ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 6, с. 908-916
УДК 536.529
КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В УСЛОВИЯХ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
© 2004 г. В. М. Алипченков*, Л. И. Зайчик*, О. Ф. Петров**
*Институт высоких температур РАН, Москва **Институт теплофизики экстремальных состояний РАН, Москва Поступила в редакцию 09.03.2004 г.
Представлена статистическая модель образования упорядоченных структур (кластеров) в однородном изотропном турбулентном поле. Предлагаемая модель основана на кинетическом уравнении для функции плотности вероятности относительной скорости пары частиц. Рассмотрено решение задачи для стационарной разреженной системы дисперсных частиц с учетом парного взаимодействия.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические расчеты и экспериментальные исследования, например [1-7], свидетельствуют, что при определенных условиях в плазме с макрочастицами (так называемой пылевой плазме) формируются упорядоченные группы частиц (кластеры), подобные структурам в жидкости или твердом теле. Кластеризация обусловлена сильной корреляцией частиц при одновременном их взаимодействии с электронами и ионами окружающей плазмы. Электроны и ионы при этом могут быть идеальным газом, как и в дебаевской плазме. Возникновение кластеров заряженных частиц облегчается в условиях микрогравитации, когда сила тяжести не препятствует образованию квазиоднородных и изотропных пространственных структур. До сих пор явление формирования упорядоченных групп заряженных частиц в плазме изучалось в ламинарных потоках при отсутствии вихревых турбулентных структур.
С другой стороны, результаты прямого численного моделирования и теоретического анализа [8-20] показывают, что в турбулентных потоках может иметь место явление аккумулирования (кластеризации) незаряженных частиц в результате их взаимодействия с мелкомасштабными вихревыми структурами. Эффект аккумулирования проявляется как тенденция к концентрированию частиц в областях малой завихренности вследствие действия центробежной силы и отклонения траекторий частиц из-за их инерционности от линий тока несущей сплошной среды. В [18-20] явление аккумулирования интерпретируется как результат миграции частиц под действием силы турбофореза, перемещающей частицы из области с высокой степенью турбулентности в низкотурбулентную зону. Таким образом, несмотря на стохастическую природу турбулентности, распределение инерционных частиц в турбулентных потоках не является случайным. Кластеризация
частиц может приводить к заметному возрастанию как скорости их осаждения [9], так и ядер столкновений и коагуляции [11, 12, 21, 22] в однородной турбулентности. Наиболее явственно кластеризация проявляется при совпадении времени динамической релаксации частиц и временного колмого-ровского микромасштаба турбулентности.
В настоящей статье дана постановка задачи о кластеризации заряженных частиц в однородной изотропной турбулентности. Для решения данной задачи привлекается подход, основанный на кинетическом уравнении для функции плотности вероятности (ФПВ) относительной скорости двух частиц [18-20]. С этой целью предложенные в [18-20] модели для описания явления кластеризации невзаимодействующих частиц в турбулентном потоке обобщаются на случай заряженных взаимодействующих частиц.
Математическая модель. Рассмотрим движение двух выделенных одинаково заряженных частиц в изотропном турбулентном поле при отсутствии силы тяжести. Уравнения, описывающие движение каждой из частиц, имеют вид
й К
ра
йг
= V
ра
(1)
й Vра _ и(Кра, г) vра
йг Т р
- ^ХФ(|X!- Х2|) X
Х8(X!- Кр! )8(Х2- Кр2) - ХУхаф(|Ха - Хр|) X (2)
в = 3
X 8(Ха - Кра)8(Хр - КрР),
где Кр и vp - координата и скорость частицы, и(Кр, г) - скорость сплошной среды в точке х = Кр(г), Тр -время динамической релаксации частицы, 8 -дельта-функция Дирака. Здесь а = 1, 2 обозначает выделенные частицы, а Р = 3, ..., В - все ос-
В
тальные частицы в рассматриваемой системе, включающей В частиц. Величина ф в (2) определяет потенциал силы кулоновского отталкивания двух частиц с учетом экранирования за счет взаимодействия с электронами и ионами окружающей плазмы. При этом предполагается, что сила электрического взаимодействия зависит только от расстояния между частицами. Члены в правой части (2) описывают соответственно межфазную силу вязкого сопротивления и электрическое взаимодействие рассматриваемой частицы с другой выделенной частицей и со всеми остальными частицами. Следует отметить, что уравнения (1) и (2) записаны в приближении тяжелых точечных частиц, т.е. справедливы для частиц, плотность которых много больше плотности сплошной среды (в этом случае единственной существенной межфазной силой является сила вязкого сопротивления), а размер не превышает колмогоровский пространственный микромасштаб.
С целью перехода от стохастических уравнений (1) и (2) к статистическому описанию распределений скоростей частиц определяется двухточечная двухчастичная ФПВ
^22^1, VI, Х2, У2, г) = <Р22) = = <8(Х1- Кр1(г)) 501 - V Р1(г)) х х5(х2- К р2(г)) 8^2- V р2(г))).
(3)
дР
22
+ ^,
дР
22
дг 1к дх1к 2к дх2к
'( У - у 1 к _ дф(| Х1 - Х2 | ) -V тр дх1к
/Ц - V2к дф(|Х1- Х2|)
дР
22
+
д
д -1 к д
д
V■
2к
22
+
дх
2к
22
(4)
-я
дф(|Х1 - Х3) дРз2 + дф(|Х2 - Хэ|) дРз2
дх
1к
дv
1к
дх
2к
д—
2к
йХ3 =
1 Гд<и'кР22) , д<и'кР22)
+
д — 1к д- 2к
Здесь V - объем, приходящийся на одну частицу. При получении (4) скорость турбулентного потока представлялась в виде суммы осредненной
и пульсационной составляющих щ = Ц + и,-, а
— 2
флуктуации силы электрического взаимодействия не принимались во внимание. Кроме того, использовалось то обстоятельство, что все частицы одинаковы, и рассматривался предел В —► Величина Р32 представляет собой трехточечную двухскоростную ФПВ, определяемую как
Рз2(Х1, V!, Х2, V2, Х3, г) = = <( 8(Х1- Кр1(г)) 8(V1- V р1(г)) х
х 8(Х2 - Кр2(г)) 5^2 - V р2(г)) 8(Хз - Крз(г))).
Перейдем к координатам, связанным с движением двух частиц в целом и их относительным движением,
Х1 + Х2
Х=
Г1 + Г 2
Г = Х2 - Х,, Г = —=—, w = v2 - v1.
2 ' 21 2 В новых координатах уравнение (4) примет вид
дг
дР22 дР22 дР + ^ 3— + ™к
22
к
дг,
к
+
IV,
д
( У к--к 1-1 Тр '
1 дф (г)
2 дхк
22
+
-2 дф(Г)) Р -2 д Гк J
22
(5)
Двухточечная двухскоростная ФПВ вводится в результате осреднения по ансамблю случайных реализаций поля скорости турбулентного несущего потока как вероятность в момент времени г частицы 1 находиться в точке х1 со скоростью v1, а частицы 2 находиться в точке х2 со скоростью v2. Дифференцируя (3) по времени с учетом (1) и (2), получаем транспортное уравнение для двухчастичной ФПВ
--я
дф(|Х2- Хз|) дф(|Х1- Х^)-
дх
2к
дх
1к
дР
з2
йХз =
дм>к
1 Гд<Щкр22) . д<АЩкр22)
д- к
дwk
Здесь г = |г| и Ащ = щ(Кр2, г) - щ(Кр1, г) - инкремент скоростей в двух точках, в которых расположены частицы. Инкремент скоростей также представляется в виде осредненной и пульсационной составляющих Ащ = АUi + Аи-.
Проинтегрируем уравнение (5) по V, чтобы получить кинетическое уравнение для ФПВ, описывающей относительное движение двух частиц,
Р2^(г, w, г) = <8(г - гр(г)) 8(w - wр(г))),
где гр = Кр2 - Кр1 - расстояние между частицами, wp = vp2 - vp1 - относительная скорость.
В результате интегрирования с учетом однородности всех распределений получаем
дР2
дг
+ ^к ■
дР2
дгк д wl
7 Аик-м>к 2 д ф ( г Г Р
.1 т р дгк 1 2 и
-Я
дф(|Х2- Хз|) дф(|Х1- Хз|)"
дх
2к
дх
1к
дР
з^
йХз = (6)
д
д
р
= 1 д ( А ык р 2 ¿> тр д1л>к '
где
Рз№(Х1, Х2, Хз, w, г) = Рз„(г, Х1 - Хз, Х - Хз, w, г) = = (8(Х1- Кр1(г)) 8(Х2- Кр2(г)) х X 8(Хз - Крз(г)) 8(w - w р(г)) >.
Для определения корреляции (Аик р2„>, описывающей взаимодействие пары частиц с турбулентностью, используется функциональный формализм [18-20], основанный на моделировании инкремента скоростей сплошной среды случайным гауссовым процессом и привлечении формулы Фурутцу-Новикова. Тогда корреляция между инкрементом пульсаций скоростей сплошной среды и плотностью вероятности относительной скорости пары частиц представляется в виде [20]
ся экспоненциальной зависимостью х¥1г = ехр(-Т/ТЬг), то коэффициенты вовлечения равны
/г =
/г 1 =
Ьг
Ьг
Т р + ТЬг
Т р (Т р + Тьг)
(8)
Ьг
12 (Т р + Тьг)
и =
Ьг
"р ' -1 ьг; Тр(тр + ТЬг)
Проинтегрировав кинетическое уравнение (6) с учетом (7) по подпространству w, получим систему уравнений для статистических моментов
эг . эг
дг + дгк
= 0,
(9)
дБ
дщ +
дг дгк дгк Тр Тр дгк
р-к + Аи- - 2£рРЭ1пГ
-2 Эф (г) 1 гр 2 Эг - ГУJ
Эф(|Х2- Хз|) Эф(|Х1- Х^)-
(А ' > Т дР2А
(Аир2К) = - г+ ТрЯг^ J
+ X
дХ2к дЯ„
дг
+А ик эг: +
дБ- дБ^дР.
2 ж
дгк Jдwi Тр1гБк
ЭА и: дР
(7)
дг
р¡- + +
Э*1 к 1 дГБр 1
(10) йХз,
Эгк Г дгк
+
Э^1
+/,
^ЭБ;; г т Э5-
дг к дгк дгк
кк
дW¡
- (Бр-к + 8гЯ-к)~рРГ + 1гI
= -(Бр;к + §гБ;к)-
ЭА и; „ ЭА и л (11)
Эгк 1гГ; к Эгк
+ _ (;-- Бр;-),
! + Б;
-к
дгр J
+
где
-) = (А и' Аи - > = = ((и,(х + г, г) - и,<Х, г))(и-(х + г, г) - и-(х, г) )>,
Б;-к(г) = (Аи'Аи-Аи'к> = ((и¡'(х + г, г)-и'(х, г))х X (и-(х + г, г) - и'(х, г))(ик(х + г, г) - ик(х, г)),
/г = Т- Кг(Т)ехрГ-;ТР1 йТ, я = ^ - /г , Тр Тр Тр
0
/г1 = ^ [ТЬг(Т)Т еХР (-:ТР 1йТ, 1г = Яг - Л 1 • Тр Тр
р0
Здесь Б- и Б- - эйлеровы двухточечные структурные функции второго и третьего порядка. Величина ТЬг(Т|г) обозначает лагранжеву автокорреляционную функцию инкремента пульсаций скорости сплошной среды в двух точках, находящихся на (бинарная коррелятивная функция), Wi - осред-расстоянии г = |г|. Коэффициенты/г, яг,/г1, 1г харак- ненная относительная скорость пары частиц, теризуют вовлечение пары частиц, находящихся и 5р;-к - структурные функции пульсаций скоростей
частиц второго и третьего порядка, - трехчас-тичная коррелятивная функция. Для замыкания системы уравнений (9)—(11) необходимо опреде-ный временной масштаб инкремента пульсаций лить двухточечную двухчастичную структурную скоростей в двух точках, разделенных расстоя- функцию третьего порядка и трехточечную нием г. Если автокорреляционная функция задает- трехчастичную коррелятивную функцию
Г = |P2wйw, Wi = Г|,
Бри = (ж'М>)> =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.