
АНАЛИЗ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ расстояниях ДО ЗВЕЗД
Строго говоря, для проведения кинематического анализа звезд необходимо знать их параллаксы или расстояния. В тех случаях, когда расстояния
неизвестны (это скорее правило, чем исключение) приходится в уравнении (4) полагать, что все звезды находятся от нас на одинаковом расстоянии, которое обозначим через Г. В этом случае из уравнения (4) сможем определить не сами параметры М+, а величины ГМ+, р,д = 1,2,3. Используя выражение
Упкр = JJ VКпкр) = (11)
п
2п +п/2
= I ^ ! V1'(l,Ь)KnkP(l,Ь)cosЬdЬ,
0 -п/2
мы вычислили коэффициенты разложения правой части уравнения (4) по системе сферическиих функций при г = г. Результаты вычислений представлены в табл. 1.
Для решения обратной задачи, то есть д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.