Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2006
РАС Б 05.45-а
© 2006 г. В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В КВАЗИАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЕ. I. ОБЫКНОВЕННАЯ ТОЧКА ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ1
Изучаются колебания квазиавтопомпой периодической системы, когда порождающая автономная система допускает одпопараметрическое семейство о'(К) периодических движений периода Т(К). Показано, что в обыкновенной точке (йТ(К) = 0) правилом является рождение единственного цикла. Получены условия устойчивости цикла.
1. Введение
Отличительным свойством колебаний в нелинейной автономной системе является зависимость периода T(h) от некоторого параметра h [1]. В случае математического маятника функция T (h) монотонна. Однако в общем случае производная T'(h) может менять знак в некоторых точках h*.
В фазовом пространстве при изменении h вдоль семейства колебаний <r(h) про-
h*
отличпые чем-то от других. Выделепиость таких точек хорошо демонстрируется при действии периодических возмущений. Если, как правило, периодическое воздействие отбирает из семейства &(h) только те колебания, которые синхронны по
h*
Изучение явления рождения цикла для уравнения Ван-дер-Поля стало этапом для становления всей теории колебаний. Цикл возникает из семейства изохронных колебаний порождающей линейной системы, а выводы, полученные методами осреднения. вполне подверждаются методом Ляпунова Пуанкаре (см.. например. [2]). Другой задачей является рождение цикла из семейства равновесий механической системы [3]. Только здесь амплитуда колебаний мала вместе с возмущением.
Укажем, что в нелинейной порождающей системе вторая из задач иллюстрирует поведение в обыкновенной точке h семейства (r(h), где dT = 0, а первая - поведение в критической точке h*: dT (h*) = 0.
Нелинейная порождающая консервативная система с одной степенью свободы изучена в [4]. При этом рассматривалась только обыкновенная точка семейства. Также изучался класс обратимых механических систем, обладающий свойством пространственно-временной симметрии [5]. А если порождающая система не обладает подобным свойством? Соответствующие результаты для этого общего случая можно найти в данной статье.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (04-01-00391) и Комплексной программы Президиума РАН (19-1.5).
2. Постановка задачи
Рассмотрим гладкую автономную систему (2.1) ¿ = ^(г), г е йп+2.
Предполагаем, что система (2.1) допускает семейство а(к), зависящее от одного параметра к периодических движений: г = в(к, Ь). Пусть при к = к* период интересуемого решения равен Т*. Составим уравнения в вариациях для решения в(к* , Ь). Тогда в(к, Ь) будет Т*-периодическим решением указанных уравнений. Что касается второго очевидного их решения дв(к,Ь)/дк, то оно в общем случае не будет
Т*-периодическим. В самом деле [1], функция в (к, (Т/Т* )Ь) имеет не зависящий от Н Т*
(звездочка означает подстановку значения Н = к*) также будет Т^периодической функцией. Отсюда немедленно следует, что производная (дв/дк)* является Т*-периодической функцией только в точках семейства, где ¿Т(к*) = 0.
Определение. Для семейства а точки, в которых ¿Т = 0, назовем обыкновенными, а точки, где ¿Т = 0, назовем критическими.
Рассмотренная ситуация является обычной для систем, допускающих интеграл энергии (см., например, [4]), однако не только для них. Так, наличие семейства типично для целого класса обратимых механических систем [5]. Условие невырожденности
(2.3) ¿Т (к*)=0
является правилом для нелинейной системы; в линейной системе ¿Т(к) = 0. Усло-
а
точки являются исключительными.
Возникает задача: изучить, как ведет себя система (2.1) в вопросе возможных колебаний при действии периодических возмущений.
Задача распадается па две задачи в зависимости от того, является точка к* обыкновенной или критической. Более того, каждая из указанных задач содержит две
Т*
Ниже анализируется основной случай, когда точка к* обыкновенная, а период возмущений совпадает с Т* = Т(к*) - периодом колебаний в точке к*. В этом случае уравнения в вариациях обязательно содержат два нулевых характеристических показателя (ХП) в жордановой клетке. Предполагается, что остальные ХП по шой(2пг/Т*) отличны от нуля. Последнее гарантирует существование в системе (2.1) именно однопараметрического семейства. Частный случай задачи изучен ранее [4] для консервативной системы с одной степенью свободы.
3. Необходимое условие существования и формулы для построения цикла
Т*
(3.1) г = z(г)+ ^(и,^), ^ е яп+2
с малым параметром и Порождающая система (2.1), полученная из (3.1) при и = 0, допускает единственное семейство а (к), причем ¿Т (к*) = 0. В указанном в постановке задачи случае, не ограничивая общности, достаточно изучить систему второго порядка
(3.2)
x = X(x,y) + x,y,t),
у = У (х,у) + иУ1(р,х,у,г).
а(к)
(3.3) х = ф(к,Ь + а), у = ф(к,Ь + а)
(а - произвольная постоянная).
Решение системы (3.2) представим в виде
х = фо + иф1 + и2 ¥2 + о(р2),
(3.4) у = фо + и'Ф\ + и2'Ф2 + о(р2), Фо = ¥(к*,Ь), фо = ф(к*,Ь).
Подставляя решение (3.4) в систему (3.2), получим следующие системы линейных уравнений:
Фз = ац¥з + а\2фз + ¡з,
Фз = а21 Фз + а22Фз + дз (з = 1, 2),
' дХ \ = (дХ \
дх ) о ' а12 V дУ ) о'' /1 = Xl(0'ф0'фо't)' д1 = Уl(0'ф0'фо't)' 'ЭХА [дХА , (дХ1
an =
®21 =
dY
dx
a22 =
ÖY4
о
(3.5)
f2
dx
dY1
dx
<P1
dy
Ф1 +
dYi^ ф1 + f
d y J о 1 V
д2 = | -^г" Ф1
ооо
(нуль при скобке означает подстановку в частные производные значения и = 0 и функций х = фо, у = фо).
Фундаментальная система решений однородной части определяется матрицей
дф(к*,г) дф(к*,г)
дЬ дк
дф(к*,Ь) дф(к*,Ь)
dt
с определителем
dh
Д = A(0)exp
\dx
о
3Y\ dy ) oJ
dr.
Как и в формуле (2.2), производные £(t),^(t) от функций соответственно <p(h, (T/T*)t), ф(h, (T/T*)t) по ^и h = h* являются T*-периодическими функ-t
(3.0)
«« = T* w*,t) + ,
n(t) = T* tф(h^t) + M
о
о
позволяют переити к новым переменным п , гз-: Т'
п7- = — -
(3-7) 1
Т *д
(Фз фо — фз Фо),
гз = д [ФзП(г) — фз£(г)] •
Можно проверить, что в новых переменных однородная система в (3.5) приобретает вид
п з = 0, гг з = п,
а сама система (3.5) преобразуется к следующей: Т'
(3.8)
14 з = Т *д 1
/з фо — дз ф о
гз
П + д /зФ) — 9з£(*)] •
Поэтому необходимое и достаточное условие существования Т*-периодического решения системы (3.5) имеет вид
(3.9)
1
д
/з ф о — 9з ф о
¿г = о,
а начальная точка пз- (0) определяется из равенства
т
(3.10) пз (0) + у д [/п(г) — дз£(*)] ¿г = о.
Формулы (3.7). (3.8). (3.10) доставляют в случае существования конструктивный способ построения цикла. Приведение линейной системы дано в Приложении б. При ] = 1 из формулы (3.9) получим
(3.11) /д Х1(0,Ф(Н*,1),Ф(Н*,1),1)ФФ(Н*,1)—У1(0,Ф(Н*,1),Ф(Н*,1),1)ФФ(Н*,1)
¿г=0
Т*
помпой системе. Таким образом, необходимое условие зависит как от выбора обыкновенной точки к*, так и действующих возмущений.
В проведенных выкладках использовано семейство (3.3) со значением а = 0.
4. Достаточное условие существования цикла
В окрестности выбранного решения положим х = ф(к*,г) + хь у = Ф(к*,г) + у\.
о
Тогда получим систему
¿1 = апх1 + аиу! + Х0(х!,уьг) + цХ^ц, у(Н*, г) + хьф(Н*,г) + У1, у 1 = а21Х1 + а22У1 + Уо(хьуьг) + цУ1(ц, у(Н*, г) + хьф(Н*,г) + У1,г),
где Хо, Уо — нелинейные по ¿1,у1 функции.
Отметим, что соответствующее масштабирование (х1,у1) ^ (ц1/2х1, ц1/2у1) позволяет сделать качественные выводы так, как будто функции Хо, Уо отсутствуют. Помня об этом замечании, формальное выполнение процедуры опустим.
Посредством линейного преобразования, аналогичного преобразованию (3.7), перейдем к системе
Т'
и = - -
(4.2)
(Хо* + цХ*)фо - (Уо* + цУ*)фо
Т *д
V = и + д [(Хо* + цХ*)п(г) - (Уо* + цУ*Жг)]
(Х*, У* - результат подстановки в функции Х^ вместо х1,у1 переменных и, v). К этой системе (4.2) удобно применять метод [2], развитый для негрубых случаев в теории продолжения периодического движения по параметру. Уравнение
т *
(4.3) I^о) = д Х1(0,^о,Фо + vо,t)фо - У1(0,(ро,фо + vо,t)фо
¿г = 0
^о — значение переменной х^и г = 0) назовем амплитудным уравнением.
Теорема 1. В обыкновенной точке Н* одно-параметрического семейства а(Н) порождающей автономной системы при действии Т*-периодических возмущений, удовлетворяющих необходимому условию I(0) = 0, правилом (¿I(0) = 0) является возникновение единственного цикла, отличающегося от порождающего колебания уо, фо на величину порядка ц. Если I(0) = 0, то возмущенная система не имеет периодических движений.
Замечание. В отличие от подхода [4] в теореме 1 ищется не момент времени, когда периодическое решение пересекает ось V, а находится тачальная точка ио, v0 для такого решения. Очевидно, при любом подходе находится одно и то же решение. Достаточное условие существования цикла при подходе [4] легко вывести, если в амплитудном уравнении вида (4.3) вместо уо,фо использовать семейство (3.3) с произвольным а и положить vо = 0. Тогда из амплитудного уравнения определится а
рема 1 сформулирована в принятых в теории колебаний терминах амплитудного уравнения. Ее доказательство дано в Приложении а.
5. Один специальный случай
Пусть в системе (3.2) имеем Х(х,у) = 0, У(х,у) = х. Тогда система х = цХ1(ц,х,у,г),
(У.1) . , ч
у = х + цУ1(ц,х,у,г)
при ц = 0 допускает семейство постоянных решений: х = 0, у = В(сопв!;). Предположим, что гладкие функции Х1, У1 определены в некоторой области О илоско-( х, у)
допускаются точки из коночной области. Поэтому амплитудное уравнение т *
(5.2) J Х*(0, 0,Б,г)А = 0 о
может допускать не только нулевой корень.
Теорема 2. Каждому простому корню Б* амплитудного уравнения (5.2) отвечает цикл системы (5.1), рождающийся из положения равновесия Б* и имеющий амплитуду порядка
Замечания. 1. В случае У1 = 0 система (5.1) описывает задачу у = /Хг (/,у,у,г)
о рождении цикла из положения равновесия механической системы с одной степенью свободы [3].
2. В случае гамильтоновой системы в (5.1) имеем систему в переменн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.