291
321
344 358
372
385
393
411
420
425 433
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ВДИНв OÍA. Ш
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 145, №3 ifti'masjs ** Л та» щ
декабрь, 2005 А. Ж> W' ') v -чЖ
¡¡¡»{«•»яке »
-Ш
Г:
©2005 г. С.Е. Конштейн*, И.В. Тютин* п
КОГОМОЛОГИИ СУПЕР АЛГЕБРЫ ПУАССОНА НА ж ПРОСТРАНСТВАХ СУПЕРРАЗМЕРНОСТИ (2, п_)
Изучены пространствакогомологий супералгебры Пуассона, реализованной на пространстве гладких грассманозначных функций с компактным носителем в К2, при некоторых предположениях о непрерывности коцепей. Для случая постоянной невырожденной суперскобки Пуассона найдены нулевое, первое и второе пространства когомо-логий в присоединенном представлении.
Ключевые слова: алгебра Грассмана, супералгебра Пуассона, когомологии, деформация, »-коммутатор, квантование.
437
< - X)
ТВ
. 5.0
1. ВВЕДЕНИЕ «
¡hi;.
Надежда построить квантовую механику на нетривиальном многообразии ассоциируется с геометрическим, или деформационным, квантованием [1]. Функции на фазовом пространстве связаны с операторами, а произведение и коммутатор операторов описываются ассоциативным *-произведением и ^-коммутатором функций. Эти ♦-произведение и ^-коммутатор являются деформациями обычного произведения и обычной скобки Пуассона.
Для того чтобы найти деформации супералгебры Пуассона, необходимо вычислить вторые когомологии супералгебры Пуассона.
В работе [2] найдены низшие (вплоть до второй) когомологии алгебры Пуассона, состоящей из гладких комплекснозначных функций на Кп. В статье [3] исследованы деформации супералгебры Ли гамильтоновых векторных полей с полиномиальными коэффициентами. Чисто грассманов случай рассмотрен в работах [4].
В работе [5] вычислены низшие когомологии супералгебры Пуассона грассманозначных гладких функций с компактным носителем на Rn при п ^ 4 в тривиальном (вплоть до третьей когомологии) и в присоединенном (вплоть до второй когомологии) представлениях. Оказалось, что случай п = 2 требует отдельного рассмотрения, которое и проведено в настоящей статье. В работе [6] мы изучаем центральные расширения супералгебр, рассмотренных здесь и в работе [5].
Пусть поле К - это либо К, либо С. Обозначим через D(Kn) пространство гладких К-значных функций с компактным носителем на Кп. Это пространство снабжено своей
* Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, Москва, Россия. E-mail: konstein@lpi.ru,
tyutin@lpi.ru \
292
с.е. конштейн, и.в. тютин лая^ярлч яч(к*т
стандартной топологией: по определению последовательность <рк € 1)(КП) сходится к у € 1)(К"), если носители всех функций <рк содержатся в некотором компактном множестве и дх<рк сходится равномерно к дх<р для каждого мультииндекса Л. Положим
= 2>(К"+) ® О"-, =С°°(Мп+)®Йп-, Т>'п+ = £'(!"+) ® С"-,
где - алгебра Грассмана с п_ генераторами и 1)'(КП+) - пространство непрерывных линейных функционалов на 1)(КП+). Образующие алгебры Грассмана (соответственно координаты пространства Жп+) мы обозначаем как а = 1,..., п— (соответственно хг, г = 1,...,п+). Мы будем также использовать коллективные суперпеременные гА, которые равны хА при А = 1,..., п+ и £А~п+ при А = тг+ + 1,..., п+ + п_. Пространства , Еп+ и Оп+~ обладают естественной градуировкой, которая определяется градуировкой алгебры Грассмана. Четность элемента / этих пространств обозначена как £(/)• Введем обозначение ел, £а = 0 при А = 1,..., п+ и ел — 1 при А = п+ + 1,... ,п+ + п_.
Пусть д/дгА и д /дгА - операторы левого и правого дифференцирований. Суперскобка Пуассона определяется следующим соотношением:
{/,*}(*) = ^¿^¿в^) = -*(/,<?){<?,/К*), (1-1)
ЧкВ
гдебт(/,д) = ( — симплектическаяметрика иИ в = -(-\)£АевшВА является
постоянной обратимой матрицей. Для определенности выберем ее в виде
где с.;1-7 -каноническая симплектическая форма (если К = С, то можно выбрать Аа = 1). Из невырожденности матрицы и>АВ следует, в частности, что п+ четно. Суперскобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби
Л
<т(/,Ь){/,{д,Ь}}(г) + сус\еи,д,Ь) = 0, /,д,Ь<Е К+- (1.2)
Супералгеброй Пуассона мы будем называть пространство с суперскобкой Пуассона (1.1) на нем. Соотношения (1.1) и (1.2) показывают, что эта суперскобка действительно определяет структуру супералгебры Ли
на Вп+.
Интеграл на Вп~ определяется соотношением
J Jur^+ J
где интеграл на алгебре Грассмана нормирован условием f .. = 1. Мы отождествляем С"- с его дуальным пространством полагая }{д) = /¿£/(0<7(0> /, д € . Соответственно Оп+ , т.е. пространство непрерывных линейных функционалов на , отождествляется с пространством 1)'(Ж"+) 0 .
Пусть Ь - супералгебра Ли, действующая на Z2-гpaдyиpoвaннoм пространстве V (действие / € Ь на V € V будет обозначаться через / • у) . Пространство р-коцепей
Г Кп) сходится к компактном мно-Л. Положим
:тзо непрерыв-,:о«ана (соответ-... п_ (соответ-гуперперемен-
1----,п+ + п_.
которая опре-пространств я ел = 1 при
Супер-
э ВА
(1.1)
является
-г : ¿тьЛа = 1).
Суперскобка
(1.2)
гжокой Пуас-гка действи-
Мы отож-
.'/ШО,
функцио-
е V тжоцепей
СР(Ь, V) состоит из всех полилинейных суперантисимметричных отображений из Ьр в V. Пространство СР(Ь,У) обладает естественной Z2-гpaдyиpoвкoй: по определению Мр € СР(Ь, V) имеет определенную четность е(Мр), если п
£(Мр(/1,..., /„)) = е(Мр) + е(/0 + • • • + е(/„)
для всякого набора fjE.bc определенными четностями Дифференциал ¿^ определяется как такой линейный оператор из СР(Ь, V) в Ср+\(Ь, V), что
■янл'я
<Мр(/ь...,/р+1) = р-н
-В-1)'"
3 = 1
- .. {Л, /,-ьл+ь . ,/р+1)
*<:>' (1.
р-н ¿ = 1
0[ ) е»
3)
для произвольных Мр € СР(Ь,У) м/1,..., /р+1 € Ь с определенными четностями. Знак" обозначает здесь отсутствие аргумента. Мы использовали также следующее обозначение: .....
к(/)1м = Х>(Л).
1=г
Дифференциал вУ является нильпотентным оператором (см. [7]), т.е. г— 0 для любых р = 0,1,... . Через Ну обозначается р-е пространство когомологий дифференциала
Мы изучаем когомологии алгебры Пуассона для следующих представлений.
1. V = и / • т = {},т} при любых / 6 и т. € Пространство Ср(1Уп+, 15п+ ) состоит из непрерывных по каждому аргументу суперантисимметричных полилинейных отображений из )р в . Пространства когомологий будут обозначаться через Н^,.
2. V = и / • т = {/, т} для любых / 6 и т € Пространство Ср{Ъпп-, ) является подпространством , ), состоящим из отображений, принимающих значения в . Пространства когомологий будут обозначаться через Яц.
3. Присоединенное представление: V = и / • д — {/,д} для любых /,д £ • Пространство Ср(Г>п+, О"") является подпространством С'р(0™~, ), состоящим из отображений, принимающих значения в . Пространства когомологий будут обозначаться через
Для всех этих представлений мы будем использовать одинаковый символ ¿^ для дифференциала.
Мы будем говорить, что коциклы Мр,... Мр независимы, если они входят в линейно независимые элементы пространства Нр. Для полилинейных форм Мр, принимающих значения в , или , мы будем писать Мр(г|Д,..., /р) вместо более громоздкого [Мр(/Ь ..., /р)](г).
Ниже мы будем предполагать, что п+ = 2.
Основные результаты настоящей работы приведены в следующих двух теоремах Л)
Теорема 1.1. 1. #£>, ~ Я^ ~ К, функция Мо(г) = 1 является нетривиальным коциклом.
2. Я~ Н^ — К2, независимые нетривиальные коциклы заданы формулами
гдеЧ
МЦг\})=1, М2(г|/) = £,/(*),
2 2 дг^
/ = У ¿и/(и).
3. Пусть билинейные отображения т2\2, «2|з, т2|4> Ь®, -^2 и ^2 иэфз-)2 в Е^" определены формулами
9(2),
■ ЩНЛ
'•ОТ
<—
1 _ (-1)"-т2\2Ш, 9) =-^-
тщ(г\/,д) = 6б,п_ J ¿и (/(и)£„д(и) - <т(/,зЖи)£и/(и)),
= ©(^/з) - ©(^Мз) - 2(-1)"-^а2/(2)0(г|3) + 2в(г\/)д2д(г), Ь°2(х\/,д) = + ^(хг'й/(х))3(х) -
= - А(г|/)Р(г) + (-1уМ/(г)А(г\д)-
= *2Ш9) - Д(*1/М*) + Дг)Д(Ф),
Ь32Ш>9) = - Д(х|/)5(г) + (-1Г^/(г)А(х\д) +
+ д^Нг)Аа(х\д) - (-1)£{ЛАа(х\/Щ«д(г), р
где
I ёи6(х1-и1)в(х2-и2)/(и), = 10и6(х-у)Пи), Аа(г|Л J(1ит)а5{х - у)/(и)
(1.4)
и г = (хг,Х2,и - (г/1,г/2,Т?1,---,Т?п_)-
Если 71_ четно и тг_ ф 0, гг_ ф 2, гг_ ф 6, то Я^, ~ Яд ~ К2, и коцепи т2\1 и т2|з являются независимыми нетривиальными коциклами;
если п_ нечетно и гг_ ф 1, гг_ ф 3, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи т2\1, т2\2 и т213 являются независимыми нетривиальными коциклами;
Оператор £2 является дифференцированием супералгебры Пуассона.
«К
ч
нетривиальным формулами
1.2- ^2 и
- -0(г\/)д2д(г),
тП
(1.4)
. к коцепи Ш2|1 п» т2|1, т2|2 и
если п- = 0, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи тгц, пг2|з и Ь® являются независимыми нетривиальными коциклами; ~~ ЧЬ >
если п- = 1, то Я^, ~ Я|. — К4, и коцепи т2\1, пг2\2, т2|з и являются независимыми нетривиальными коциклами;
если п- = 2, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи т2|ь т2|з и являются независимыми нетривиальными коциклами;
если п_ = 3, то Я~ Я|. ~ К4, и коцепи тгц, т2|з и являются
независимыми нетривиальными коциклами;
если п- = 6, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи тгц, Ш2|з и являются независимыми нетривиальными коциклами. .
Теорема 1.2. 1. Я^ = 0.
2. Пусть Z2~ = Т>2 © С2~, где С2~ - централизатор В2~ в Е2~ (очевидно, что Сз" = К). Пусть - одномерное подпространство ¿^(О^,В2~), порожденное коциклом М2, определенным в теореме 1.1. Тогда существует естественный изоморфизм V-! © (Е2 — /2«2 —) — #аа> отображающий (М\,Т) е V! ® (Е2~^2_) в класс когомологий, определяемый коциклом М2(г|/) + {¿(г),/(г)}, где t € Е2 ~ принадлежит классу эквивалентности Т. , „
3. Пусть билинейное отображение N2 из (В2~)2 в Е2~ определено в теореме 1.1 и
ТВДЯ = -2Л(хг) I <1ив(Х1 - у!)/(и),
где Л € С°°(Е) такая функция, что йК/йх € 1>(Е) и Л(-оо) = 0, Л(+оо) = 1.
Тогда билинейное отображение N£'(z\f,g) = ^(г\},д) + отобра-
жает (Т>2~)2 в 02
4. Пусть билинейные отображения тгц, пг213, 1/2, 1/2, 1,2 и из (02~)2 в В2~ определены в теореме 1.1. Пусть У2 ~ является подпространством С2(В2~,В2~), порожденным коциклами т2\\, тг|з и 1,2" + d%AN1 при п- = 0,1,2,3 и коциклами т,2\\ и тг|з при п~ ^ 4. г 4 Г .
Тогда существует естественный изоморфизм У2"~ © (Е2~^2~) ~ отображающий (М2,Т) € ф (Е2"^2~) в класс когомологий, определяемый коциклом ,;
М2Ш,д) - {«(*),/(*)}$ + аи,д){Цг),д(г)}/,
где < £ Е2 принадлежит классу эквивалентности Т.
2. СОГЛАШЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
шяН
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.