научная статья по теме КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ (2 + 1)-МЕРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИЕРАРХИЙ Математика

Текст научной статьи на тему «КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ (2 + 1)-МЕРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИЕРАРХИЙ»

f. 661; G. Dunne,

In: Variational . Philadelphia: f er. II Nuovo • Cambridge Univ. --ianik. 3rd ed.

dynamics and Physics: Theory M.J. Ablowitz, 2003. P. 186; artex dynamics.

pb. A 2001. V. 34.

ry and Appli-

C. Gonera, J Lukierski,

S. Plyushchay. D. 1991. V. 43.

953; S. Ghosh. EX Mod. Phys. A.

D. R. Leadley,

Paris: Dunod, cat: Birkhäuser,

i, M. Loewe, Mod. Phys.

Ы. H. Fliehe, Сл. Duval. Un -xrerieur. These Ann. Inst. -. 1976. V. 25.

У

L. Martina,

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005

© 2005 г. Е.В. Ферапонтов*К. Р. Хуснутдинова*'*,

М.В. Павлов*

КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ (2 + 1)-МЕРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИЕРАРХИЙ

Исследуются (2+ 1)-мерные иерархии, ассоциированные с интегрируемыми дифференциальными уравнениями вида = Р(ПХх, П^к), которые обобщают иерархию беадисперсионного уравнения Кадомцева Петвиашвили. Интегрируемость понимается как существование бесконечного числа гидродинамических редукций.

Ключевые слова: интегрируемые иерархии типа иерархии безщисперсионного уравнения Ка-домцева-Петвиашвили, гидродинамические редукции, псевдопотенциалы.

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим функцию П бесконечного числа независимых переменных 41, ¿2, ..., которая удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) второго порядка

здесь

flnk = dt"dtkfl, п ^ 1, к ^ 1. Более подробно:

í^ll = $ll(ÍÍ00) ^01, ^02), П12 = $12(^00,^01,^02,^03), ^13 = $13(^00, ííoi, ^02, ÍÍ03, ÍÍ04), П22 = Ф22 (^00,^01,^02,^03,^04)

(1)

* Department of Mathematical Sciences, Loughborough University, Loughborough, Leicestershire LE11 3TU, UK. E-mail: E.V.Ferapontov@lboro.ac.uk, K.Khusnutdinova@lboro.ac.uk, M.V.Pavlov@lboro.ac.uk

t Центр нелинейных исследований, Институт теоретической физики им. JI. Д. Ландау, Москва, Россия

^Институт механики, Уфимское отделение РАН, 450025, ул. К. Маркса, 12, к. 6, Уфа, Россия

и т.д. Уравнения этого типа обобщают иерархию безщисперсионного уравнения Кадом-цева-Петвиашвили (КП)

Пц = П02 - 2^оси П12 = Поз — Поо^оъ

1 2

П13 = По4 — ^00^02 —

П22 = ^04 + дПдо — П00П02 ~ ^01

и т.д. Дополнительные примеры возникают при решении задачи Дирихле в многосвязных областях [1]. Условия совместности уравнений (1) накладывают жесткие ограничения на функции Фпк, означающие, в частности, что Фц однозначно определяет остальные функции Фпь [2], [3]. Сама функция Фц удовлетворяет сложной переопределенной системе ДУЧП третьего порядка (см. раздел 2, в котором мы заново выводим эту систему на основе метода гидродинамических редукций [4]-[7]). Ее общее решение может быть приведено к одной из четырех существенно различных канонических форм

Фи = П02 + ¿№>1 + 2БП0о)2 +

^=^++4К+4"°-+^+СеД/п"

фц = ^ + ^(Поо)Поь

1 п'оо

фц =1п^02 -1п01(ПО1,Поо) - - / ч(т)(1т,

см. [2]. Здесь т}(т) - решение уравнения Шази (см. [8])

г)'" + 2щ" = Зг)'2, (2)

которое может быть представлено в параметрической форме

г,(т) = ¿К(Я)[(2 - з2)Щз) - ЗВД, г =

где К(з) и Е(з) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно [9]. Тета-функция

оо

(г,г) = 2^(-1)пе-("+1/2)2т8т[(2п+1)г]

71 = 0

определяется как решение инволютивной системы

0,01 = -квъ дтвх = \{к2 - 1)въ

дгк = I, дгк = и*Р - 4пР - 8тЦ - ¡г," - ^Ы,

дя1 = Л/4Р _ 4_ 8т]Ч - I»,",

дт1 = I2 - VI - Г)' - 4Р - 4т}12 - &Т)>1 - 11)",

КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ (2 + 1)-МЕРНЫХ ИЕРАРХИЙ

37

: сравнения Кадом-

в многосвяз-ие ограниче-яет осталь-аеленной зьэоаим эту сис-:»5шение может *зи форм

(2)

роза, соответ-

(3)

где, как и ранее, ту - решение уравнения Шази (2). Подчеркнем, однако, что для работы с приведенными выше выражениями для функции Фц не нужны явные формулы для #1 и г)] что действительно необходимо, так это уравнения (2), (3).

Иерархия бездисперсионного уравнения КП соответствует простому вырождению первой канонической формы: А = —2В2, В О, С = 0. Аналогично иерархия модифицированного бездисперсионного уравнения КП

В2

Пи = Пог + ВП00П01 +

может быть получена при вырождении С = —2В2А~3, А 0 (вместе с подходящей линейной заменой переменной £2).

В разделе 2 мы сосредоточимся на первом уравнении

Пц = Фц(Поо,По1,Пог),

(4)

не делая дополнительных предположении относительно структуры высших потоков иерархии. Вводя обозначения = х, ^ = = у, Фц = С, Поо = о> П01 = Ь, П02 = с, перепишем (4) в квазилинейном виде

аь - Ьх,

Ьу = С{, Ьг = С(а,Ь, с)а

(5)

Применяя к (5) метод гидродинамических редукций (в духе работ [6]), мы придем к такой же системе ДУЧП для функции Фц, какая была получена в работах [2]. Это подтверждает, что симметрийный подход работ [2], основанный на уравнениях (1), дает полный список интегрируемых уравнений вида (4).

В разделе 3 рассматриваются скалярные псевдопотенциалы

■фь = <3(^х,Пхх,Пх<), фу = Ь(фх,Пхх,П^,Пху),

которые играют роль бездисперсионных пар Лакса [10] для уравнений (4). Чтобы вычислить псевдопотенциалы, мы вводим отрицательные времена^1, £~2,... ирассмат-риваем соответствующие отрицательные потоки иерархии.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА П« = (?(П11,П1<,ПХ!/)

В этом разделе показывается, как классификационные результаты работ [2] (см. также [3]) получаются с помощью предложенного в работах [6] метода гидродинамических редукций. Прежде всего, введя обозначения Пхх = а, Пц — Ь, Пху - с, Пц = (7(а, 6, с), перепишем наше уравнение в квазилинейном виде (5). Будем искать гидродинамические редукции в виде о = а(Яг,... ,Вп), Ь = Ь(Яг,..., Вп), с = с(Вг,... ,Вп), где римановы инварианты удовлетворяют уравнениям

в\ = У(В)Я1 щ = /Лед.

(6)

Подставляя их в (5), получаем

дф = Хгд{а, д{С = /хгдга

вместе с дисперсионным соотношением

(А*)2 = + ббА' + бс/х*. Условия коммутативности потоков (6) имеют вид (см. [11])

Ai-A i-¿-pi' 03 - [)

Дифференцируя дисперсионное соотношение и учитывая (7), находим выражения для dj А* в виде

djX' = AJ) (caaGc + СаЬСс(У + А') + GbbGcVV +

+ (Gac + ХСЬс)((Х)2 - Gbxj - Ga) + + ((A®)2 - GbV - Ga) Gac + GbcXj + ^((A*)2 - GbXj - G„) ).

Из условий совместности уравнений ^¿6 = и 9,с - цгд{а вытекает, что

(8)

= + ^r=~xJdja- (9)

Можно видеть, что условия совместности уравнений (8), т.е. d^djX1 — djdkX* = О, имеют вид PôjaOfcû = 0, где Р есть сложное рациональное выражение по А®, A-7, Afc, коэффициенты которого зависят от частных производных функции G(a, b, с) вплоть до третьего порядка (чтобы получить условия интегрируемости, достаточно рассмотреть трехкомпонентные редукции, полагая i = 1, j = 2, fc = 3). Требуя, чтобы Р тождественно обращалось в нуль, мы получаем выражения для всех частных производных G третьего порядка. Аналогично условия совместности уравнений (9), т.е. dk(didjd) — dj(did^a) = 0, принимают вид Sdiadjadka = 0, где снова S рационально по А', А-*, А*. Приравнивая S к нулю, мы получаем в точности те же условия, что и на предыдущем шаге. Полученное в результате множество условий интегрируемости выглядит следующим образом:

2 GacGCc 2GbcGcc

"ссс — > "асс — , I*Ьсс — ,

(_гс (_гс (_гс

r _ 2(?ас г _ 2GgçGbc _ 2G\C

"аас — ^ i abc — , 66с — ,

Сгс (_гс (_гс

2

G&66 = 7^2 (GbGbc + Gbc(GcGbb + 2Gac) - Gcc(GbGbb + 2Gaj,)),

G?'

2 2

^абь = (GaG(,c + Gac{GcGbb + Gac) — Gcc(GaGbb + Gaa)), 2

Gaaft = i^cc{GbGaa ~ 2GaGab) — Gac(GbGac — 2GcGab) —

— Gbc(GcGaa — 2GaGac)), 2

G2'

2 2 Gaaa = ^ ((Ga + Gb)Gac + GaGbc + Gc(Gab - GaaGbb)

заражения для

(8)

»ПО

(9)

- д;дкх = О,

е по А*,

достаточно 3). Требуя, для всех :овместности дка = 0, где в точности множество

— GccGbbG2a + GacGc{Gaa + 2(GaGbb - GbGab)) + |

+ 2 Gbc(Gb(GcGaa — GaGac) — GaGcGab) — ~ Gcc((Ga + G\)Gaa — 2GaGbGab)).

Эта система находится в инволюции, и ее общее решение зависит от 10 констант интегрирования (действительно, в любой точке ао, Ьо, можно произвольным образом задать значения функции G и ее частных производных вплоть до второго порядка). Интегрирование первых шести уравнений в (10) дает

G(a, b,c) = — ln(aa + flb + y + ec) + F(a, b). £

Подстановка этого анзаца в оставшиеся уравнения накладывает дальнейшие ограничения на функцию F (a, b):

Fbbb — 4 eFab — 2 eFbFbb — 0, Fabb — 2 eFaa — 2 eFaFbb = 0, Faab + 2eFbFaa - 4eFaFab = 0, Faaa — 2sFaFaa + 2FaaFbb — 2eFbFaa - 2F2b + + 4eFaFbFab ~ 2eF2Fbb = 0,

(11)

которые тождественно совпадают с ограничениями, полученными в работах [2]. Первое уравнение в (11) имеет общее решение ^

F = —jт](а) ~ ~ 1п0(а,6), 4е6»а = вьь,

(12)

подстановка которого в оставшиеся уравнения (11) и последующее интегрирование приводят, как показано в [2], к четырем существенно различным (под)случаям.

Это подтверждает, что используемый в работах [2] симметрийный подход дает все интегрируемые иерархии вида (1).

3. ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ

Введем отрицательные времена £~2, ... и расширим иерархию (1) уравнениями

= Фп,-А:(По,-*;, По.-Jfc+l, • • • , ÎÎ00> ÎÎ01, - - • , i^On), = Ф-п,-*(По,-п-А:, ^0,-n-fc + l, ■ • ■ > Поо);

..m

в частности.

^1,-1 = $1,-1(^0,-1, Поо^м), ^2,-1 = $2,-1(^0.-1. ^00,^01 >^02)•

Используя обозначения = х, Ь1 = £2 = у, = г, Ф^-1 ^ С}, Фг,-1 = Ь, можно переписать эти уравнения в виде

П„х = ЦП

В терминах ф = fiz это дает псевдопотенциал

Фг =

фу = Ь(фх, Slxx,ilxt, ttxy)

для уравнения (4). Ниже будет показано, как можно получить явные выражения для обеих функций QvlL.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иерархия уравнения Бойера-Финли [12]

= expfloo

может быть получена как результат простого вырождения В = С = 0, А = — 2 в первой канонической форме; первый коммутирующий поток этой иерархии есть

Пц = П02 - 2^01-

Получим сначала явный вид функции Q, применив метод гидродинамических редукций к уравнению

Qzt = Qi^xz, fixx, fixt)-

Введя обозначения fiIX = a, Clxt = b, Qxz = e, Q.zt = Q(e, a, b), можно переписать это уравнение в квазилинейной форме

at=bx, az = ех, bz = et = Q(e,a,b)x. (13)

Будем искать редукции в виде a = a(R1,... ,Rn), b = b(R1,..., Я"), e = e(R1,... ,Rn), где римановы инварианты удовлетворяют уравнениям

Rt = Xl(R)Rx, R\ = C(R)RX-Подставляя их в (13), получаем

dib = X1 did, die = С did вместе с дисперсионным соотношением

CX'^Qa+QbX'+QeC.

Как и ранее, условия коммутативности (7) приводят к выражениям для djX%

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»