научная статья по теме КОГОМОЛОГИИ СУПЕРАЛГЕБРЫ ПУАССОНА НА ПРОСТРАНСТВАХ СУПЕРРАЗМЕРНОСТИ (2, N_) Математика

Текст научной статьи на тему «КОГОМОЛОГИИ СУПЕРАЛГЕБРЫ ПУАССОНА НА ПРОСТРАНСТВАХ СУПЕРРАЗМЕРНОСТИ (2, N_)»

291

321

344 358

372

385

393

411

420

425 433

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ВДИНв OÍA. Ш

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

Том 145, №3 ifti'masjs ** Л та» щ

декабрь, 2005 А. Ж> W' ') v -чЖ

¡¡¡»{«•»яке »

Г:

©2005 г. С.Е. Конштейн*, И.В. Тютин* п

КОГОМОЛОГИИ СУПЕР АЛГЕБРЫ ПУАССОНА НА ж ПРОСТРАНСТВАХ СУПЕРРАЗМЕРНОСТИ (2, п_)

Изучены пространствакогомологий супералгебры Пуассона, реализованной на пространстве гладких грассманозначных функций с компактным носителем в К2, при некоторых предположениях о непрерывности коцепей. Для случая постоянной невырожденной суперскобки Пуассона найдены нулевое, первое и второе пространства когомо-логий в присоединенном представлении.

Ключевые слова: алгебра Грассмана, супералгебра Пуассона, когомологии, деформация, »-коммутатор, квантование.

437

< - X)

ТВ

. 5.0

1. ВВЕДЕНИЕ «

¡hi;.

Надежда построить квантовую механику на нетривиальном многообразии ассоциируется с геометрическим, или деформационным, квантованием [1]. Функции на фазовом пространстве связаны с операторами, а произведение и коммутатор операторов описываются ассоциативным *-произведением и ^-коммутатором функций. Эти ♦-произведение и ^-коммутатор являются деформациями обычного произведения и обычной скобки Пуассона.

Для того чтобы найти деформации супералгебры Пуассона, необходимо вычислить вторые когомологии супералгебры Пуассона.

В работе [2] найдены низшие (вплоть до второй) когомологии алгебры Пуассона, состоящей из гладких комплекснозначных функций на Кп. В статье [3] исследованы деформации супералгебры Ли гамильтоновых векторных полей с полиномиальными коэффициентами. Чисто грассманов случай рассмотрен в работах [4].

В работе [5] вычислены низшие когомологии супералгебры Пуассона грассманозначных гладких функций с компактным носителем на Rn при п ^ 4 в тривиальном (вплоть до третьей когомологии) и в присоединенном (вплоть до второй когомологии) представлениях. Оказалось, что случай п = 2 требует отдельного рассмотрения, которое и проведено в настоящей статье. В работе [6] мы изучаем центральные расширения супералгебр, рассмотренных здесь и в работе [5].

Пусть поле К - это либо К, либо С. Обозначим через D(Kn) пространство гладких К-значных функций с компактным носителем на Кп. Это пространство снабжено своей

* Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, Москва, Россия. E-mail: konstein@lpi.ru,

tyutin@lpi.ru \

292

с.е. конштейн, и.в. тютин лая^ярлч яч(к*т

стандартной топологией: по определению последовательность <рк € 1)(КП) сходится к у € 1)(К"), если носители всех функций <рк содержатся в некотором компактном множестве и дх<рк сходится равномерно к дх<р для каждого мультииндекса Л. Положим

= 2>(К"+) ® О"-, =С°°(Мп+)®Йп-, Т>'п+ = £'(!"+) ® С"-,

где - алгебра Грассмана с п_ генераторами и 1)'(КП+) - пространство непрерывных линейных функционалов на 1)(КП+). Образующие алгебры Грассмана (соответственно координаты пространства Жп+) мы обозначаем как а = 1,..., п— (соответственно хг, г = 1,...,п+). Мы будем также использовать коллективные суперпеременные гА, которые равны хА при А = 1,..., п+ и £А~п+ при А = тг+ + 1,..., п+ + п_. Пространства , Еп+ и Оп+~ обладают естественной градуировкой, которая определяется градуировкой алгебры Грассмана. Четность элемента / этих пространств обозначена как £(/)• Введем обозначение ел, £а = 0 при А = 1,..., п+ и ел — 1 при А = п+ + 1,... ,п+ + п_.

Пусть д/дгА и д /дгА - операторы левого и правого дифференцирований. Суперскобка Пуассона определяется следующим соотношением:

{/,*}(*) = ^¿^¿в^) = -*(/,<?){<?,/К*), (1-1)

ЧкВ

гдебт(/,д) = ( — симплектическаяметрика иИ в = -(-\)£АевшВА является

постоянной обратимой матрицей. Для определенности выберем ее в виде

где с.;1-7 -каноническая симплектическая форма (если К = С, то можно выбрать Аа = 1). Из невырожденности матрицы и>АВ следует, в частности, что п+ четно. Суперскобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби

Л

<т(/,Ь){/,{д,Ь}}(г) + сус\еи,д,Ь) = 0, /,д,Ь<Е К+- (1.2)

Супералгеброй Пуассона мы будем называть пространство с суперскобкой Пуассона (1.1) на нем. Соотношения (1.1) и (1.2) показывают, что эта суперскобка действительно определяет структуру супералгебры Ли

на Вп+.

Интеграл на Вп~ определяется соотношением

J Jur^+ J

где интеграл на алгебре Грассмана нормирован условием f .. = 1. Мы отождествляем С"- с его дуальным пространством полагая }{д) = /¿£/(0<7(0> /, д € . Соответственно Оп+ , т.е. пространство непрерывных линейных функционалов на , отождествляется с пространством 1)'(Ж"+) 0 .

Пусть Ь - супералгебра Ли, действующая на Z2-гpaдyиpoвaннoм пространстве V (действие / € Ь на V € V будет обозначаться через / • у) . Пространство р-коцепей

Г Кп) сходится к компактном мно-Л. Положим

:тзо непрерыв-,:о«ана (соответ-... п_ (соответ-гуперперемен-

1----,п+ + п_.

которая опре-пространств я ел = 1 при

Супер-

э ВА

(1.1)

является

-г : ¿тьЛа = 1).

Суперскобка

(1.2)

гжокой Пуас-гка действи-

Мы отож-

.'/ШО,

функцио-

е V тжоцепей

СР(Ь, V) состоит из всех полилинейных суперантисимметричных отображений из Ьр в V. Пространство СР(Ь,У) обладает естественной Z2-гpaдyиpoвкoй: по определению Мр € СР(Ь, V) имеет определенную четность е(Мр), если п

£(Мр(/1,..., /„)) = е(Мр) + е(/0 + • • • + е(/„)

для всякого набора fjE.bc определенными четностями Дифференциал ¿^ определяется как такой линейный оператор из СР(Ь, V) в Ср+\(Ь, V), что

■янл'я

<Мр(/ь...,/р+1) = р-н

-В-1)'"

3 = 1

- .. {Л, /,-ьл+ь . ,/р+1)

*<:>' (1.

р-н ¿ = 1

0[ ) е»

3)

для произвольных Мр € СР(Ь,У) м/1,..., /р+1 € Ь с определенными четностями. Знак" обозначает здесь отсутствие аргумента. Мы использовали также следующее обозначение: .....

к(/)1м = Х>(Л).

1=г

Дифференциал вУ является нильпотентным оператором (см. [7]), т.е. г— 0 для любых р = 0,1,... . Через Ну обозначается р-е пространство когомологий дифференциала

Мы изучаем когомологии алгебры Пуассона для следующих представлений.

1. V = и / • т = {},т} при любых / 6 и т. € Пространство Ср(1Уп+, 15п+ ) состоит из непрерывных по каждому аргументу суперантисимметричных полилинейных отображений из )р в . Пространства когомологий будут обозначаться через Н^,.

2. V = и / • т = {/, т} для любых / 6 и т € Пространство Ср{Ъпп-, ) является подпространством , ), состоящим из отображений, принимающих значения в . Пространства когомологий будут обозначаться через Яц.

3. Присоединенное представление: V = и / • д — {/,д} для любых /,д £ • Пространство Ср(Г>п+, О"") является подпространством С'р(0™~, ), состоящим из отображений, принимающих значения в . Пространства когомологий будут обозначаться через

Для всех этих представлений мы будем использовать одинаковый символ ¿^ для дифференциала.

Мы будем говорить, что коциклы Мр,... Мр независимы, если они входят в линейно независимые элементы пространства Нр. Для полилинейных форм Мр, принимающих значения в , или , мы будем писать Мр(г|Д,..., /р) вместо более громоздкого [Мр(/Ь ..., /р)](г).

Ниже мы будем предполагать, что п+ = 2.

Основные результаты настоящей работы приведены в следующих двух теоремах Л)

Теорема 1.1. 1. #£>, ~ Я^ ~ К, функция Мо(г) = 1 является нетривиальным коциклом.

2. Я~ Н^ — К2, независимые нетривиальные коциклы заданы формулами

гдеЧ

МЦг\})=1, М2(г|/) = £,/(*),

2 2 дг^

/ = У ¿и/(и).

3. Пусть билинейные отображения т2\2, «2|з, т2|4> Ь®, -^2 и ^2 иэфз-)2 в Е^" определены формулами

9(2),

■ ЩНЛ

'•ОТ

<—

1 _ (-1)"-т2\2Ш, 9) =-^-

тщ(г\/,д) = 6б,п_ J ¿и (/(и)£„д(и) - <т(/,зЖи)£и/(и)),

= ©(^/з) - ©(^Мз) - 2(-1)"-^а2/(2)0(г|3) + 2в(г\/)д2д(г), Ь°2(х\/,д) = + ^(хг'й/(х))3(х) -

= - А(г|/)Р(г) + (-1уМ/(г)А(г\д)-

= *2Ш9) - Д(*1/М*) + Дг)Д(Ф),

Ь32Ш>9) = - Д(х|/)5(г) + (-1Г^/(г)А(х\д) +

+ д^Нг)Аа(х\д) - (-1)£{ЛАа(х\/Щ«д(г), р

где

I ёи6(х1-и1)в(х2-и2)/(и), = 10и6(х-у)Пи), Аа(г|Л J(1ит)а5{х - у)/(и)

(1.4)

и г = (хг,Х2,и - (г/1,г/2,Т?1,---,Т?п_)-

Если 71_ четно и тг_ ф 0, гг_ ф 2, гг_ ф 6, то Я^, ~ Яд ~ К2, и коцепи т2\1 и т2|з являются независимыми нетривиальными коциклами;

если п_ нечетно и гг_ ф 1, гг_ ф 3, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи т2\1, т2\2 и т213 являются независимыми нетривиальными коциклами;

Оператор £2 является дифференцированием супералгебры Пуассона.

«К

ч

нетривиальным формулами

1.2- ^2 и

- -0(г\/)д2д(г),

тП

(1.4)

. к коцепи Ш2|1 п» т2|1, т2|2 и

если п- = 0, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи тгц, пг2|з и Ь® являются независимыми нетривиальными коциклами; ~~ ЧЬ >

если п- = 1, то Я^, ~ Я|. — К4, и коцепи т2\1, пг2\2, т2|з и являются независимыми нетривиальными коциклами;

если п- = 2, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи т2|ь т2|з и являются независимыми нетривиальными коциклами;

если п_ = 3, то Я~ Я|. ~ К4, и коцепи тгц, т2|з и являются

независимыми нетривиальными коциклами;

если п- = 6, то Я^, ~ Я|. ~ К3, и коцепи тгц, Ш2|з и являются независимыми нетривиальными коциклами. .

Теорема 1.2. 1. Я^ = 0.

2. Пусть Z2~ = Т>2 © С2~, где С2~ - централизатор В2~ в Е2~ (очевидно, что Сз" = К). Пусть - одномерное подпространство ¿^(О^,В2~), порожденное коциклом М2, определенным в теореме 1.1. Тогда существует естественный изоморфизм V-! © (Е2 — /2«2 —) — #аа> отображающий (М\,Т) е V! ® (Е2~^2_) в класс когомологий, определяемый коциклом М2(г|/) + {¿(г),/(г)}, где t € Е2 ~ принадлежит классу эквивалентности Т. , „

3. Пусть билинейное отображение N2 из (В2~)2 в Е2~ определено в теореме 1.1 и

ТВДЯ = -2Л(хг) I <1ив(Х1 - у!)/(и),

где Л € С°°(Е) такая функция, что йК/йх € 1>(Е) и Л(-оо) = 0, Л(+оо) = 1.

Тогда билинейное отображение N£'(z\f,g) = ^(г\},д) + отобра-

жает (Т>2~)2 в 02

4. Пусть билинейные отображения тгц, пг213, 1/2, 1/2, 1,2 и из (02~)2 в В2~ определены в теореме 1.1. Пусть У2 ~ является подпространством С2(В2~,В2~), порожденным коциклами т2\\, тг|з и 1,2" + d%AN1 при п- = 0,1,2,3 и коциклами т,2\\ и тг|з при п~ ^ 4. г 4 Г .

Тогда существует естественный изоморфизм У2"~ © (Е2~^2~) ~ отображающий (М2,Т) € ф (Е2"^2~) в класс когомологий, определяемый коциклом ,;

М2Ш,д) - {«(*),/(*)}$ + аи,д){Цг),д(г)}/,

где < £ Е2 принадлежит классу эквивалентности Т.

2. СОГЛАШЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

шяН

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком