МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2013
УДК 539.374
© 2013 г. С. Е. АЛЕКСАНДРОВ, Е. А. ЛЯМИНА
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ СЖАТИИ СЛОЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА МЕЖДУ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Для некоторых моделей жесткопластических тел поля скорости получаются сингулярными вблизи поверхностей максимального трения. В частности, эквивалентная скорость деформации (второй инвариант тензора скорости деформации) стремится к бесконечности при приближении к таким поверхностям трения. Коэффициент при главном сингулярном члене в разложении эквивалентной скорости деформации в ряд в окрестности поверхностей максимального трения называется коэффициентом интенсивности скорости деформации. Этот коэффициент входит в некоторые модели предсказания развития слоев интенсивных пластических деформаций вблизи поверхностей трения, а также в уравнения, описывающие изменение структуры материала в таких слоях. В публикуемой работе строится решение для сжатия слоя пластического материала, подчиняющегося модели двойного сдвига, между цилиндрическими поверхностями, на каждой из которых действует закон максимального трения. Вычисляются и анализируются зависимости двух коэффициентов интенсивности скорости деформации от параметров материала и процесса.
Ключевые слова: трение, коэффициент интенсивности скорости деформации, слои интенсивной пластической деформации, модель двойного сдвига, аналитическое решение.
Коэффициент интенсивности скорости деформации введен в [1] как коэффициент при главном сингулярном члене в разложении в ряд эквивалентной скорости деформации в окрестности поверхности максимального трения. В [1] рассматривается модель идеального жесткопластического материала, подчиняющегося произвольному гладкому условию текучести и ассоциированному закону течения. Поверхность максимального трения в этом случае определяется условием, что удельные силы трения при проскальзывании равны пределу текучести при чистом сдвиге. Возможность введения коэффициента интенсивности скорости деформации для некоторых более сложных моделей материалов показана в [2—6]. В частности, в [2] рассматривается модель двойного сдвига, предложенная в [7]. Эта модель основана на условии текучести Кулона—Мора и, таким образом, учитывает влияние среднего напряжения на пластическое течение. Обзор таких моделей представлен в [8]. Несмотря на то, что большинство из них изначально предложены для гранулированных и им подобных материалов, зависимость условия текучести от среднего напряжения характерна и для некоторых традиционных металлов [9—11]. При использовании коэффициента интенсивности скорости деформации в прикладных исследованиях, например [12—14], предполагается, в основном, что рассматриваются именно такие материалы. В частности, в [14] предлагается теория для предсказания толщины слоя интенсивных пластических де-
Фиг. 1
формаций, который возникает вблизи поверхностей трения в процессах обработки металлов давлением [15, 16]. Обзор коэффициентов интенсивности скорости деформации для идеально жесткопластических материалов приведен в [17]. Особое значение для развития теорий [12—14] представляют процессы деформирования, в которых имеются две поверхности максимального трения. В этом случае можно выполнить сравнительный анализ влияния коэффициента интенсивности скорости деформации на параметры слоя интенсивных пластических деформаций вблизи двух поверхностей трения без точной зависимости между этими параметрами и величиной коэффициента интенсивности скорости деформации. Коэффициенты интенсивности скорости деформации в некоторых таких процессах деформирования определены в [18—20]. Причем, в [18] принимается модель двойного сдвига [7], а в [19, 20] — модель идеального жесткопластического тела. В публикуемой работе получено обобщение решения [20] на модель двойного сдвига и установлено влияние параметров модели и процесса на величину коэффициентов интенсивности скорости деформации.
Рассмотрим сжатие пластического материала в условиях плоской деформации между двумя шероховатыми поверхностями, которые имеют вид концентрических круговых цилиндров. Радиус внешнего цилиндра В^ считается неизменным, а радиус внутреннего цилиндра Д увеличивается со скоростью и. Таким образом,
йЯх\ Ш = и (1)
Здесь ? — время. Удобно ввести цилиндрическую систему координат (г9г), ось I которой ортогональна плоскости течения. Начало системы координат г 0 поместим в общем центре двух цилиндрических поверхностей. Тогда эти поверхности определяются уравнениями г = Д и г = Боковые поверхности слоя зададим уравнениями 9 = ±9о. Геометрическая схема процесса показана на фиг. 1. Ввиду симметрии достаточно рассмотреть область 0 > 0. Компоненты тензора напряжения обозначим стгг, Оее и агд, а компоненты вектора скорости — иг и и0.
Очевидно, что сформулированная краевая задача является некоторым обобщением задачи Прандтля о сжатии слоя пластического материала между параллельными шероховатыми плитами [21]. В частности, в приближенном решении, которое приведено
ниже, не могут быть точно удовлетворены краевые условия при 0 = 0 и 9 = 90. Эти условия заменяются соответствующими интегральными условиями вида
к2
| Ие|0=о Лг = 0 (2)
А
>=Оо
= 0 (3)
Ri
Остальные кинематические краевые условия, которые будут удовлетворены точно, имеют формы
ur = 0, r = R2 (4)
ur = U, r = Ri (5)
Статические краевые условия состоят из двух законов максимального трения на поверхностях r = Ri и r = R2. Для модели двойного сдвига этот закон устанавливает, что при проскальзывании поверхность трения совпадает с характеристикой или огибающей семейства характеристик. Пусть у — угол наклона максимального главного напряжения d к оси r, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки. Известно [7], что характеристические направления составляют углы ±(я/4 + ф/2) с направлением максимального главного напряжения. Здесь ф — угол внутреннего трения, входящий в условие текучести Кулона—Мора, которое можно представить в виде
q - p sin ф = k cos ф (6)
где k — коэффициент сцепления и
Г 2 2 ~|1/2
p = -1/2 (оrr + ^ее), q = 1/2 - o00) + 4^9 J > 0 (7)
Компоненты тензора напряжения выражаются через p, q и у как
arr = -p + q cos 2^, agg = -p - q cos 2^, are = q sin 2^ (8)
При сближении плит материал выдавливается в положительном направлении координаты 0 (фиг. 1). Поэтому are > 0 в окрестности поверхности трения r = Ri и are < 0 в окрестности поверхности трения r = R2. Тогда из (7) и (8) следует, что
0 < у w < п/2, я/2 < у f < п (9)
Здесь у w — значение у при r = Ri и уf — значение у при r = R2. В рассматриваемом случае поверхности максимального трения совпадают с линиями r = const. На фиг. 2 характеристические направления показаны штриховыми линиями, а произвольная поверхность трения обозначена £. Положим, что поверхность £ совпадает с поверхностью r = Ri. Если характеристическое направление 1 совпадает с касательной к £, то из фиг. 2 видно, что у w = - я/ 4 + ф/2. Это предположение противоречит (9). Полагая, что характеристическое направление 2 совпадает с касательной к £, найдем краевое условие максимального трения в виде (фиг. 2):
у = уw = я/4 - ф/2, r = Ri (10)
R
2
п/4 + ф/2
Фиг. 2
2
r
1
Положим теперь, что поверхность £ совпадает с поверхностью г = Rj. Выполняя такой же анализ, как в случае поверхности г = Rj, получим те же возможные значения угла ^ при г = Rj, т.е. у f = п/4 - ф/2 или у f = -п/4 + ф/2. Ни одно из этих значений угла не попадает в интервал (9). Однако выбор этих интервалов содержит определенный несущественный произвол, связанный с периодичностью тригонометрических функций. В частности, к определенным значениям угла у f можно добавить п. Тогда второе условие максимального трения примет форму
v = v f = 3п/4 + ф/2, г = R2 (11)
Естественно считать, что в большей области сечения слоя с00 > агг. Тогда из (8) следует, что интервал изменения угла у следующий:
Vw <V<Vf (12)
Основное предположение при получении приближенного решения полуобратным методом, использованное в [20], состоит в том, что угол у не зависит от 0. В частности, это предположение согласуется с краевыми условиями (10) и (11). Уравнения равновесия имеют вид
дргг + г е + °гг - Рее = 0 дргв + дрее + 2ргв = 0 (13)
дг гдв г дг гдв г
Так как у не зависит от 0, то, подставляя (8) в (13) и исключаяp с помощью (6), получим
(cos2y sinф- 1)д lnq , д lnq , . , dw 2cos2w „
i-^-- + sin2w--- 2sin2w—L +-— = 0
sin ф дг г д9 dг г
Г \ (14)
(cos2w sin ф + 1)д ln q , д ln q , , d w 2sin2w _
—--- + sin2w-- + 2cos2y —- +-— = 0
sin ф г д9 дг dг г
-2
-4
-6
-8
-10 A
R1/R2 1.8 2.0
Фиг. 3
Исключая из этих уравнений производную д ln q/дr, найдем
cos2 фдlnq , ~ . ,xdw 2sin2^ Л
----- + 2(cos 2^- sin ф)) +-- = 0
sin ф rdG dr r
Так как у не зависит от 0, то первый член этого уравнения также не может зависеть от 0. Поэтому, уравнение (15) распадается на два уравнения в форме
(15)
ln ( q ) = Мзшф 0 + q )
\kj cos ф
r (cos 2у - sin ф) — = A - sin 2y dr
(16)
(17)
Здесь A — произвольная постоянная и Q (у) — произвольная функция от у.
Уравнение (17) может быть проинтегрировано в элементарных функциях. Однако, удобнее записать его решение, удовлетворяющее краевому условию (10), в виде
r _ г (cos2Z- sin ф) \ _ J (A - sin2Z) d
Подстановка краевого условия (11) в (18) дает уравнение для определения A:
ln
Ri
v f = f
(cos2Z - sin ф) (A - sin 2Z)
d Z
(18)
(19)
Численное решение этого уравнения иллюстрируется на фиг. 3. Штриховая линия соответствует материалу, условие текучести которого не зависит от среднего напряжения. Сплошная линия 1 соответствует ф = 0.1, линия 2 — ф = 0.2, и линия 3 — ф = 0.3. Подставляя (16) и (17) во второе уравнение системы (14) и переходя от дифференцирования по г к дифференцированию по у с помощью (17), получим уравнение для определения функции Q (у):
dQ/ dy = 2Qi (^) / Q2 (^)
Q1 (у) = A (cos 2у sin ф + 1) (cos 2у - sin ф) -
- cos2y cos2 ф (A - sin 2у) - sin2y cos2 ф (cos 2у - sin ф)
Q2 (у) = (A - sin 2у) sin 2у cos2 ф
(20)
v
w
Интегрирование здесь может быть выполнено в элементарных функция
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.