ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 1, с. 129-134
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНФЛЯЦИИ
© 2004 г. В. Е. Накоряков, В. Г. Гасенко
(Новосибирск)
Классическая теория денежного равновесия (Столерю, 1974) дает следующую связь между количеством операционных денег М в номинальном исчислении, скоростью обращения денег у (число оборотов в год), уровнем реального потребления С и индексом цены р:
М V = Ср. (1)
Инфляция п, как одна из важнейших характеристик состояния экономики, является по своему определению динамической величиной, зависящей от времени
_ 1 йр рйг'
Регулирование инфляции на основе ее простой оценки из (1)
1 йМ
п
(2)
п =
M dt
(3)
дает только один рецепт - ограничение денежной массы или эмиссии денег. Естественно, это дает свой эффект в сдерживании инфляции, но недостаток денежной массы подрывает спрос и лишает экономику необходимых ресурсов для инвестиций, а при острой нехватке порождает появление денежных суррогатов и в конечном итоге существенно замедляет экономическое развитие. Для более точного расчета инфляции необходимо, чтобы она рассчитывалась на основе динамических теорий, поскольку равновесное соотношение (1) не учитывает, что для установления баланса требуется определенное время, которое определяет темпы инфляции.
Рассмотрим кинетическую модель инфляции. Учтем связь величины потребления с валовым выпуском С = аУ, а < 1, тогда (1) примет вид
Р =
Mv aY'
(4)
а затем свяжем величину валового выпуска с объемом эмиссии денег. В моделях (Tobin, 1965, p. 671-684; Zhang, 1990) это делалось посредством учета инвестиций в капитал, т.е. по существу использовалась модель роста Солоу (1956, p. 65-94), учитывающая изменение цен. Но учет изменения валового выпуска через рост капитала неприемлем по той причине, что доля роста ВВП за счет роста капитала даже для стран с развитой рыночной экономикой постоянно сокращается. Для США, например, за период 1909-1949 гг. эта доля составляла 12.5% (Solow, 1956), а за период 1970-2000 гг. по подсчетам авторов только 3.2%. Для стран с малым объемом инвестиций, таких как Россия, этот подход тем более неприемлем.
Для построения более адекватной модели инфляции воспользуемся экспериментально выявленным фактом, что доля заработной платы W в экономически развитых странах пропорциональна ВВП Y и, следовательно,
Y = bW.
(5)
Для промышленно развитых стран Ь ~ 2, а для России можно принять Ь ~ 5. Пропорциональность зарплаты валовому выпуску замечена в экономике давно. В таблице приведена доля заработной
Процентная доля зарплаты в национальном доходе США
Период 1927 1941 1948 1949 1950 1951 1952 1948-1952
Вся экономика 58.1 61.9 62.7 64.7 63.8 64.3 66.3 64.3
Исключая с/х сектор 74.1 72.6 74.2 75.3 73.3 72.9 72.5 74.2
%
75.0г 70.065.060.055.050.0 45.040.035.030.025.020.015 0'_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1_1
Годы
Рис. 1. Доля заработной платы в ВВП США в % в 1929-2000 гг. с учетом компенсаций к зарплате и без учета компенсаций.
■ Зарплата с компенсациями
■ Зарплата без компенсаций
платы в национальном доходе США по данным (Solow (1956)). Расчеты авторов для экономики США по доле зарплаты в валовом выпуске за период 1929-2000 гг. на основе данных (UN (19292000)) приведены на рис. 1. Среднегодовые изменения доли зарплаты в долговременном плане за последние 30 лет здесь составляют не более 0.2% в год, в то время как среднегодовой рост ВВП за этот же период - 2.5%.
W/Y 0.7
Аналогичные зависимости по стабильной и высокой доле зарплаты в ВВП наблюдаются и в экономиках других развитых стран. Такие данные (www.economic-chart.com; www.eco.rug.nl;
www.statistics.gov.ru.uk;www.bea.gov; Народное хозяйство, 1960-1987; PCE, 2001) для пяти стран, включая США и Россию, приведены на рис. 2. Обращает внимание малая, не более 20%, доля заработной платы в ВВП России, которая к тому же имеет тенденцию к снижению в последние годы. Такой низкий показатель говорит о низком качестве продукции, использовании отсталых технологий и о малой активности профсоюзных и общественных организаций.
Свяжем два соотношения (4) и (5) взаимной зависимостью. Пусть масса денег является эндогенно заданной величиной и с течением времени меняется от начального значения M0:
M(t) = М0 + Л M(t) (6)
США
Россия
Англия
Германия
Канада
_i_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I
ОМ^ЮОООСЯ^-ЮСйОМ^ЮООО
(N
t, годы
по закону разовой эмиссии, когда
А М(0 = А М п(0, (7)
где п(0 - ступенчатая функция Хевисайда, либо по линейному закону:
Рис. 2. Изменение отношения величины заработной платы всех занятых, исключая сельскохозяйственный сектор, к объему ВВП в экономиках пяти стран, включая Россию в течение 1970-2000 гг.
ЛМ(0 =
'ЛMt/10, t < t0,
ЛМ, t > t0, с ростом только в течение периода t0.
Пусть доля 5 < 1 эмиссионных денег ДМ направляется в промышленный сектор на увеличение начальной равновесной зарплаты W0. С учетом (6) стационарные соотношения (4), (5) примут вид
М 0 + ДМ
р = -ау— у'
(9)
у = ь (w о+55Дт ).
Соотношения (9) также являются стационарными, поэтому при изменении равновесия обе связи (9) нарушаются, а затем с течением времени устанавливаются при новых равновесных значениях р и У, но для произвольного момента времени, т.е. в динамике вместо (9) необходимо писать динамические дифференциальные уравнения. Запишем эти уравнения в кинетической форме, когда скорость отклонения какого-либо параметра пропорциональна его отклонению от равновесного значения. Тогда на основе (9) получим следующие кинетические уравнения
йр ( Мо + ДМ
■ут = -^1 р---— V
йг \ аУ
(10)
йУ , и иш Ь5ДМ\
й = IУ - ЬW о--р-)'
где кинетические коэффициенты кх, 2 - это обратные времена реакции системы на установление равновесия по величине параметров р и У, соответственно. Коэффициенты кх, 2 так же, как и параметры а, Ь, 5, V, будем считать постоянными, но на данном этапе варьируемыми величинами. При переходе к безразмерным переменным: относительного изменения ВВП у = У/У0 - 1 и нормированного индекса цен р = р/р0, где У0 = ЬW0 и р0 = М0у/аУ0 - начальные значения ВВП и индекса цен, кинетические уравнения примут следующий вид:
йр , (~ 1 + т
-ш = - к11р-т+~у )'
йу , ( йтЛ
йу =-Чу -Т)'
(11)
где т(г) = ДМ(г)/М0 - безразмерная функция эмиссии, й = 5M0/p0W0 - безразмерный параметр эластичности отдачи по заработной плате: если она выросла на т%, то валовой выпуск вырастет на йт%. Очевидно, что величина этого коэффициента примерно такая же, как у коэффициента отдачи по труду в производственных функциях: в России й ~ 0.5, а в промышленно развитых странах й ~ 0.7. Начальные условия для (9) фиксированы: р(0) = 1, у(0) = 0.
Система кинетических уравнений (11) может быть сведена к одному уравнению второго порядка для индекса цен
(, , , 2к2(р1-р) + т\к2(р + йт) ~-2 к2(р1- ~р) + ГП 2 п р+ к1 + к2---- р + 1—ту-у^р---к1 р =0 (12)
^ ^ 1 2 1+ т ) к 1 (1+ т) р^ 1+ т 1
с начальными условиями: р(0) = 1, ^(0) = кхт(0). Точка над переменной в (10) и далее обозначает производную по времени, две точки - вторую производную по времени. Система уравнений (11) имеет особую точку или точку равновесия: р1 = 1 + т - йт, у1 = йт/р1. Анализ характеристического уравнения в окрестности особой точки показывает, что равновесная точка р1, ух является абсолютно устойчивым узлом и достигается при больших временах г —►
Система (11) существенно нелинейна и в общем случае решается только численно. Однако в предельном случае, когда к2 > кь она сводится к одному нелинейному уравнению:
йр ] (~ 1 + т Л
йг = -к1 (р-1Гйттр)' (13)
решение которого в частном случае разовой эмиссии находится аналитически
йт ( Р\ .
' 'к, г
--—-- Л.](
~ ч ~ 1 + т ,л ~ -.К 1+ т) /л л\
(Р- Р1) Р = (1- Р1 )е (14)
и представляет собой экспоненциальное установление с течением времени нового равновесного значения индекса цен Р1. В другом предельном случае, когда к1 > к2, справедлива связь Р ~ (1 + + т)/(1 + у) и система (11) сводится к линейному уравнению:
йу + к2 Р 1 = к2 йт (15)
йг 1 + т 1 + т'
общее решение которого имеет вид:
йг г , - г йг'
Ге
, -г dt t -г dt .. -k2Pli 1+ m(i)f -klPl) 1 + m(t) m(t') ,,
y(t) = к 2d с j e r7m(t;)dt (16)
и может быть представлено в квадратурах для частных случаев зависимости эмиссии от времени m(t). Для случая разовой эмиссии, когда m(t) = const, интеграл (16) берется и решение для индекса цен находится в виде:
P(t) = -P--. (17)
1 dm ( к2Pi Л
1---expI ---1
1+ m I 1+ m )
При анализе численных решений системы кинетических уравнений (11) полезно сравнение с динамикой поведения индекса цен без учета изменения валового выпуска, когда цены не "гасятся" изменением объема производства. В этом случае кинетика изменения индекса цен описывается одним уравнением
dp = -k1( P-1- m). (18)
Решение (18) для случая разовой эмиссии имеет вид
P(t) = 1+ m (1-e-k1t), (19)
величина инфляции, следующая из (19), в этом случае
-k1t
n(t) = '' 1 ''' -k t (20)
k1m e 1 + m(1 - e-k1')
оказывается максимальной в начальный момент времени сразу после эмиссии, а затем спадает до нуля. В случае линейно растущей эмиссии (8) до величины m за время t0 имеем решение уравнения (18):
m -k1 t
1 + -—(k1t-1 + e ), t < t0,
k1t0
P(t) = \ (21)
. m _ -k1t -ktt
1+ m + ^—(1-e )e , t> t0. k1 t0
В общем случае решение кинетических уравнений (11) находилось численным интегрированием. На рис. 3 приведено решение (11) для 20% разовой эмиссии при d = 0.7 и прямо противоположных отношениях кинетических коэффициентов, а именно при k2/k1 = 0.2 кривой 1 и при k2/k1 = 10 кривой 2. Здесь же для сравнения приведено решение (19), которое мы назовем пассивным при котором индекс цен при kxt > 1 точно отслеживает величину эмиссии. Характерно, что если производство "отзывается" на эмитированные в него деньги с большим запаздыванием (k2 < kj), то индекс цен вначале растет, а потом по мере увеличения объема производства спадает до своего равновесного значения P1 = 1 + m - dm. Естественно, что падение индекса цен вызывает дефляцию. Это показано на рис. 4, где приведены те же решения, но для инфляционных зависимостей
o
кхг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.