Письма в ЖЭТФ, том 94, вып. 3, с. 215-219
© 2011г. 10 августа
Кинематический механизм модуляции спектральной интенсивности в пространственно однородной системе хаббардовских фермионов
В. В. Вальков *1 , А. А. Головня+*, М. М. Коровушкин+* + Институт физики им. Л.В. Киренского Сибирского отд. РАН, 660036 Красноярск, Россия * Сибирский государственный аэрокосмический университет, 660014 Красноярск, Россия
Поступила в редакцию 22 февраля 2011 г.
После переработки 30 мая 2011 г.
На основе точного представления для функции Грина, построенной на операторах Хаббарда, показано, что кинематическое взаимодействие, индуцирующее спин-флуктуационные процессы в пространственно однородной системе фермионов Хаббарда, приводит к существенному изменению спектральной интенсивности А(к, ш) при движении по зоне Бриллюэна. В результате на контуре Ферми возникает модуляция Л(к, w). Знак интеграла перескока электронов в первой координационной сфере определяет участок контура, на котором происходит падение А(к, о>), соответствующее данным ARPES.
1. Исследования купратных сверхпроводников привели к выводу об определяющей роли сильных электронных корреляций (СЭК) при формировании физических свойств этих материалов. При теоретическом описании систем с СЭК модель Хаббарда [1] приобрела статус базовой модели. В пределе бесконечно сильного кулоновского отталкивания электронов на одном узле взаимосвязь между электронными и спиновыми степенями свободы реализуется через кинематическое взаимодействие [2] и обусловливает спин-флуктуационные процессы [3]. Позднее выяснилось, что учет процессов рассеяния на спиновых флуктуациях (СФ) является важным при описании псевдощелевого состояния нормальной фазы [4]. При этом в качестве конкретного механизма спин-электронной взаимосвязи часто привлекалось взаимодействие электронов с волной спиновой плотности.
Поскольку в таких исследованиях наличие волны спиновой плотности считалось заранее заданным свойством, а причина ее возникновения обсуждалась, то представляется актуальным изучение вопроса о формировании псевдощелевого состояния в пространственно однородной системе. В данной работе решение поставленной задачи осуществляется на основе диаграммной техники для операторов Хаббарда (ДТХ) [2, 8], позволяющей адекватным образом учесть главные особенности ансамбля хаббардовских фермионов. Существенным фактором данного подхода является использование точного представления для мацубаровской функции Грина через массовый
и силовой операторы. Оно позволяет получить картину модуляции спектральной интенсивности,согласующуюся с экспериментальными данными по фотоэмиссионной спектроскопии (ARPES).
2. Известно, что в режиме СЭК (U t) процессы заброса электронов в верхнюю хаббардовскую подзону приводят к формированию обменной связи между электронами. В результате гамильтониан системы в подпространстве, не содержащем двоечных состояний, учитывающий эту обменную связь, может быть записан в виде (i-J-модель) [9]
г 0<Т
lro
¿ = + Е bmXfX^
fer fmer
1 >
I \ т { -усгсг -усгсг -усгсг -усгсг\ + 7jZ^Jfm{Л-f Лт — Л j- Лт )
(1)
/го
где = - операторы Хаббарда [1], опи-
сывающие процесс перехода иона из одноузельного состояния \д) в состояние \р); энергия одноэлектрон-ного одноионного состояния обозначена через е\ ц — химпотенциал системы; сг = ±1/2 (<т = ^сг) обозначает проекцию спинового момента; tfm - интеграл перескока электрона из узла то на узел /; Jfm = = 2Щт/11 - обменный интеграл; II - параметр хаб-бардовского отталкивания.
Для вычисления спектральной интенсивности воспользуемся методом ДТХ [2, 8] и введем мацубаровскую функцию Грина
д
W,o Af,r; f,r') = -{ТГХ^(Т)Х^(Т')) = (2)
= Jj Е e<k(/-/,)-<w"(T-T')I?o^(k, шп).
^ e-mail: wveiph.krasn.ru
N
к
Поскольку в парафазе выражение для функции Грина не зависит от спиновой поляризации, спиновые индексы будут опускаться. Для дальнейшего существенно, что I?(к, шп) распадается на произведение пропагаторной части и силового оператора [2]:
-О (к, шп) = б(к, гшп)Р(к, шп).
(3)
При этом для £?(к, шп) нетрудно получить модифицированное уравнение Дайсона:
0 01
0 01
0 0 ^
В этом уравнении жирной линии соответствует полный пропагатор (?(к, шп), посредством треугольника с символом "Р" обозначен силовой оператор Р(к, шп). Неприводимому по Ларкину [10] массовому оператору Е(к, шп) соответствует графический элемент в виде круга с вписанным в него символом Е. Тонкая линия со светлой (или темной) стрелкой обозначает затравочную функцию Грина для фермиона Хаббарда, которой ставится в соответствие аналитическое выражение
1
<?о(гШт.) = —
1Шп
м
Волнистым линиям со светлыми и темными стрелками соответствует фурье-образ интеграла перескока ¿к- При этом связь полного пропагатора £?(к, шп) с силовым и массовым операторами имеет вид [8, 11]
С(к,гш„)=
гшго - ^ - ¿кР(к, гшп) - Ех (к, шп)'
(5)
где £ = е — /4. Выполняя аналитическое продолжение шп из + (5 и вводя реальные и мнимые части силового и массового операторов:
Р(к, гизп) Р(к,ш + гб) = Рх(к,и;) + гРг(к,ш), (6) Ех(к,гшп) Ех(к,ш + гб) = Е^(к,из) +
получим Б(к,из + гб) =
Р\ (к, из) + гР2( к,ш)
ЕР (к,ш) + г[<5 - Е?(к, о>)]
В этом выражении
Е? (к,ш) = ¿кр1 (к, из) + Е^ (к,ш), Е?(к,ш) = гкР2(к,ш) + Ез (к,ш)
•(7)
(8)
являются реальной и мнимои частями неприводимого по Дайсону массового оператора соответственно.
Используя представление для запаздывающей функции Грина (7), находим спектральную интенсивность
А(к,ш) = -- 1т Р(к,из) =
7Г
= 1 | [ш^^Е^(к,ш)]Р2(к,ш)
* 1 [а, - ЕР(к,ш)]2 + [г - Е^(к,а;)]2
[а, ^ ЕР (к, а,)]2 + [г-Е?(к,а;)]'
О)
Полученная формула решает поставленную задачу об установлении связи между спектральной интенсивностью силовым, Р(к,ш), и массовым, Е(к,ш), операторами. Заметим, что в знаменатель (9) входит дайсоновский массовый оператор, тогда как в числителе участвует только та часть этого оператора, которая неприводима по Ларкину. Это произошло из-за взаимного сокращения в числителе слагаемых, являющихся произведением Рх(к,и;)Р2(к,из). Поэтому уравнения изоэнергети-ческих поверхностей (линии в двумерном случае) в квазиимпульсном пространстве становятся отличными от уравнений, задающих поверхности постоянного значения ^4(к,ш). Это приводит к зависимости спектральной интенсивности от значения квазиимпульса на поверхности Ферми. С такой зависимостью спектральной интенсивности связывается псевдощелевое состояние нормальной фазы систем с СЭК.
В однопетлевом приближении [2, 8] поправка к Р(к,гизт), обусловленная взаимодействиями Ь-З-модели, определяется четырьмя графиками:
Вклад в массовый оператор Е определяется двумя графиками:
01 01 0! 01 01
(П)
Сопоставляя графикам аналитические выражения, нетрудно получить явный вид силового и массового операторов:
+
Т
N
(¿ч + ./к-ч)С(д,гшг)
Р( к,гшго) = Сп
iV
££(к) = ^5>ч + ./к.ч)С(Ч,гшг), (13)
(12)
где хаббардовская перенормировка Сп = 1 — п/2.
Учитывая выражение для функции Грина (? (Я , ги>г)> можно убедиться в том, что решение уравнения для силового оператора в значительной степени зависит от вида спин-зарядовой восприимчивости
х(ч,г^т) = Хзр(ч,гшт) + хср{ Ч,гшт),
(14)
определяющей вклад флуктуационных процессов. В дальнейшем, принимая во внимание относительно большой масштаб энергии зарядовых возбуждений, ограничимся только вкладами, связанными с СФ. В этом случае нелинейное интегральное уравнение для однопетлевой поправки к силовому оператору 5Р(к, 1Шт) = Р(к,ги>т) — Сп будет иметь вид
= I- V
N 2-!
N ' гш!
<5Р(к,гшго) =
+- Jk-q)ysF(q - к,Ш1 - шт)
(15)
где = е + СПЬЧ - ц.
3. Поскольку ядро интегрального уравнения определяется динамической магнитной восприимчивостью, кратко остановимся на анализе этой функции. Впервые и>т) для модели Хаббарда была вы-
числена в работе [12]. Позднее, в связи с активным исследованием проблемы высокотемпературной сверхпроводимости, вычисление проводи-
лось в работах [8,13-15]. Из этих результатов следует, что функция Х$р(ч,и>т) быстро спадает при увеличении мацубаровской частоты. Поэтому главный вклад в интегральном уравнении набирается при суммировании по и>[, имеющим значение, близкое к о>т. Следовательно, можно положить
ХвР (Ч,гшт) = х(ч)пзрЗт0.
(16)
Выражение х(я) понимается как спиновая восприимчивость при нулевой мацубаровской частоте, пзр ~ ~ Озр/Т, где Озр есть значение мацубаровской частоты, начиная с которого происходит быстрое падение восприимчивости. Порядок величины этой частоты определяется характерными значениями энергий возбуждений в спиновой подсистеме Озр ~
~ о.о1|£|.
Для дальнейшего существенно, что в области малого допирования зависимость х(я) в «/-модели характеризуется наличием резкого пика в окрестности точки антиферромагнитной неустойчивости = = (тг, тг). На рис. 1 посредством штриховой линии по-
8
чЭ 4
г
м
X
г
Рис. 1. Сравнение квазиимпульсной зависимости спиновой восприимчивости, рассчитанной для ¿-./-модели [14] (штриховая линия), с модельной восприимчивостью (17), полученной на основе численных расчетов [18, 17] (сплошная линия). Выбрано направление обхода зоны Бриллюэна Г(0, 0) —>■ М{тг, тг) —>■ Х(тг, 0) —>■ Г(0, 0); 3 = 0.35|*|
казаны результаты численных расчетов по методике [14] зависимости х(ч)- Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными [16]. Для ускорения численных расчетов при решении интегрального уравнения (15) будем использовать модельную восприимчивость [17, 18]:
*,ч) = тда^г ,17)
= 0.55|£|, 4 = 2.7, (18)
где
Хо(0 =
3 п
4
1
1
1 + ^2(1 + 71ч)
. 71 я =
сое дх + сое ду
Справедливость использования данной аппроксимации продемонстрирована на рис. 1 (совпадение штриховой линии и сплошной линии, рассчитанной по формуле (17)).
Учитывая сделанные допущения, получим, что в первом борновском приближении
1 •г—*,
6Р(к,шт) =
(¿4 + Лк-Ч)х(ч - к)п<^
1Шп
(19)
6
2
0
где пр(х) = [ехр(^Ч^) + I]-1 - функция Ферми-Дирака. При этом выражение для одночастичной функции Грина (3) приобретает вид
Сп + 5Р( к,гшго)
D(k,iwm) = —
(21)
гшт - - ¿к8Р(к, шт) - £(к)' К полученной системе добавим уравнение для нахождения химпот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.