ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 3, с. 484-492
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 536.24
КИПЕНИЕ: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУЗЫРЕЙ ПО РАЗМЕРАМ, ТРЕБУЕМОЕ ПРИНЦИПОМ МАКСИМУМА ИНФОРМАЦИИ
© 2004 г. Д. Н. Герасимов, О. А. Синкевич
Московский энергетический институт Поступило в редакцию 26.09.2003 г.
ВВЕДЕНИЕ
Кипение представляет собой процесс, весьма сложный для теоретического описания. Наличие трудноучитываемых факторов, главным из которых является состояние поверхности, и комплексность задачи, когда требуется решение согласованной задачи о теплообмене при течении испаряющейся жидкости по шероховатой поверхности и нестационарном росте паровой полости, порождает обилие физических моделей, каждая из которых рассматривает проблему лишь частично. В такой ситуации даже некоторое соответствие результатов теории экспериментальным данным не всегда гарантирует ее адекватность: так, в [1] упоминается о "случайном совпадении" расчетов по формуле Плессета-Цвика (для роста пузыря в объеме перегретой жидкости) с измерениями скорости роста пузыря на обогреваемой поверхности.
В условиях, когда микроскопическое описание (т.е. общепринятое, заключающееся в описании отдельных деталей и последующем составлении из них макроскопической картины) очень затруднено, необходимо искать другие способы постановки задачи.
1. Принцип максимума информации. Этот принцип, активно используемый в синергетике [2], утверждает, что реализуется состояние, в котором информационная энтропия максимальна. Имеется в виду следующее. Пусть некоторая величина может принимать значение х - х + ёх с вероятностью /(х)ёх, тогда информационной энтропией будет называться функция
^ = _J f ln fdx,
(1)
2. Постановка задачи. В данной работе с помощью принципа максимума энтропии определяется распределение пузырей по отрывным размерам.
Предполагается, что в жидкости, обогреваемой в стационарных условиях (т.е. при неизменных условиях нагрева), имеется N готовых оторваться пузырей. Из них эквивалентный радиус, или радиус сферы эквивалентного объема, от Я до Я + ёЯ имеет /(Я^ёЯ пузырей. Функция распределения /(Я) находится при следующих ограничениях: 1) всего пузырей N (для кипения на поверхности это условие означает в сущности постоянство числа центров парообразования и стационарность рассматриваемой задачи); 2) выполняется условие теплового баланса (будет записано ниже).
3. Исходные соотношения. Использование условия максимальности информационной энтропии приводит к выражению
5S = 0, J( 1 + ln f )5fdR = 0.
(2)
Здесь интегрирование ведется от некоторого минимального до некоторого максимального размера пузыря. Под первым понимается 0, так как при принятом подходе не возникает представления о минимальном радиусе, требуемом экстремумом функции Гиббса (как это излагается обычно). В качестве верхнего предела полагается исходя из того, что размеры рассматриваемой системы достаточно велики, чтобы данное допущение внесло заметную погрешность.
Первое ограничение, сформулированное приводит к выполнению условий
п. 2,
т.е. среднее значение логарифма плотности вероятности. Обсуждаемый принцип утверждает, что распределение /(х) будет таким, чтобы функция S была максимальной (в заданных условиях, а именно при определенных ограничениях).
По своей сути принцип максимума информации близок второму началу термодинамики. Единственное отличие заключается в том, что энтропия (1) не обязательно является термодинамической функцией.
N
= J NfdR =
о
JdfdR = |
const,
(3)
Второе ограничение п. 2 более сложное. Тепло, подводимое к поверхности пузыря, расходуется на парообразование, работу пузыря против внешних сил и нагрев пара.
о
КИПЕНИЕ: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУЗЫРЕЙ ПО РАЗМЕРАМ
485
Последним вследствие его малости можно пренебречь. Количество тепла, затраченное на испарение жидкости для образования одного пузыря, равно рН(4/3)пЯ3 (р - плотность пара, Н -удельная теплота парообразования). Тогда для всех пузырей
|рй3п Я3/йЯ.
Аналогично суммарная работа расширения записывается как
| р 4 п Я3/йЯ.
Здесь необходимо уточнить, что помимо работы расширения также совершается работа по образованию поверхности раздела фаз. Однако, во-первых, она, как правило (для не очень маленьких радиусов), много меньше работы расширения; во-вторых, для ее корректной записи нужно иметь представление о форме пузыря в течение всего времени его роста. Поэтому отдельно это слагаемое не рассматривается; учесть поверхностное натяжение в первом приближении можно включением в р лапласовского скачка давления.
Запишем теперь выражение для количества тепла, подводимого к одному пузырю. Для точной формулировки этого выражения нужно иметь физическую модель, мы же запишем это выражение в общем виде: количество теплоты, подведенное к пузырю за время его роста, равно
г (Я)
| д(г,г)г(г)2йг,
л (Я)
Ц | д(г)г(г)2йг
/йЯ.
0 4 0
Таким образом, математическое выражение второго ограничения выглядит как
гг (Я)
Л | д(г)Г(г)2йг
00
= |р Л 4 п Я3/йЯ + Л р 4 п Я3/йЯ
/йЯ =
4 „э
Необходимо заметить, что при атмосферном давлении первое слагаемое в правой части, как правило, намного больше второго.
Варьирование этого выражения дает
^ ( я )
Л Л д(г)Г(г)2йг - (рЛ + р)3
п Я
Ъ/йЯ = 0. (4)
00
Умножив уравнение (3) на (-1п а - 1), уравнение (4) - на (-Р) и сложив полученные выражения друг с другом и с (2), в результате получим
^г (Я)
Лша в Л д(г)г(г)2йг - (рЛ + р)3
4 з п Я3
\\
Ъ/йЯ = 0.
//
00
Из-за независимости вариаций Ъ/ находится искомое распределение пузырей по радиусам
/(Я) = аехр(р( е(Я) - (рЛ + р)3пЯ3
(5)
где е(Я) = Я) д (г)г(г)2йг - количество тепла, подведенное к пузырю радиуса Я за время его роста.
4. Применение полученного распределения. Для использования формулы (5) нужно определить константы а и 0, а также знать конкретное выражение для Q(Я).
Для вычисления Q(Я) необходимо иметь какую-либо модель роста пузыря и его отрыва, для чего мы воспользуемся самыми распространенными, на наш взгляд, моделями. Для роста пузыря используется модель Ягова [1], а в качестве критерия отрыва принимается представление о растущем и всплывающем пузыре. Тогда
где ^Я) - время отрыва пузыря радиуса Я; д(?), г(?) -средняя (по квадрату радиуса) плотность теплового потока на границе пузыря и его эквивалентный радиус в зависимости от времени.
Тогда для всех пузырей, очевидно, получаем выражение
йО/йг = р! ХАТг( г) +
Г(г) = к4аг, где К = 1а +
у ^АТг( г)
4аг
4п
у?1а2 Р^а 16 п2 2 п '
Здесь у1 и Р1 - константы; X и а - теплопроводность и температуропроводность жидкости; АТ -перегрев стенки относительно температуры насыщения; 1а - число Якоба. Время отрыва связано с радиусом соотношением г = . Следует отметить, что записанные выше выражения получены при пренебрежении работой расширения, поэтому ниже мы также не будем учитывать соответствующее слагаемое в (5).
Таким образом, выражение для Q примет вид
У5 Я /2в.
е(Я) = Л (р!ХАТг(г) +
у 1 X А Тг( г)
4аг
2
йг. (6)
0
0
0
0
0
486
ГЕРАСИМОВ, СИНКЕВИЧ
1.5 2.0
Я, мм
В свою очередь вероятный радиус представляет собой среднее по функции /(Я) значение
Яв = | Я а ехр (р(Е Я34 - Ф Я3)) йЯ.
(10)
Перейдем теперь к определению констант а и р. Константа а определяется обычным в таких случаях способом через условие нормировки
1
а =
|ехр(рЕЯ3/4- рФЯ3)йЯ
Плотность вероятности значения радиуса пузыря для условий п. 5.
Интегрируя (6), находим
е ( я ) = ея3/4,
К 5 Л 3/4
где Е = 3[(Р^АТК + у 1ХАТК2)4~а.
Распределение (5) теперь можно переписать виде
/ (Я) = а ехр (Р(Е Я3/4- Ф Я3)),
(7)
где Ф = (4п/3)рН (т.е. без учета работы расширения, см. выше).
Согласно (7) наиболее вероятный отрывной радиус пузыря (отвечающий максимуму распределения) определяется из условия
3 Е Я"1/4-3 Ф Я2 = 0
4 н.В ^^-"н.в ^
и равен
Ян.в 14Ф
Е \4/9
(8)
Отметим, что полученное выражение (8) отличается от того, которое можно было бы получить детерминированным способом, игнорируя статистический разброс по радиусам и используя равенства
Я = К4аг, Я = 2gt2/5 ,
исключая из них время (что было сделано нами при записи верхнего предела в интеграле (6)):
4/3 2 1/3
Ядет = К"( 5а/2е)
(9)
С константой Р ситуация сложнее. По своему смыслу она определяет форму кривой /(Я). Фактически это - интервал разброса значений отрывного радиуса, вследствие чего для определения Р желательно было бы иметь замыкающее соотношение, связывающее среднеквадратическое отклонение радиуса с параметрами кипения. В отсутствие такового можно сделать следующие рассуждения.
Во-первых, Р должна быть положительной величиной, что следует из (7), так как только в этом случае распределение будет иметь максимум, а не минимум (в этом можно убедиться, взяв вторую производную /(Я) в точке Я = Янв).
Во-вторых, благодаря наблюдениям да и просто из физических соображений логично предположить, что диапазон разброса радиусов не составляет несколько порядков. Тогда максимум распределения (7) должен быть выражен достаточно четко и вероятное значение радиуса будет иметь порядок наиболее вероятного его значения. Для конкретного определения константы Р мы усилим это утверждение, предположив, что Я, = Янв. Однако использование замыкающего соотношения было бы более предпочтительным.
5. Численный пример. Далее на конкретном примере мы продемонстрируем применение изложенного выше подхода.
Рассмотрим кипение воды при атмосферном давлении: АГ = 10 К; X = 0.68 Вт/(м К), ср = = 4.1 кДж/(кг К), Н = 2.3 МДж/кг, р = 1 кг/м3; Рх = = 24п, ух = 0.3п. В этом случае 1а = 17, К = 20, Е = 2.0 Дж м-3/4, Ф = = 9.6 х 106 Дж/м3. Детерминированный отрывной радиус, рассчитанный по (9), составляет Ядет = 1.1 мм. Наиболее вероятный радиус (8) несколько меньше: Ян.в = 0.58 мм.
Оценивая Р, как описано в предыдущем разделе, получаем Р = 210. Соответствующее среднеквадратичное отклонение радиуса от среднего
равно АЯ = 7<(Я - Я)2) = 0.60 мм, т.е. практически совпадает со значением самого отрывного ра-
0
0
ПЛОТНОСТЬ РАСПЛАВЛЕННОГО ВИСМУТА ПРИ! ВЫ1СОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
487
диуса. Плотность вероятности, рассчитанная для данного примера, показана на рисунке.
ЗАКЛЮЧ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.