ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 6, № 1, 2010, стр. 11-14
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 532.5
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОГО ДИСКА НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ
© 2010 г. И.И. Ефремов1, Е.П. Лукащик1
Рассмотрена задача определения гидродинамических сил, возникающих на круглом диске, колеблющемся на свободной поверхности весомой жидкости. Преобразованием Ханкеля математическая задача сведена к решению интегрального уравнения. Численное решение интегрального уравнения выполнено методом дискретных кольцевых вихрей.
Ключевые слова: несжимаемая жидкость, круглый диск, гармонические колебания, преобразование Ханкеля, коэффициент нормальной силы.
Практические расчеты инженерных сооружений, в частности искусственных островов, в прибрежной зоне или открытом море требуют определения взаимного влияния жидкости и контактирующей с ней конструкции.
Цель настоящей работы - определение гидродинамических сил при гармонических колебаниях круглого диска на свободной поверхности жидкости. Решение данной модельной задачи может быть использовано для качественных оценок реальных конструкций.
Для случая невесомой жидкости, когда гидродинамические силы составляют половину соответствующих величин для безграничного потока, известны точные результаты [1, 2].
Для весомой жидкости простое разделение переменных не приводит к решению проблемы, и необходимо применять более универсальные методы, одним из которых является метод интегральных уравнений.
Соответствующая задача для плоской пластины аналитическими и численными методами рассмотрена в [3, 4].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Предполагается, что диск твердый, недеформи-руемый, имеет толщину, значительно меньшую радиуса диска. Жидкость идеальная, несжимаемая, весомая. Течение безвихревое, осесимметричное. Колебания диска и жидкости принимаются гармоническими с постоянной частотой и амплитудой. Амплитуды поверхностных волн, возникающих при колебаниях диска, малы по сравнению с длиной волны.
1 Кубанский государственный университет, 350040,
Краснодар, ул. Ставропольская, 149, e-mail: i.efremov@math. kubsu.ru, lep@fpm.kubsu.ru.
Математическая постановка задачи осуществляется в пространстве комплекснозначных функций. При этом искомый потенциал скорости является действительной частью комплексного потенциала вида
— / \ -¡ш {(г, 2)е ;
здесь ш - круговая частота колебаний, (г, 2) - радиальная и осевая цилиндрические координаты. Черточки над комплексными амплитудами далее будем опускать.
Используем интеграл Коши-Лагранжа в форме
р_ = р(¡ш{-- gл);
здесь р- = р-(г) - избыточное (над атмосферным) давление на нижней стороне диска, {- = {-(г, 0) -значения потенциала скорости также на нижней стороне (в дальнейшем индекс (-) будем опускать), р - плотность жидкости, л = Л (г) - отклонение свободной поверхности от плоскости 2 = 0.
Комплексный потенциал скорости осесиммет-ричного течения несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа в цилиндрической системе координат
1А(г = 0, 2<0. (1)
г дг \ дг ) д2 2
Приведем выражения для граничных условий.
На проекции диска радиуса а необходимо выполнить условие непротекания
{2(г,0) = V2(г), г < а, (2)
где vz - заданная функция - комплексная амплитуда колебаний поверхности диска.
На свободной поверхности весомой жидкости потребуем выполнения двух условий: условия постоянства давления (отсутствие избыточного давления)
¡~{ - gh = 0, 2 = 0, г > а;
12 И.И. ЕФРЕМОВ, Е.П. ЛУКАЩИК
условия непротекания свободной границы Соответственно изменится вид краевых условий:
-/= ф2(г,0), г = 0, г > а. Фг = ¥(а), 2 = 0 (6)
Объединяя два последних соотношения, полу- 2 ф + ^ф = р (7)
чим 2 р
-—2ф + gф2 = 0, 2 = 0, г > а.
Здесь
Учитывая, что избыточное давление не равно ¥(а) = Г[ф2(г,0)](а)= I гф2(г,0)J0(аг)йг,
нулю вдоль диска, можно записать обобщенное 0
условие а
- ~ Р 2 = 0 г < а р(а ) = Г [р( г,0)]( а ) = I гр( г) J0( а г) йг.
р' ' . (3) 0
-~2Ф+gф2
На бесконечности
0, 2 = 0, г > а
На глубине возмущенное течение должно зату- ф(а г) " 0 (2 " -3) (8)
хать представление потенциала скорости в виде
ф(г, 2) " 0 при 2 " -3, 6г. (4) ф = ф(а)е2а
В задачах с образованием распространяющихся обеспечивает выполнение условия (8).
волн необходимо удовлетворять условию излуче- Краевые условия (6) и (7) совместно приводят к
ния. В данной задаче можно ограничиться услови- функциональному соотношению
ем Зоммерфельда: волны должны уходить от диска р( ) / 2 + \
на бесконечность (г " з). Для выполнения условия -1 1 +--^— | = У(а). (9)
излучения достаточно, чтобы на значительном уда- 2/'р— \ —2 - ga
лении от диска потенциал скорости имел представ- Применяя обратное преобразование Ханкеля к
ление соотношению (9), получим
ф(г, 2) = С(2)Я0>г), V >0, 3 а2р(а) ~2
Г аР(а) —2
I —:---:-Jo(га)йа = V2(г), г < а.
1 /—р ~2- аа
где Н0(1) - функция Ханкеля 1-го рода. , ,—р 2
" 0 ^ ^ г " J /мр — - ga
Заметим, что вблизи ребра г = а допустима ин- 0
тегрируемая особенность для производной фг, но Введем в рассмотрение функцию, пропорцио-
сам потенциал должен быть ограничен. нальную производной от давления по радиальной
координате. В пределах диска СВЕДЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ _ А I _Р
ф г = с(г).
К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ёг\/'мр
Величину с(г) можно интерпретировать как интенсивность кольцевых вихрей на диске, создающих разрыв касательных скоростей на диске и, соответ-
Для решения краевой задачи (1)-(4) воспользуемся стандартными методами, разработанными в
[5, 6]. ственно, гидродинамическое избыточное давление.
При решении осесиммметричных задач, как пра- для с (г) получим интегральное представление
вило, используется преобразование Ханкеля [7] 3
з Г 2 Р(а)
Г с(г)= I а -J1(гa)йа.
Г[ф(г, 2)](а, 2)= I гф(г, 2)J0(aг)йг = ф(а, 2). J /—р
0
0 После некоторых преобразований приходим к интег-
Здесь Jo, J1 - функции Бесселя. Обратное преобра- ральному уравнению для финитной функции с(г)
3 I с(?)к(г, я)йя = V2(г), г < а, (10)
1[ф( а, 2)](г, 2) = j аф(а, 2)Jo(aг)йа = ф(г, 2). 00
е
3
/2
-J0(га)J1(sа)йа, о = —. (11)
о - а g
0 где
3
0
Указанным преобразованием уравнение (1) сводит- 3 о $ а —2
ся к виду
й 2 ф
а ф + й22 ^ (5) Уравнение (10) с ядром (11) является разрешаю-
щим уравнением задачи.
3
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОГО ДИСКА
13
Гидродинамическое давление после решения уравнения (10) находится интегрированием
р ( г) = ¡рш У с( 5) йя.
Полная гидродинамическая сила давления определяется соотношением
'У гр( г) йг
N = 2г J гр(г)аг.
0
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯДРА ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
При построении численного решения методом дискретных вихрей (МДВ) [9] или с помощью квадратур Корнейчука [10] необходимо вычислять значения ядра (11). При этом интеграл в (11) следует рассматривать как интеграл в комплексной плоскости а = V + ¡х. Для вычисления контурных интегралов подобного вида в работе [8] предлагалось использовать процедуру разворота контура интегрирования, которая эффективна при наличии у подынтегральной функции мнимых полюсов. В нашем случае подынтегральная функция имеет один полюс, который, исходя из принципа предельного поглощения, сходит на положительную вещественную полуось сверху. При замыкании контура интегрирования на верхний или нижний квадрант (для выполнения требований леммы Жордана) необходимо переходить к интегрированию по мнимой полуоси. Здесь удобно использовать представление функций Бесселя J0(2) и J1(2) через функции Ханкеля 1-го и 2-го рода:
ЯГ( 2 )+ Я<2)( 2 )
Jn (2 )
2
к( г, 5) :
2о2
-5 | -
Г 1 V 2 + х2
0
,2 гтО),
К0(х ■ г)11(х ■ я)йх -
-I ГО2 яНо( г ■ V) J1( V ■ 5 ), г > 5
3
/^тЧ" 10(х ■ г)К 1(х ■ 5)ах -
2о
г ^ О2 + х2
-1ГО2sJ0(г ■ V)Н(1)(V ■ 5), г > 5
Здесь К0, К1 - функции Макдональда, 10,11 - функции Вебера.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Решение интегрального уравнения (10) находится в классе функций, ограниченных в центре диска и имеющих интегрируемую особенность на кромках диска.
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при применении МДВ имеет вид
- / С ук (гь ^ = (гЬ, п у=1
3 а 1 а
- —а) П' ^ = У 41 п
(12)
После решения СЛАУ (12) коэффициент нормальной гидродинамической силы N можно определить по формуле
1
N
Сп
2 3
рш а
г
Г 5 2 С (5 ) = — У 5 ) С у, п
0
у =1
На мнимых полуосях функции Бесселя переходят в функции Вебера, которые экспоненциально возрастают, а функции Ханкеля приводят к функциям Макдональда, экспоненциально убывающим при возрастании аргумента [11].
Соответствующие преобразования приводят к различным расчетным формулам для ядра к(г, 5) при г > 5 и г < 5:
здесь 5 = —, с =-- безразмерные величины.
а ш ■ а
Произведены расчеты для вертикальных колебаний диска
V = ¡шЬ,
где Ь % а - амплитуда колебаний диска.
На рисунке представлена зависимость действительной ^е), мнимой (1т) частей и модуля коэффициента нормальной силы гидродинамического давления на диск в зависимости от приведенной
- ш2 а частоты V =-.
g
-1
1 1 1
\сп\
^ 1тСп
-ЫеС„ 1 1
10
15
Рис. Зависимость действительной, мнимой частей и модуля коэффициента нормальной силы, действующей на колеблющийся диск, от приведенной частоты
г
0
14
И.И. ЕФРЕМОВ, Е.П. ЛУКАЩИК
При больших о, что соответствует большим частотам или невесомой жидкости, расчеты приближаются к точному результату [1, 2]
4 Ь 3
Cn (o )
при О " 3,
b = b.
Для малых v асимптотическое решение соответствует формуле
Cn (v )
r ■ b
при v " 0,
что в целом также подтверждается расчетами. Заметим, что соответствующие значения | Сп (о) |
„ п /Л Г $ Ь для плоской пластины [3, 4] имеют значения-
2Ь п 2
и - соответственно. При этом распределение
о
давления по длине пластины и по диаметру диска совпадает, принимая при больших частотах значения, пропорциональные - х2 (для диска л = г), а
прималых частотах - значения, близкие к константе Ь. Полная сила давления жидкости на диск при V
малых частотах колебаний близка к гидростатической:
| N |" рgh г а2, — " 0, а при больших частотах или малой весомости
IN I
4pra
œ2 b, v " з.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе решена гидродинамическая задача определения давления
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.