МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. С.Е. АЛЕКСАНДРОВ, Е.А. ЛЯМИНА
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ТЕЧЕНИИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ МАССЫ МЕЖДУ ДВУМЯ КОНИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Концепция коэффициента интенсивности скорости деформации была введена в [1], где получено асимптотическое разложение поля скорости в идеальножесткопластическом материале вблизи поверхности максимального трения, которая определяется условием, что на ней удельные силы трения равны пределу текучести при чистом сдвиге. В частности, в этой работе было показано, что эквивалентная скорость деформации (второй инвариант тензора скорости деформации) стремится к бесконечности вблизи поверхности максимального трения обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до этой поверхности. Отметим, что для случая плоского течения такой же результат был получен в [2]. Коэффициентом интенсивности скорости деформации называется коэффициент при главном сингулярном числе разложения эквивалентной скорости деформации в ряд вблизи поверхности максимального трения. В [3] показано, что существует достаточно полная формальная аналогия между коэффициентом интенсивности скорости деформации и коэффициентом интенсивности напряжений в механике трещин [4]. В [5] предложен метод использования концепции коэффициента интенсивности скорости деформации для оценки толщины слоя вблизи поверхности трения, в котором необходимо учитывать эффекты вязкости (т.е. это слой интенсивной деформации, который формируется вследствие очень высокой эквивалентной скорости деформации). Поэтому вычисление величины коэффициента интенсивности скорости деформации в конкретных процессах является актуальной задачей для развития общей концепции основанной на применении коэффициента интенсивности скорости деформации и ее приложений в теории процессов обработки металлов давлением. Эти коэффициенты уже были вычислены для ряда процессов, таких как плоские осадка и вытяжка [3]. В публикуемой работе вычисляется распределение коэффициента интенсивности скорости деформации в процессе течения пластической массы через бесконечный сходящийся канал, образованный двумя коническими поверхностями, на которых действует закон максимального трения (фиг. 1). Особенностью этой задачи является наличие двух поверхностей максимального трения и, соответственно, двух распределений коэффициента интенсивности скорости деформации. Поскольку в соответствии с теорией [5] коэффициент интенсивности скорости деформации связан с толщиной слоя интенсивных деформаций вблизи поверхности трения, то решение данной задачи может служить отправной точкой для экспериментального подтверждения теории. Отметим, что толщина слоя интенсивной деформации определяется экспериментально без принципиальных трудностей [6, 7], а течение в бесконечном канале рассматриваемой формы может успешно моделировать процесс вытяжки труб [8].
0!"
оре = k
Фиг. 1
Для решения поставленной задачи можно использовать известное решение, описывающее течение пластической массы в коническом канале, полученное в [9, 10]. Материал предполагается идеальножесткопластическим, подчиняющимся условию текучести Мизеса и ассоциированному закону течения. В сферической системе координат (р9ф) решение для напряжений имеет вид [9]:
е
о,
-73k(1- т2)1/2 = k(A - clnp) -3k Jxde, оре = kT
ее
фф
рр
(1)
Здесь Орр, оее, офф, Оре - компоненты тензора напряжения, к - постоянный предел текучести при чистом сдвиге, А и с - произвольные постоянные, е0 - угол раствора внутреннего конуса, т - функция е, определяемая уравнением
dx / de + т ctg е + 2V3( 1- т2 )1/2 = c
(2)
Учитывая направление движения материала и представление касательного напряжения в форме (1), из закона максимального трения следует
т = -1 при е = е0
(3)
(4)
т = 1 при е = е1
Здесь е1 - угол раствора внешнего конуса (фиг. 1). Решение уравнения (2) при краевых условиях (3) и (4) определяет функцию т и постоянную с.
Предполагается, что отлична от нуля только радиальная проекция вектора скорости и ее значение определяется следующим образом [9]:
B
up = —exp Р
-273 J т( 1- т2)
2,-1/2
de
(5)
е
0
е
Здесь В - отрицательная постоянная. В частности, из этого выражения можно найти сдвиговую скорость деформации
^ре - —
73 в
3 2 1/2
р (1- т2)
exp
-273 J т( 1- т2)1/2 de
(6)
Отсюда видно, что ^ «> при приближении к поверхностям трения, на которых т = ±1, как и следует из общей теории [1]. Кроме того, так как все компоненты тензора скорости деформации, за исключением конечны и эквивалентная скорость деформации
определяется уравнением ^ = Л/(3/2)^Д'''', то вблизи поверхностей трения = 73 |^ре|. Тогда, используя (6), можно найти 3В
^e
^eq
72 р3( 1 + т)1/2
3в
при е^е0 е
72р3 (1- т)
1/2
exp
-2
73 |т( 1- т2)1/2 de
е
при е^е!
(7)
(8)
Принимая во внимание (2), распределение т вблизи поверхностей трения может быть представлено в форме
т» -1 + (c + ctgе0)(е - е0) при е^е0 т» 1 + (ctgе^ c)(е!- е) при е^е!
Подставляя (9) в (7), а (10) в (8), получим
^eq
3в
72 р3( С + ctg е0)1/2 (е - е0/
3в
при е^е0
eq
72р3 (С -ctg ех) 1/2(е1- е)
1/2
exp
-273 |т( 1- т2)1/2 de
(9) (10)
(11) (12)
при е ^ е1. Из последнего уравнения следует, в частности, что должно выполняться неравенство c > ctg е1. Из (11) и (12) определяются коэффициенты интенсивности скорости деформации в виде
K 0 — 31B / (72 р5/2( c + ctg е0)1/2) (13)
на поверхности трения е = е0 и
K1 — --
3в
72 р5/2 (c -ctg е1)
1/2
exp
-273 |т( 1- т2) 1/2de
(14)
на поверхности трения е = е1.
Теория, развития в [5], предсказывает, что для класса материалов толщина слоя интенсивных деформаций пропорциональна коэффициенту интенсивности скорости деформации в квадрате. Поэтому
— (K0/K )2
(15)
е
U
е
0
е
0
Фиг. 2
Здесь Ь0 - толщина слоя интенсивных деформаций вблизи поверхности 0 = 90 и Ьх -толщина слоя интенсивных деформаций вблизи поверхности 0 = Подставляя (13) и (14) в (15), получим
I = т0
( с - ctg 9 1 ) (с + ctg (9 0 )
exp
4^3 Jx( 1- т2)
2,-1/2
d9
(16)
Используя эту формулу и экспериментальные данные о толщине слоев интенсивных деформаций вблизи поверхностей трения при вытяжке труб, можно проверить теорию, развитую в [5]. Для численного интегрирования, уравнение (16), с учетом (2), удобнее переписать в виде
, (с -ctg 9i)
l = т-тттехр
(с + ctg 9о)
J
1 (1- т2)1/2[с - тctg9 -273(1 - т2)1/2
-dT
(17)
В уравнении (2) также удобнее считать, что независимой переменной является 0.
Величина с, определенная при численном решении уравнения (2), показана на фиг. 2 в зависимости от угла 01 при фиксированных величинах угла 0О (кривая 1 соответствует углу 0О = 10°, кривая 2 - углу 0О = 20°, кривая 3 - углу 0О = 30°, кривая 4 - углу
00 = 40°). Зная эту величину и расход материала, который определяет постоянную В, из (13) и (14) можно найти величины коэффициентов интенсивности скорости деформации, а из (17) - величину I. Зависимость величины I от угла 0! при фиксированных величинах угла 0О иллюстрируется на фиг. 3 (кривая 1 соответствует углу 0О = 10°, кривая 2 - углу 0О = 20°, кривая 3 - углу 0О = 30°, кривая 4 - углу 0О = 40°). Интересно отметить, что все кривые достигают минимума при некотором значении 01. Кроме того, на большей части исследованного интервала значений 0: выполняется неравенство
1 > 1, которое в соответствии с теорией [5] означает, что в этой области толщина слоя интенсивных деформаций вблизи поверхности внутреннего конуса больше, чем вблизи поверхности внешнего конуса.
Преимуществом полученного решения для коэффициентов интенсивности скорости деформации по сравнению с другими известными решениями [3] является возможность вычислить два разных коэффициента в одном процессе. Благодаря этому величина I, которая может быть определена экспериментально, содержит намного меньше
9
о
Фиг. 3
входных параметров, чем сами коэффициенты интенсивности деформации K0 и Kx и, следовательно, толщины слоев интенсивной деформации L0 и Ly
Работа выполнена при финансовой поддержке проектов ИНТАС (04-83-2723) и РФФИ (проект 05-01-00153), МК (4544.2006.1), НШ (4472.2006.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Alexandrov S, Richmond O. Singular plastic flow fields near surfaces of maximum friction stress // Int J. Non-Linear Mech. 2001. V. 36. < 1. P. 1-11.
2. Соколовский B.B. Об уравнениях пластического течения в пограничном слое // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 3. С. 328-334.
3. Alexandrov S. Interrelation between constitutive laws and fracture criteria in the vicinity of friction surfaces. In: Physical Aspects of Fracture (eds. E. Bouchaud, D. Jeulin, C. Prioul, S. Roux), Kluwer: Dordrecht, 2001, pp. 179-190.
4. Meguid S.A. Engineering fracture mechanics. London and New York: Elsevier applied science, 1989. 397 p.
5. Александров С.Е, Голъдштейн P.B., Лямина Е.А. Развитие концепции коэффициента интенсивности скорости деформации в теории пластичности // Докл. РАН. 2003. Т. 389. < 2. С. 180-183.
6. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов. М.: Металлургиздат, 1961. Т. 3. 306 с.
7. Aukrust T., LaZghab S. Thin shear boundary layers in flow of hot aluminium // Intern. J. Plast. 2000. V. 16. < 1. P. 59-71.
8. Durban D. Drawing of tubes // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1980. V. 47. < 4. P. 736-740.
9. Shield R.T. Plastic flow in a convergent conical channel // J. Mech. Phys. Solids. 1955. V. 3. < 4. P. 246-258.
10. Соколовский B.B. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.
Москва Поступила в редакцию
12.12.2005
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.