МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2009
УДК 532.529.6:534.12
© 2009 г. А. Г. ПЕТРОВ, А. В. ФОМИЧЕВ
КОЛЕБАНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЯ В ЖИДКОСТИ ПРИ РЕЗОНАНСЕ ЧАСТОТ РАДИАЛЬНЫХ И ДЕФОРМАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ 2:1
Рассмотрены малые нелинейные колебания эллипсоидального пузырька в жидкости при резонансе частот радиальной и эллипсоидальной мод 2:1. Уравнения движения приводятся к га-мильтоновой форме. Учитываются квадратичные и кубические члены в разложении гамильтониана. Функция Гамильтона преобразуется к нормальной форме методом инвариантной нормализации в первом приближении. Это позволяет построить аналогию рассматриваемой системы с известной задачей о качающейся пружине. Радиальной моде колебаний пузырька соответствует координата материальной точки по вертикали, а эллипсоидальной моде — координата по горизонтали. При отсутствии резонанса решение нелинейных уравнений отличается от решения линейных уравнений только малым (квадратичным по амплитуде) изменением частоты колебаний. В резонансном случае радиальная и эллипсоидальная моды колебаний периодически меняются местами и энергия одной моды переходит в другую, чем и обусловлен интерес к системе при резонансе. Рассмотрен вопрос о влиянии диссипации в реальных средах. Величина декремента затухания существенно зависит от физических свойств веществ и в некоторых специальных случаях может быть достаточно малой для того, чтобы эффект перекачки энергии проявился.
Ключевые слова: нормальная форма гамильтониана, резонанс, газовый пузырь в жидкости.
Несферические колебания пузырька исследовались в [1—3]. В линейной теории выход за границу устойчивости сферических колебаний ведет к неограниченному росту амплитуды искажений, чего может не быть, если учесть нелинейные члены уравнений движения. Ввиду этого изучение нелинейных колебаний пузырька представляет значительный интерес. Например, в исследуемой гидродинамической системе может наблюдаться эффект перекачки энергии между деформационной и радиальной модами колебаний. Возможность этого явления в рассматриваемой системе отмечалась в [4— 6]. В этих работах использовались достаточно громоздкие методы решения. В [4] для преодоления расходимости применялся метод двух масштабов. Задача об эллипсоидальных колебаниях газового пузырька при гармоническом изменении давления окружающей жидкости с учетом квадратичных по амплитуде членов в уравнениях исследовалась численно в [7]. Приведены режимы, в которых радиальные колебания сменяются эллипсоидальными. Наблюдение этого эффекта в реальных системах возможно при достаточно малой диссипации механической энергии за время, в течение которого происходит перестройка радиальной моды колебаний в деформационную. В этом случае на указанных промежутках времени допустимо считать исследуемую систему гамильтоновой.
Ниже показывается, как описать эти эффекты аналитически при достаточно малых амплитудах колебаний. При резонансе частот 2:1 достаточно учесть квадратичные члены в уравнениях и построить в этом приближении уравнения гамильтоновой нормальной формы (наиболее простая форма гамильтониана при канонической замене переменных). При отсутствии резонанса процедуру построения нормальной формы предложили Биркгоф [8], а при наличии резонанса Чери [9] и Густавсон [10]. В настоя-
щее время эти достаточно громоздкие процедуры значительно упрощены благодаря методу инвариантной нормализации гамильтонианов [11—13]. В [14] метод продемонстрирован на решении задачи о плоских нелинейных колебаниях качающейся пружины при резонансе частот вертикальной и горизонтальной мод 2:1. В настоящей работе приводится аналогичное исследование для колебаний пузыря.
1. Функция Лагранжа для газового пузыря. Для газового пузыря, движущегося в жидкости, следует учесть изменение его полного объема, а кинетической энергией газа можно пренебречь. Если давление газа внутри пузыря однородно и зависит от его объема, то полную функцию Лагранжа можно вычислить как разность кинетической энергии жидкости Т и потенциальной энергии П сил давления жидкости и газа, а также поверхностного натяжения. Пусть давление газа меняется по закону политропы
Рг = Р0( V. / V)Тогда при отсутствии массовых сил выражение функции Лагранжа таково
Ь = Т -П, П = о5 + РУ + РоУЦУ 1_у(у -1)-1 (1.1)
Предполагается, что пузырь имеет форму сплюснутого эллипсоида с осью симметрии £
2,2 2
Х + у += 1 (I < I )
2 т ,2 ' < х)
где 1Х и 1у — полуоси эллипсоида.
Параметры эллипсоида 1Х и 1у можно взять в качестве обобщенных координат. Удобно ввести две обобщенные координаты ^ е, где l — радиус сферы эквивалентного
объема 1-1£ = 13 и е — параметр, зависящий от отношения полуосей эллипсоида: VI + е = I х /
Вычисления проводим, следуя [15, 16]. Для этого введем эллипсоидальную систему координат (а, Р) [17]
г = VX2 + у2 = ¿[(1 + а2)(1 -р2)]Ш, г = кав (1.2)
Поверхности эллипсоида соответствует а = а0, а большая и малая полуоси выражаются через параметры к и а 0
1Х = кд/1 + а2, 1г = ка 0 (1.3)
Параметр а 0 зависит от отношения осей эллипсоида 1Х / = д/1 + а-2, а параметр k можно выразить через l и а 0
к За 0(1 + а2) = 13 (1.4)
Потенциал поля скорости Ф(а, Р), удовлетворяющий уравнению Лапласа АФ = 0 вне эллипсоида а > а0 и условию на бесконечности Ф ^ 0 при а ^ ж, можно искать в виде линейной комбинации двух гармонических эллипсоидальных функций
?0(а), ?2(а)
Ф = С^а) + С2(3р2 - 1)?2(а)
(1.5)
Подставим в условие для нормальной скорости, записанное в эллипсоидальных координатах
дФ = _L
дп Ha
дФ
да
= W¡í + Waáo, Ha = kjа 0 + в2 a=ao i 1+ a
где Ha — коэффициент Ламе, w¡l и Waáo — скорости смещений поверхности по нормали, соответствующие обобщенным скоростям l и ¿o, для которых можно получить
0/3/* 0ч 1/6 , ")о0 i
w _ ao (1 + «o) w _ k 3P -1
Wl ,2 „11/2 ' , 0Л/0, 0 , п0ч1/0 v '
(ao +в ) 3(1 + a ) (ao +в )
Подстановка этих выражений в граничное условие приводит его к виду
5Ф"
2/3 к 2
. = к а° 21/31 + к 2 (3в2 - 1)ао
5аЛх=<х° (1 + а2)1/3 3(1 + а2)
Выражение (1.5) удовлетворяет ему, если
2%/ ь-2
с __а° к'____к_• /1 7\
с° =-П/^Л-' с2 =-2—-а° (1.7)
(1 + а°) 4°(а°) 3(1 + а°Ша°)
Кинетическая энергия Т выражается через интеграл по поверхности эллипсоида
Т = -р Гф^ 2 J дп
Подставляя сюда выражение для потенциала Ф (1.5), (1.7) и элемент площади поверхности
= 2 пгИ^в = 2 п к2(1 + а 2)1/2( а 2 + Р У'^Р (1.8)
получим
Т = -пк3 ао/3(1 + а2)1/3д°(а°) ^ -
4 (а)
5 1
42^а21(3в2 - 1)2^ 9(1 + а 24(а°)
Вычисляя интегралы и подставляя зависимость к(а °) из (1.4), найдем коэффициенты квадратичной формы кинетической энергии
Т _ 2 ш,/2 + 2 та(х2
_ ^¡2 а1/34°(а) _ _ 16пр/5 42(а) (1.9)
Щ/ _ 2пр/ 1 2ч2/3 , . ч> Щ _ 2ч8/3 2П ,, Ч
(1 + а ) 4°(а) 45(1 + а ) а а42(а)
где индекс 0 у параметра а опущен.
Формулы (1.8) и (1.9) определяют присоединенную массу и площадь поверхности,
как функции а. Удобно ввести параметр деформации эллипсоида е = 1 / а2 (значению е = 0 соответствует сфера).
Если выбрать в качестве обобщенных координат / и е , то кинетическую и потенциальную энергии можно получить, подставив в (1.1) выражения для 5 (1.8) и Т (1.9)
Т = 1 т/2 +1 тЕВ2, П(/,е) = о5 + рУ + ^У1-у 2 2 у -1
3 2пр/5 2
т/ = 4пр/ /0(е), тЕ = и /1(е), 5 = 2п/ ф) 45
/0(е) = (1 + е)1/3Же), /1(е) = (1 1 )5/3 3(1 (3 +^Л(Е1 ")3
(1 + е)5 3(1 + е)(1 - л(е)) - е
S(Е) = (1 + е)1/3 + в(е)(1 + е)-1/6
ч агсгап(>/е) , 1 ,12 1 з (1.10)
л(е) =-7=^—'- = 1--е +—е--е + ...
л/е 3 5 7
= + ТГт^) = 1 - 1 е + ^е2--— е3 + ...
л/е 6 40 112
3
где т0 = т(/0, е0), У0 = 4п/0 / 3 — значения присоединенной массы и объема при значениях /0 и е стационарного движения пузыря, и — скорость движения пузыря.
Равновесной форме пузыря соответствует стационарная точка потенциальной энергии П (I, е)■ Из уравнений стационарной точки
— = 0, дП = 0
д/ де
находятся параметры, соответствующие равновесию
Е 0 = 0, /0
Р0 - Р«
где а — поверхностное натяжение жидкости, рх — ее давление на бесконечности, Р0 — давление внутри пузыря в состоянии равновесия.
Введем еще один малый параметр x, характеризующий объемную деформацию пузыря, определив его как
х = (/ - /0) / /0
Подставляя следующие отсюда равенства / = /0(1 + X), / = /0Х в функцию Лагранжа и раскладывая ее в ряд до членов третьего порядка включительно, находим с точностью до несущественной постоянной
Г 1, , 4-2,1,, ч-2 1 2 1 2 3 3 2 ,1 1 1 \
Ь =-(йх + Я1х)х +- (яЕ + я1е)б --СхХ --се£ - С1хХ - С1Е£ - С1хЕХ£ (1.11)
ax = 4лр/0, a1x = 12пр/Ох, as = ^^пр/0
4 5 44 3 2
ais = —пр/о5х - —г, cx = 12пур Jo + 8пс(3у - 1)/0 / р
cix = 6npJo3y(1 - Y) - 8па/0 + 12лс/о2у(1 - у), qE = лс/о2 3 2835
16 2 C1xE = —nG/0
45
где у — показатель адиабаты газа, находящегося внутри пузыря, р — плотность жидкости.
Частоты колебаний линеаризованной системы определяются так
ю2 = ^ =
ax р/о
3Y + у^- (3у-1)
'оРю
ю2 = Cí = 12ст
шЕ 3
a2 р/о
Далее будет рассматриваться система при резонансе, когда частоты линеаризованной системы подчинены соотношению юх / юЕ = 2. В этом случае влияние нелинейных членов в уравнениях движения будет наиболее сильным и для его исследования достаточно первого приближения метода инвариантной нормализации, используемого для решения задачи. При иных резонансных соотношениях или вовсе при отсутствии резонанса влияние нелинейных членов менее выражено и требует построения приближений высших порядков.
При резонансе юх / юЕ = 2 коэффициенты разложения лагранжиана должны удовлетворять равенству
^(3у- 1) + = 4 (1.12)
6 4 о
откуда можно определить соотношение, связывающее параметры рал у, а и радиус пузыря в равновесии, при выполнении которого происходит резонанс
^ = 50 - 2 (1.13)
а 3у
Например, для воздушного пузыря в воде при атмосферном давлении
рт = 106дн / см2, а = 70 дн / см, у = 1.4. Подставляя эти числа в последнюю формулу,
находим, что резонанс 2:1 получается при 10 = 6.93 х 10_4см, т.е. для достаточно малых пузырей.
2. Введение безразмерных параметров и упрощение лагранжиана. Для дальнейших расчетов удобно ввести безразмерные переменные и преобразовать лагранжиан. С этой целью вводится безразмерное время
лагранжиан делится на постоянную вели
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.