ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ fiHHivios^ пн- . „л. И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА ' "•oaiií't>íí'J f»p;><0¡;).r Т.". :'>,>ПЧ>5«;е;Г «ИТ Nit
Том 144 № 2 .м*»л-«жпт:ааяимадагэшчгт юшшглгкг ул -и.-■'«•э?щ«ак
.i .-хне чкл оч> .сэдеись* з-Л
август, 2005
т ЯлЮ*-';-^': , Ы /.■iü.-,HT,i¡i:
-•f-i" - . ;ffll'í hJbJií:; . ; tólj,.«."
*S\v» t * an акайпнуозпi.>эмм í к йшодэаэннядаии«-тятои^.. ■-•> л*'
и /пог
'\ГП Г| -
© 2005 г.
Дж. Мармо*, Дж. Сколаричи*, А. Симони*, Ф. Вентрилья*'* ~ ^
КЛАССИЧЕСКИЕ И КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ: АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ ОПИСАНИЯ
В полной аналогии с классической ситуацией (краткий обзор которой также приведен) разработано битамильтоново описание квантовых систем. Также в полной аналогии с совместными пуассоновыми структурами проведен анализ совместных эрмитовых структур. ''
Ключевые слова: переход квантовая система - классическая система, квантовые бигамиль-тоновы системы, альтернативные эрмитовы структуры, биунитарные операторы. -.r o'iopw,'
от"! !^¡iiOT^aioo:) ,л_. .,.„,„ ..........'¡iKíñ,:
-'<[Г. íi '• - X ' "• ' ' ' "•'■! t^'ltíi.íí- 'läi-bVl -'.E ;HH¡ '"i1
-«-nwi 1. ВВЕДЕНИЕ W•• • - • ь ж-
В последние тридцать лет было обнаружено, что большое число нелинейных эволюционных уравнений представляют собой интегрируемые системы [1]. В самом деле, почти во всех случаях интегрируемые системы допускают более чем одно гамильтоново описание (системы, допускающие альтернативные гамильтоновы описания, часто называются бигамиль тоновыми) [2]. В квантовой механике исследования полной интегрируемости в квантовом случае были проведены в работах [3], [4]. ' * * ''' а""
С точки зрения Дирака [5], "классическая механика должна представлять собой предельный случай квантовой механики. Нам следует тем самым ожидать, что важные понятия классической механики будут соответствовать важным понятиям квантовой механики, и, поняв общую природу соответствия между классической и квантовой механиками, мы можем надеяться получить законы и теоремы квантовой механики как простые обобщения результатов, хорошо известных в классической механике".
* Dipartimento di Scienze Fisiche, Universita' di Napoli Federico II, Complesso Universitario di Monte S. Angelo, Napoli, INFN, Sezione di Napoli, Italy. E-mail: marmo@na.infn.it, simoni@na.infn.it, ventriglia@na.infn.it
^Dipartimento di Fisica, Universita' di Lecce and INFN, Sezione di Lecce, Italy. E-mail: scolarici@le.infn.it
*INFM, UdR di Napoli, Italy
Представл квантовой ме ры в классич ного гамильт Эта задач, мутационньа также работ) Поскольку рассмотреть Чтобы ЯС1 подходе, нале описаний в ю тернативных сматриваемо Работа ор мильтоновы I движения ра деталях в ра: ванием подхо дингеровска) нений движе при этом ал1 ряются на а в разделе 71 ву структуру эрмитовых с водится в ра:
Почти во 6игамилъто1 тоновой, есл ющие гамил
С любой пу;
»•т tVf '
, ¿й.....v.¡
1лг
ЗТЕМЫ: ПИСАНИЯ
Х)й также при-е в полной ана-иестных эрми-
вантовые бигамиль-ры.
,ч'Ш "■Г-
КПЧ>
"Л-
нелинейных эво I]. В самом деле, но гамильтоново ния, часто назы-лной интегриру-
дставлятъ со-иьш ожидать, >вать важным ктпвшг между 1 учить законы ов, хорошо иэ-
во Universitario irmo@na.infn.it,
Italy. E-mail:
классические и квантовые системы ...
365
Представляется естественным задать вопрос: какие альтернативные структуры в квантовой механике переходят в соответствующем пределе в альтернативные структуры в классической механике? В частности, можно ли установить аналог альтернативного гамильтонова описания в квантовом подходе?
Эта задача была исследована Вигнером в его двухстраничной статье в связи с коммутационными соотношениями для одномерного гармонического осциллятора [6] (см. также работы [7]-[10]).
Поскольку нам интересны сами структуры, а не их частные применения, здесь лучше рассмотреть самое простое описание без излишних технических деталей.
Чтобы ясно обозначить направления, которые необходимо исследовать в квантовом подходе, напомним вкратце, как осуществляется поиск альтернативных гамильтоновых описаний в классическом подходе, не касаясь проблемы существования совместных альтернативных скобок Пуассона, что могло бы привести к полной интегрируемости рассматриваемой системы.
Работа организована следующим образом. В разделе 2 даются альтернативные га-мильтоновы описания классических систем. Частный случай ньютоновских уравнений движения рассматривается в разделе 3, а содержательный пример рассматривается в деталях в разделе 4. Аналогичное квантовое описание приведено в разделе 5 с использованием подхода Вейля к переходу между классическими и квантовыми системами. Шре-дингеровская картина используется для исследования альтернативных описаний уравнений движения квантовых систем в конечномерном случае в разделе 6. Полученные при этом алгебраические результаты для инвариантных эрмитовых структур расширяются на случай бесконечномерных систем в конечной части работы. В частности, в разделе 7 приводятся некоторые из теорем Надя, задающие инвариантную эрмитову структуру, и группа биунитарных преобразований характеризуется исходя из двух эрмитовых структур, а простой пример, демонстрирующий возможности теории, приводится в разделе 8. Заключительные замечания содержатся в разделе 9.
2. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ
ОПИСАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ДГ*'*' -; ' *
Почти во всех случаях полностью интегрируемые классические системы являются битами ль тоновыми. Динамическая система на многообразии М называется бигамиль-тоновой, если существуют две пуассоновы скобки, обозначаемые {., .}1,2,и соответствующие гамилътоновы функции Н\}2 такие, что " '
dj_ dt
= {#!,/}! = {#2,/}2 V/ € Т{М).
(1)
С любой пуассоновой скобкой можно связать пуассонов тензор, задаваемый формулой
д д
Чтобы найти альтернативные гамильтоновы описания для данной динамической системы, связанной с векторным полем Г на многообразии М с уравнениями движения
|=1Г/, ^ (3)
скы."' Яд - ¡.IV
необходимо решить следующее уравнение на пуассонов тензор Л: ?кт< о ; чльт-г
¡'.И : ,->т.к">
-г>' г>. гл.^т'"';:1 ¿ГЛ = 0. л '(.: ••.•:; чм (4)
Векторное поле Г оказывается полностью интегрируемым, если можно найти два пуас-соновых тензора Л1 и Лг среди всех возможных альтернативных решений уравнения (4) такие, что произвольная линейная комбинация А1Л1 + Л2Л2 удовлетворяет тождеству Якоби. В этом случае пуассоновы структуры называются совместными [11]. В частности, постоянные пуассоновы тензоры совместны.
Таким образом, если задано векторное поле Г, ■ <
, ,!1 А,- •• д ' ; ''--'г:^л.. . > '
•I ч- -1- Г = ' " ~ '•• =. Ч. '-V • .'.г (5)
то можно задаться целью найти пары (Л, Н), позволяющие разложить Г в произведение
,-• г'МВД *.»;•■ -л ^Р-Л»«" . " ЧНЙ^хОЙ ' KKi.tiii.rl - •«(-';• ..'!.
1 вн
* ./ 'Г., (6)
с наложенным дополнительным условием (тождеством Якоби)
У !
Л■jkдkЛ■lm ++ \ткдккл= о. • (7)
Дальнейшие рассмотрения относятся к случаю, когда уравнения движения являются уравнениями второго порядка.
3. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ ОПИСАНИЯ УРАВНЕНИЙ НЬЮТОНОВСКОГО ТИПА
Напомним, что, в соответствии с утверждением Дайсона [12], [13], Р. Фейнман интересовался сходной проблемой с наложенным дополнительным условием локализуемое™, которое, будучи выражено в терминах координат и импульсов {х^, р^), имеет вид
{*,•,**} = (). (8)
Задавшись целью найти гамильтоновы описания дифференциальных уравнений второго порядка, мы таким образом получим
Х] = {Н,Хз), (9)
^ = {Н,{Н,х^} = ^(х,х). (10)
/
НТРИЛЬЯ
шой динамической сис-иениями движения
(3)
• (4)
южно найти два пуастений уравнения (4) летворяет тождеству иыми [11]. В частнос-
V (5)
мть Г в произведение (6)
' ' (7) движения являются
ВЫ
О ТИПА
Р. Фейнман интересы локализуемости, имеет вид
(8)
уравнений второго
(9) (10)
классические и квантовые системы ...
«67
Надо решить это уравнение для пары ({.,.}, Я); ясно, что такая задача весьма нетривиальна. Если наложить условие локализуемости
{Х],хк} = 0
(П)
вместе с дбполнительным требованием (инвариантностью относительно галилеевых бустов)
то задача существенно упростится. ; ч '
В самом деле, если начать с уравнения
И ВЫЧИСЛИТЬ производную ПО ¿(с, то получим
Л г- 1
(12)
(13)
(14)
Видно, что скобка невыражденна и гессиан гамильтониана Н также невырожден. Теперь можно использовать преобразование лежандровского типа, для того чтобы перейти от гамильтонова описания в терминах Н к лагранжеву описанию в терминах С. Соответствующая задача, выраженная в терминах функций Лагранжа, линеаризуется, и мы приходим к следующему уравнению на С: . _
д2С . . .. д2С . ЭС п
—}т{х,Х) + Хт - -- = 0.
дх 2 дх щ
д±удхт дХ]
(15)
ляп: • " '-¡уг^ПЬ
Формулировка задачи в данной форме восходит к работам Гельмгольца [14].
4. ПРИМЕР ПАРАДИГМЫ
Рассмотрим простой пример, оказывающийся полезным также и при описании соответствующей квантовой задачи [15].
Рассмотрим на многообразии М = М2" поле
Хк1г-), А* е к.
(16)
Поле Г представляет собой динамическое векторное поле анизотропного гармонического осциллятора с собственными частотами А^. Поскольку форма А инвариантна относительно потока, ассоциированного с полем Г, то для любой константы движения Р(х,р) 2-форма , ,к ■ . >
¿НгкМя;)- ':.., -0
г
оказывается инвариантом: ьУдай'яп^ «»•даэпавгь; отб'.гг>п:."*
'¿-г~'-"'-Ьгшр = 0- -а ¿яаог.т*..1Гм>.б!йй? -ж (18)
В случае одномерного гармонического осциллятора функция
. «ммпк Р<Я,Р) = (Р2+ «2)(1 + /(Р2 + 92))2 , (!9)
задает наиболее общую инвариантную 2-форму, параметризуемую выражением }{р2 + д2). Например,
^(<?,р)=ехр|^(р2+<г2)| - • пу • (20)
приводит к форме
иг = с1РЛс1С}, Р = ХрР: <5 = ХдР, (21)
в которой соотношение ... „
{Р,£} = А2Г2(д,р)[1 + А(р2 + 92)]{р,</} (22)
задает пуассонову скобку для новых переменных, выраженных через исходные переменные, а это показывает, что преобразование не каноническое. Подчеркнем, что уравнения движения линейны по новым переменным: * ;; $ок к-
{««фДОЬДОГ. И «Л»'«-' ^ .. • а ¡»К . ■ я . ь > ^р ——С} —ф= Р ->.*тн .вь-'-л^и ■■ »•> • ^3)
(И (к 1^,; , . кю-.т-■ >
равно как и по исходным переменным. . .,
Тем самым
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.