f. 661; G. Dunne,
In: Variational . Philadelphia: f er. II Nuovo • Cambridge Univ. --ianik. 3rd ed.
dynamics and Physics: Theory M.J. Ablowitz, 2003. P. 186; artex dynamics.
pb. A 2001. V. 34.
ry and Appli-
C. Gonera, J Lukierski,
S. Plyushchay. D. 1991. V. 43.
953; S. Ghosh. EX Mod. Phys. A.
D. R. Leadley,
Paris: Dunod, cat: Birkhäuser,
i, M. Loewe, Mod. Phys.
Ы. H. Fliehe, Сл. Duval. Un -xrerieur. These Ann. Inst. -. 1976. V. 25.
У
L. Martina,
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. Е.В. Ферапонтов*К. Р. Хуснутдинова*'*,
М.В. Павлов*
КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ (2 + 1)-МЕРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИЕРАРХИЙ
Исследуются (2+ 1)-мерные иерархии, ассоциированные с интегрируемыми дифференциальными уравнениями вида = Р(ПХх, П^к), которые обобщают иерархию беадисперсионного уравнения Кадомцева Петвиашвили. Интегрируемость понимается как существование бесконечного числа гидродинамических редукций.
Ключевые слова: интегрируемые иерархии типа иерархии безщисперсионного уравнения Ка-домцева-Петвиашвили, гидродинамические редукции, псевдопотенциалы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим функцию П бесконечного числа независимых переменных 41, ¿2, ..., которая удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) второго порядка
здесь
flnk = dt"dtkfl, п ^ 1, к ^ 1. Более подробно:
í^ll = $ll(ÍÍ00) ^01, ^02), П12 = $12(^00,^01,^02,^03), ^13 = $13(^00, ííoi, ^02, ÍÍ03, ÍÍ04), П22 = Ф22 (^00,^01,^02,^03,^04)
(1)
* Department of Mathematical Sciences, Loughborough University, Loughborough, Leicestershire LE11 3TU, UK. E-mail: E.V.Ferapontov@lboro.ac.uk, K.Khusnutdinova@lboro.ac.uk, M.V.Pavlov@lboro.ac.uk
t Центр нелинейных исследований, Институт теоретической физики им. JI. Д. Ландау, Москва, Россия
^Институт механики, Уфимское отделение РАН, 450025, ул. К. Маркса, 12, к. 6, Уфа, Россия
и т.д. Уравнения этого типа обобщают иерархию безщисперсионного уравнения Кадом-цева-Петвиашвили (КП)
Пц = П02 - 2^оси П12 = Поз — Поо^оъ
1 2
П13 = По4 — ^00^02 —
П22 = ^04 + дПдо — П00П02 ~ ^01
и т.д. Дополнительные примеры возникают при решении задачи Дирихле в многосвязных областях [1]. Условия совместности уравнений (1) накладывают жесткие ограничения на функции Фпк, означающие, в частности, что Фц однозначно определяет остальные функции Фпь [2], [3]. Сама функция Фц удовлетворяет сложной переопределенной системе ДУЧП третьего порядка (см. раздел 2, в котором мы заново выводим эту систему на основе метода гидродинамических редукций [4]-[7]). Ее общее решение может быть приведено к одной из четырех существенно различных канонических форм
Фи = П02 + ¿№>1 + 2БП0о)2 +
^=^++4К+4"°-+^+СеД/п"
фц = ^ + ^(Поо)Поь
1 п'оо
фц =1п^02 -1п01(ПО1,Поо) - - / ч(т)(1т,
см. [2]. Здесь т}(т) - решение уравнения Шази (см. [8])
г)'" + 2щ" = Зг)'2, (2)
которое может быть представлено в параметрической форме
г,(т) = ¿К(Я)[(2 - з2)Щз) - ЗВД, г =
где К(з) и Е(з) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно [9]. Тета-функция
оо
(г,г) = 2^(-1)пе-("+1/2)2т8т[(2п+1)г]
71 = 0
определяется как решение инволютивной системы
0,01 = -квъ дтвх = \{к2 - 1)въ
дгк = I, дгк = и*Р - 4пР - 8тЦ - ¡г," - ^Ы,
дя1 = Л/4Р _ 4_ 8т]Ч - I»,",
дт1 = I2 - VI - Г)' - 4Р - 4т}12 - &Т)>1 - 11)",
КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ (2 + 1)-МЕРНЫХ ИЕРАРХИЙ
37
: сравнения Кадом-
в многосвяз-ие ограниче-яет осталь-аеленной зьэоаим эту сис-:»5шение может *зи форм
(2)
роза, соответ-
(3)
где, как и ранее, ту - решение уравнения Шази (2). Подчеркнем, однако, что для работы с приведенными выше выражениями для функции Фц не нужны явные формулы для #1 и г)] что действительно необходимо, так это уравнения (2), (3).
Иерархия бездисперсионного уравнения КП соответствует простому вырождению первой канонической формы: А = —2В2, В О, С = 0. Аналогично иерархия модифицированного бездисперсионного уравнения КП
В2
Пи = Пог + ВП00П01 +
может быть получена при вырождении С = —2В2А~3, А 0 (вместе с подходящей линейной заменой переменной £2).
В разделе 2 мы сосредоточимся на первом уравнении
Пц = Фц(Поо,По1,Пог),
(4)
не делая дополнительных предположении относительно структуры высших потоков иерархии. Вводя обозначения = х, ^ = = у, Фц = С, Поо = о> П01 = Ь, П02 = с, перепишем (4) в квазилинейном виде
аь - Ьх,
Ьу = С{, Ьг = С(а,Ь, с)а
(5)
Применяя к (5) метод гидродинамических редукций (в духе работ [6]), мы придем к такой же системе ДУЧП для функции Фц, какая была получена в работах [2]. Это подтверждает, что симметрийный подход работ [2], основанный на уравнениях (1), дает полный список интегрируемых уравнений вида (4).
В разделе 3 рассматриваются скалярные псевдопотенциалы
■фь = <3(^х,Пхх,Пх<), фу = Ь(фх,Пхх,П^,Пху),
которые играют роль бездисперсионных пар Лакса [10] для уравнений (4). Чтобы вычислить псевдопотенциалы, мы вводим отрицательные времена^1, £~2,... ирассмат-риваем соответствующие отрицательные потоки иерархии.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА П« = (?(П11,П1<,ПХ!/)
В этом разделе показывается, как классификационные результаты работ [2] (см. также [3]) получаются с помощью предложенного в работах [6] метода гидродинамических редукций. Прежде всего, введя обозначения Пхх = а, Пц — Ь, Пху - с, Пц = (7(а, 6, с), перепишем наше уравнение в квазилинейном виде (5). Будем искать гидродинамические редукции в виде о = а(Яг,... ,Вп), Ь = Ь(Яг,..., Вп), с = с(Вг,... ,Вп), где римановы инварианты удовлетворяют уравнениям
в\ = У(В)Я1 щ = /Лед.
(6)
Подставляя их в (5), получаем
дф = Хгд{а, д{С = /хгдга
вместе с дисперсионным соотношением
(А*)2 = + ббА' + бс/х*. Условия коммутативности потоков (6) имеют вид (см. [11])
Ai-A i-¿-pi' 03 - [)
Дифференцируя дисперсионное соотношение и учитывая (7), находим выражения для dj А* в виде
djX' = AJ) (caaGc + СаЬСс(У + А') + GbbGcVV +
+ (Gac + ХСЬс)((Х)2 - Gbxj - Ga) + + ((A®)2 - GbV - Ga) Gac + GbcXj + ^((A*)2 - GbXj - G„) ).
Из условий совместности уравнений ^¿6 = и 9,с - цгд{а вытекает, что
(8)
= + ^r=~xJdja- (9)
Можно видеть, что условия совместности уравнений (8), т.е. d^djX1 — djdkX* = О, имеют вид PôjaOfcû = 0, где Р есть сложное рациональное выражение по А®, A-7, Afc, коэффициенты которого зависят от частных производных функции G(a, b, с) вплоть до третьего порядка (чтобы получить условия интегрируемости, достаточно рассмотреть трехкомпонентные редукции, полагая i = 1, j = 2, fc = 3). Требуя, чтобы Р тождественно обращалось в нуль, мы получаем выражения для всех частных производных G третьего порядка. Аналогично условия совместности уравнений (9), т.е. dk(didjd) — dj(did^a) = 0, принимают вид Sdiadjadka = 0, где снова S рационально по А', А-*, А*. Приравнивая S к нулю, мы получаем в точности те же условия, что и на предыдущем шаге. Полученное в результате множество условий интегрируемости выглядит следующим образом:
2 GacGCc 2GbcGcc
"ссс — > "асс — , I*Ьсс — ,
(_гс (_гс (_гс
r _ 2(?ас г _ 2GgçGbc _ 2G\C
"аас — ^ i abc — , 66с — ,
Сгс (_гс (_гс
2
G&66 = 7^2 (GbGbc + Gbc(GcGbb + 2Gac) - Gcc(GbGbb + 2Gaj,)),
G?'
2 2
^абь = (GaG(,c + Gac{GcGbb + Gac) — Gcc(GaGbb + Gaa)), 2
Gaaft = i^cc{GbGaa ~ 2GaGab) — Gac(GbGac — 2GcGab) —
— Gbc(GcGaa — 2GaGac)), 2
G2'
2 2 Gaaa = ^ ((Ga + Gb)Gac + GaGbc + Gc(Gab - GaaGbb)
заражения для
(8)
»ПО
(9)
- д;дкх = О,
е по А*,
достаточно 3). Требуя, для всех :овместности дка = 0, где в точности множество
— GccGbbG2a + GacGc{Gaa + 2(GaGbb - GbGab)) + |
+ 2 Gbc(Gb(GcGaa — GaGac) — GaGcGab) — ~ Gcc((Ga + G\)Gaa — 2GaGbGab)).
Эта система находится в инволюции, и ее общее решение зависит от 10 констант интегрирования (действительно, в любой точке ао, Ьо, можно произвольным образом задать значения функции G и ее частных производных вплоть до второго порядка). Интегрирование первых шести уравнений в (10) дает
G(a, b,c) = — ln(aa + flb + y + ec) + F(a, b). £
Подстановка этого анзаца в оставшиеся уравнения накладывает дальнейшие ограничения на функцию F (a, b):
Fbbb — 4 eFab — 2 eFbFbb — 0, Fabb — 2 eFaa — 2 eFaFbb = 0, Faab + 2eFbFaa - 4eFaFab = 0, Faaa — 2sFaFaa + 2FaaFbb — 2eFbFaa - 2F2b + + 4eFaFbFab ~ 2eF2Fbb = 0,
(11)
которые тождественно совпадают с ограничениями, полученными в работах [2]. Первое уравнение в (11) имеет общее решение ^
F = —jт](а) ~ ~ 1п0(а,6), 4е6»а = вьь,
(12)
подстановка которого в оставшиеся уравнения (11) и последующее интегрирование приводят, как показано в [2], к четырем существенно различным (под)случаям.
Это подтверждает, что используемый в работах [2] симметрийный подход дает все интегрируемые иерархии вида (1).
3. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ
Введем отрицательные времена £~2, ... и расширим иерархию (1) уравнениями
= Фп,-А:(По,-*;, По.-Jfc+l, • • • , ÎÎ00> ÎÎ01, - - • , i^On), = Ф-п,-*(По,-п-А:, ^0,-n-fc + l, ■ • ■ > Поо);
..m
в частности.
^1,-1 = $1,-1(^0,-1, Поо^м), ^2,-1 = $2,-1(^0.-1. ^00,^01 >^02)•
Используя обозначения = х, Ь1 = £2 = у, = г, Ф^-1 ^ С}, Фг,-1 = Ь, можно переписать эти уравнения в виде
П„х = ЦП
В терминах ф = fiz это дает псевдопотенциал
Фг =
фу = Ь(фх, Slxx,ilxt, ttxy)
для уравнения (4). Ниже будет показано, как можно получить явные выражения для обеих функций QvlL.
ЗАМЕЧАНИЕ. Иерархия уравнения Бойера-Финли [12]
= expfloo
может быть получена как результат простого вырождения В = С = 0, А = — 2 в первой канонической форме; первый коммутирующий поток этой иерархии есть
Пц = П02 - 2^01-
Получим сначала явный вид функции Q, применив метод гидродинамических редукций к уравнению
Qzt = Qi^xz, fixx, fixt)-
Введя обозначения fiIX = a, Clxt = b, Qxz = e, Q.zt = Q(e, a, b), можно переписать это уравнение в квазилинейной форме
at=bx, az = ех, bz = et = Q(e,a,b)x. (13)
Будем искать редукции в виде a = a(R1,... ,Rn), b = b(R1,..., Я"), e = e(R1,... ,Rn), где римановы инварианты удовлетворяют уравнениям
Rt = Xl(R)Rx, R\ = C(R)RX-Подставляя их в (13), получаем
dib = X1 did, die = С did вместе с дисперсионным соотношением
CX'^Qa+QbX'+QeC.
Как и ранее, условия коммутативности (7) приводят к выражениям для djX%
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.