МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. С. А. КУЛИЕВ
КОЛЕБАНИЯ МНОГОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГЛОЙ ПОЛОСТЬЮ С ДВУМЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ
Рассматривается свободные изгибные колебания конечной изотропной пластинки, ограниченной снаружи многоугольником L2 (в частности квадратом, эллипсом, окружностью и т.д.), а изнутри — контуром L1 — окружностью радиуса г с двумя прямолинейным разрезами, симметрично расположенными на оси Ox. Пластинка жестко защемлена по всему наружному контуру L2, а внутренний контур L1 свободен.
Решение задачи колебания пластинки приводится к интегрированию дифференциального уравнения четвёртого порядка [2, 4, 5].
Метод, изложенный в данной работе для простых односвязных областей, известен из литературы [2, 4, 5, 11], но рассмотренный случай (двухсвязная область с разрезами) не рассматривался из-за неимения отображающих функций z = М^), сложных областей (двухсвязная область с различными прямолинейными разрезами). Впервые в научном мире такие отображаю-шие функции найдены нами в [6, 7, 8]. Полученное теоретическое решение иллюстрируются числовыми примерами.
Ключевые слова: колебания, прямолинейные разрезы, частота колебания, отображаюшая функция.
1. Постановка задачи и граничные условия. Рассмотрим свободные изгибные колебания многоугольной пластинки с жестко защемленным внешним контуром. Пластинка ограничена снаружи многоугольником L2, а изнутри — окружностью L1 радиуса г с двумя прямолинейными разрезами. Разрезы симметрично расположены по оси абсцисс. Концевые точки разрезов обозначены через ±e (фигура).
Как известно [1—5, 9—10], решение задачи колебания пластинки приводится к интегрированию дифференциального уравнения
д4 ^ 0 , у к д2 ^ п т . , ~ /Л Л.
— + 2—2—2 + — -Б— = 0 на ^, ] = 1,2... (1.1)
дх дх ду ду Б д ?
где w = w(x, у, 0 — прогиб пластинки, D = Eh3/[12(1 — V2)] — цилиндрическая жесткость, у — плотность, h — толщина пластинки, V — коэффициент Пуассона.
Уравнение (1.1) в безразмерных координатах x1 и у: представимо в виде:
дд^ - 82 — = 0 (1.2)
д /
л д2 , д2 х у о2 ук .4 ,,
Д = — + —; х1 = -; у1 = -; 8 = -—Л (1.3)
дхг д ух Л Л Б
где A = ^ + Ь)/2 — характерный размер многоугольника.
Так как внешний контур Ь2 жестко защемлен, то на нем должны выполняться граничные условия [2, 4]:
w = 0; dw / dn = 0
(1.4)
Так как внутренний контур Ь1 (окружность радиуса г с двумя прямолинейными разрезами) свободен от внешних нагрузок (т.е. боковая поверхность пластины не испытывает воздействия изгибающих и крутящих моментов, а также перерезывающих сил), то граничные условия на этом свободном крае будут иметь вид, предложенный Пуассоном
Мп = 0, 0п + д ИП1 /дз = 0 (1.5)
где Мп — изгибающий момент, Ип — крутящий момент, 0п — перерезывающая сила.
Так как на свободном крае главный вектор и главный момент И1 усилий, действующих на контуре отверстия, равны нулю, то имеют место следующие условия:
Мп = т (з) = 0, 0п + д Ип/д з = 0р (з) = 0 (1.6)
Подставляя в (1.5) или (1.6) значения изгибающих (Мп) и крутящих моментов (Ип ), а также значения перерезывающих сил, приведем эти условия к следуюшему виду [2, 7, 8]:
vAw + (1 - v)
Гд2w 2 d2w . 2 д2w . ^ — cos a + — sin a +-sin2a
Ld x2 д у2 д x д У -
dAw + 1 - v d dn
2 ds
д2w д2w] . 0 , 0 д2 w 0 ---sin2 a + 2-cos2 a
Ьчд y2 д x2 J д x дУ -
= 0
= 0
(1.7)
При выводе условий (1.7), учтено, что
22 Mn = Mxcos a + Mysin a + Hxysin2a
Hn = Hxycos2a - 1/2(Mx - My)sin2a
4 Механика твердого тела, № 6
97
Оп = Ох ее« а + Оу ^п а = -Б
дАж д п
М = -Б
д2 ж д2ж — + V—
■дх ду -
Нху = Нух = -Б (1 - V)
ЛдАы
Му = -Б
д2 ж
д2w д2 ж — + V—
■ ду дх -
(1.8)
Ох = -Б -
дхду дАж
, Оу = -Б
дх ду
д
д
52
w , д ж д д • д
а щ =--+--; — = ео8 а---+ 81п а- —
дх2 ду2 дп дх ду
где а — угол между внешней нормалью и положительным направлением оси Ох.
Теперь, если ввести комплекснозначную функцию т = + гт^ и комплексную переменную z = х + гу, то решение уравнения (1.2) в случае установившихся колебаний приводится к интегрированию следующих двух метагармонических уравнений [4, 5]:
[А + а2 ] w1 = 0, [А + (/а)2 ] = 0
а
= ю5 = юА2л/у к / Б = а *
(1.9)
ж(х, у, 1) = w(xь у1)е№ , ж(х1; у1) = ^ + ^
(1.10)
где ю — частота собственных колебаний пластинки, а* — приведенная частота собственных колебаний пластинки.
Если функции (] = 1, 2) удовлетворяют уравнениям
- а2Щ = 0
дгдг 1 1
(1.11)
и а: = а, а2 = га, то вещественная и мнимая части функций Щ и W2 удовлетворяют уравнениям (1.9).
2. Выбор аналитической функции. Найдя общее решение уравнения (1.11), тем самым найдем общее решение уравнений (1.9) в виде
= Яе Щ = 1/2 ( Щ + Щ) (2.1)
Как и в работах [4, 5, 9], функцию Щ будем искать в виде:
Щ1
= Щ(г, I) = x Фк, 1 ('г)гк
(2.2)
к = 0
Здесь ф^ у(г) — функции, голоморфные в области
Тогда равенство (1.2) с учетом (1.3) примет следующий вид:
да
^ = 2(Щ + Щ) = 2 X [1)гк + Фк, 1 (г)(г)к]
к=0
(2.3)
2
зо
Далее, подставляя выражение (1.4) в дифференциальное уравнение (1.11), и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях ^, получим
д
4 ( 1 + к ) д- ф- +1, / z ) + а ф- j (z ) = о
(2.4)
Интегрируя по z0z, где z0 — произвольная точка области (она может быть и равной нулю), получим
Фк +1, j ( Z ) = -
а,-
2 z
4( к + 1)
|Фк, j( z) dz
+ Cj
(2.5)
где — постоянная интегрирования. За точки z0 можно взять аффикс точек внутреннего контура L1, т.е. окружность радиуса r с двумя прямолинейными разрезами.
Функции ф^j(z) регулярные в рассматриваемой двухсвязной области s, представим их в виде [1, 3, 4, 5-8, 10]:
Фк, - ( z ) = £ <к ( z )-v + £ <к( Z )
(2.6)
v = 1
v = 0
aO) £v, к
= rv £ aj S-L - к, B«^ = £ в
(j)
\U) a(n) A~v
ка(п - v)/Na
(2.7)
к = 0
где N — число сторон многоугольника (число осей симметрии, причем форма колебаний пластинки симметрична относительно этих осей). Для эллипса N = 2. Величины
5-1, Ln, а^ определяются согласно работам [6—8].
Учитывая равенство (2.6), выражение (2.3) для функции прогиба Wj приводится к виду
=2 £
к = 0
£ А ( z )-v z- + £ j z )
(j) к
к(z) z
Lv = 0
v = 0
(2.8)
+
- £
к = 0
£ 4VV (z )к + £ BWXz )
Lv = 1
v = 0
Далее, подставляя разложение (2.6) в уравнение (2.4) и интегрируя, получим следующее равенство:
£ 4vv + £ Bjz = -
j „v
a;
v = 0
v = 0
4 ( 1 + к )
j + A?к ln z + £ Ajk -
j 1 z1 -v +
v = 2
- V
(2.9)
+ j + £ вУ к r
j 1 zv+1
v = 1
+V
+C
(j)
30
v
n = v
+
2
GO
6* 99
Приравнивая в (2.9) коэффициенты при одинаковых (положительных и отрицательных) степенях перменной г, т.е. коэффициенты при г- и гу, получим рекуррентные формулы для определения коэффициентов разложения функции ф^/г):
1
B(j) _ (__j 1 A(J) а + CJ) B0, n _ i - J A1, n - 1a + Cn - 1, V 4 J n
n _ 1, 2, ..., да; a _ ln R - V —
n
n, _ 1
j _ (-
B
0, n - k
+ -
j 1 (- 1 )
n + 1
4 J k!n(n - 1 )...(n - k + 1) V 4 J n! (n - 1)! k _ 1, 2, ..., n - 1; n _ 1, 2, ..., да
Aj
n, 0
A" _ (- j 1
(-1 )"
4 J n!k(k + 1)...(k + n - 1)
A(j)
Ak + n, 0
(2.10)
Bin _ (- j 1 xA-.+(-f) 11 Bj-...-.
k > n; k _ 1, 2, ..., да; n _ 1, 2, ..., да
При получении этой формулы учтено, что функцию ln z можно разложить по степеням переменной z следующим образом:
ln z _ ln (z + A - A) _ ln
A1-
A - z
_ lnA + ln
1-
A - z
_ ln A + 1-1VA - z
nJV A
_ lnA -1 1 - z) 1 _ a + Xnz , Xn
AJn
1 n1 n n -
_ -1 V (-1 YdA-1
Итак, имеем
lnz _ a + Xnz"; n1 _ 1, ..., да, n _ 0, 1, ....
(2.11)
Таким образом, функция прогиба т на основе равенств (1.10) и (2.8) будет определяться формулой:
w
+
_ 2 V i V
j = 1 k = 0
да да
V Ajk (z )-vzk + V Bjk (z )vzk
■v _ 1 v _ 0
+
(2.12)
v
V A W (z)k + V B^Z (z)
k _ 01- v _ 1
v _ 0
k
n
n
2
да
да
да
да
При выводе этой формулы учтено, что в данной задаче в силу силовой и геометрической симметрии Л = Л и B(Jjk = В .
3. Выбор отображающих функций. Чтобы найти значение функции прогиба w на
внешнем и внутреннем контурах L2 и L1, нужно выразить , zk через отображающую функцию г = f
Внешность многоугольника L2 отображается на внешность единичной окружности в плоскости с помощью функции [1, 2, 6—8]:
z = л (-2 + т) = л-2 £ тп -
%2
п ^ -пЫ 2
I = 0
(3.1)
а а + Ь Л = -; т =
а - Ь
а + Ь
где = р2е'е, где р2 и 9 — полярные координаты, N — число осей симметрии (число сторон многоугольника L2), а и Ь — радиусы окружностей описанной и вписанной в многоугольник L2.
Функция, обратная к отображающей функции (3.1), найдена в виде [6—8]:
-2 = хю = Л £
пЫ
(3.2)
I = 0
Значения величин ап для каждого конкретного контура (эллипс, квадрат, шестиугольник) определяются согласно работам [6—8].
Внешность внутреннего контура L1 — окружность радиуса г с двумя прямолинейными разрезами, отображается на внешность единичной окружности с помощью функции [6—8]:
z = г- £ Уп- (3.3)
п = 0
Функция \ = х(г), обратная к этой отображающей функции (3.3), найдена в виде [6—8]:
-1 = ; £ 8п-10П (3.4)
0
В формулах (3.2) и (3.3) приняты следующие обозначения:
,1 -k
Уп-1 = £ *2М-1 )&/2С/2(2) - С^Т
k = о
5п-1 = £ *2Х(-1 )k/2Ck;221-kC-nk++kl)
(3.5)
k = о
1 при к = 0 1/2 при &Ф 0'
22 е + г . ,
6 = -> 1
2ег
30
3
а
п
30
п
При V = 2п + 1 имеем уу _ : = 0 и 8У _: = 0; а при V Ф 2п + 1 имеем уу _: Ф 0 и 8У _ : Ф 0; п = 0, 1, ... да.
Учитывая разложение (3.1) в формуле (2.12), значение прогиба т на внешнем контуре Ь2 (на многоугольнике) после некоторых математических преобразований будет иметь следующий вид:
w
+
=21 ] i
1 - 1 ч = 0
да да
11 (г )-vzk + 11 а )У
■V = 1
V = 0
+
i
I 4кГ'( г )к + 1(г)к
к - 0 I- V = 1
V = 0
2 Г" да
1 I ¡в" 2к, - п
= 11] i (г""'1 + г"""'1 )[р2к1 -П1 б, ("1' к1) + р" -2к1 к1) +
1 - 1 х = о
- п - 2к,
-"1-2к1 „ , , ч, , ¡Вп, -(0^ 2к1-, ч
+ Р А("1, к)] + I (г + г )[р б, (Vl' к1) +
у1 = о
+ pVl +2к1к1) + pVl -^(Vl' к1) + р2к1 -VlS4(Vl' к1) +
V - 2 к
V - 2к,
+ Р 1 ^(Vl' к1) + Р 1 X(Vl' к1)]
(3.6)
Б
1 (_Ь "1) = i ^(к^, к)Тг(п1 - кь V)
к1 = 0
Б
2(к1' "1) = I Т3(к1'^ к) Т2(к1 - n1'v)
к1 = "1
Бз(к1' "1) = I Тз(к^, к) Т2(к, + "1' V), Т(к1' к) = I
^ - 1 1т - 1т N
к - 1
Т2(к1' k'v) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.