МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 532.68
КОЛЕБАНИЯ ОТОРВАВШЕЙСЯ ОТ ПЕРЕМЫЧКИ КАПЛИ ВОДЫ
© 2015 г. А. И. КОРШУНОВ
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва e-mail: fallex@inbox.ru
Поступила в редакцию 25.12.2014 г.
Представлена методика расчета, позволяющая предсказать поведение крупно- и мелкомасштабных капиллярных деформаций на поверхности капли воды после отрыва. Расчетная схема основана на решении Рэлея для колебаний капли идеальной несжимаемой жидкости и позволяет получить результаты, отличающиеся от экспериментальных данных не более 5%.
Ключевые слова: капля, поверхностное натяжение, колебания.
Процессы отрыва капли играют большую роль во многих практических приложениях: струйные печать и напыление покрытий [1, 2], обработка пищи [3], охлаждение разбрызгиванием [4] и распыление пестицидов [5]. В последние годы капли находят все новые и новые применения в высокотехнологичной промышленности в качестве миниатюрных высокоэффективных химических реакторов [6] или даже микролинз с переменным фокусным расстоянием [7]. Процессы распада капель играют важную роль в динамике обмена веществом между атмосферой и гидросферой, а также используются для создания больших объемов капельных взвесей в воздухе.
Исследования колебаний капель начаты в конце XIX века лордом Рэлеем, который вывел свою знаменитую формулу для частоты собственных капиллярных колебаний сферической капли [8]. На практике анализ свойств полученного им решения обычно ограничивается рассмотрением нескольких первых мод. Проведенные недавно с использованием высокоскоростной видеосъемки эксперименты демонстрируют наличие ранее недоступных для детального исследования капиллярных мелкомасштабных деформаций, которым соответствуют высокие моды осцилляций и быстрые перемещения области максимальных отклонений [9]. Учет высоких мод представляет интерес с целью определения закономерностей взаимодействия капли с потоком воздуха [10].
Цель данной работы — разработка численной схемы, позволяющей предсказывать временную эволюцию мелкомасштабных деформаций на поверхности капли воды, возникающих при отрыве от перемычки, а также сравнение полученных расчетных форм с реально наблюдаемыми.
1. Расчетная схема. Согласно классическому решению Рэлея о собственных колебаниях капли идеальной несжимаемой жидкости [8], потенциал скорости записывается как
Ф= ^ (A„ cos ant + Bn sin rn„t)rnP„(cos Q) (1.1)
n=2
где юи = ^na(n - 1)(n + 2)/pR3 — частота колебаний и-й моды, An и Bn — коэффициенты, зависящие от начальных условий, Pn — полином Лежандра и-го порядка, а — коэффициент поверхностного натяжения, р — плотность жидкости, R — радиус капли.
Для масштабов = D, 5СТ = <Ja/pD (D — диаметр капли) начальные условия задаются двумя безразмерными функциями Ç =Q = 5Df (9), ÇJ11=0 = 5СТg(9), где £(9, t) — возмущение на поверхности капли.
Поскольку скорость на поверхности капли vr\r=R = , из (1.1) следует
3t=о = 8 D Е — (-Btt)nRn-lPn(cos 6) Çt\t =0 = Е AnR"-1Pn(cOS 6)
t =0 — ^ п-г ®n
2 (1.2)
Коэффициенты An и Bn находятся из разложения по полиномам Лежандра
71
An = íg(6)P«(cos 9)sin 9d9
2nR °
° (1.3)
71
Bn = -ffln íf (9)Pn(cos 9) sin 9d9
2nR °
Таким образом, зная изначальное возмущение капли и распределение скоростей по ее поверхности, можно найти ее форму во все последующие моменты времени. Вид функций f (9) и g(9) подбирался методом проб и ошибок на основании анализа изображений капли в момент отрыва. Затем проводился расчет коэффициентов An, Bn по формулам (1.3), после чего считалась сумма рядов (1.2) для заданного числа мод.
Из эксперимента следует, что возмущения порождаются ударом втягивающегося в каплю остатка перемычки, изначально соединявшей каплю с жидкостью дозатора. Отмечено, что сразу после отрыва примыкающая к капле часть перемычки превращается в узкий конический шип. Распределение скорости на поверхности этого шипа также имеет коническую форму: равномерно спадает от максимальной на вершине до практически нулевой у основания конуса.
Для капель воды хорошо совпадающие с экспериментальными данными результаты получаются при выборе следующих кусочно-непрерывных функций
_ ÍQ(1 - sin(k0)) + Mcos(20), 0 < а
f M cos(20), 0 > а
,пч ÍI(sm(k0) -1), 0 < а
g(0) _! n 0> [ °, 0 > а
где в случае воды Q = °.33, M = °.°7, L = 0.3, k = 8, а = п/16.
Угол а определяет максимальную величину основания конуса перемычки, а коэффициент M позволяет описать изначальную вытянутость капли.
Фотография капли воды в начальный момент времени и ее аналитическое представление, полученное с помощью вышеозначенных функций, а также сами функции представлены на фиг. 1.
Для того чтобы представленная расчетная схема позволяла с необходимой для сравнительного анализа точностью описывать переменную форму капель, а точнее круго-
n-г
Фиг. 1. (а, б) Фотографии капли воды и схемы течения в момент отрыва с наложенной расчетной кривой (в, г). Графики функций С + /(9) и С + ^(9) при С = 1, а = п/16, 0 = 0.33,1 = 0.3, к = 8, М = 0.07
вые капиллярные мелкомасштабные деформации, порожденные ударом конца перемычки, пришлось учитывать до 100 колебательных мод при вычислении суммы рядов (1.2).
2. Обработка данных. Для проверки численной модели проводилась покадровая обработка данных высокоскоростной видеосъемки процесса отрыва капель воды, полученных с помощью видеокамеры Ор1гош8 СЯ600х2 (скорость съемки 10000 кадров/с), которые ранее частично использовались для траекторных измерений движения капель и сателлитов [11]. Сравнительный анализ теоретически полученных кривых, описывающих форму капли, и экспериментальных данных проводился в несколько этапов.
Полученные по материалам видеосъемки кадры падения капли обрабатывались по алгоритму Собеля определения границ [12]. Данная процедура позволяла получить контуры капли. Полученные бинарные изображения затем подвергались заливке цве-
3.1 мс 5.1 мс 7.3 мс 9.7 мс 12.2 мс 14.7 мс 17.2 мс
СЭОООООО
Фиг. 2. Результаты численного моделирования формы капли воды диаметром 5 мм. Верхний ряд изображений — фотография капли, совмещенная с рассчитанным контуром. Нижний ряд — полученные путем обработки бинарные изображения, совмещенные с вычисленным контуром капли
том с учетом того, что выпуклости и впадины на реальных фотографиях не видны. Аналогичная заливка использовалась для изображений капли, полученных в процессе численного моделирования.
Далее проводилось наложение изображений с учетом движения центра капли во время падения, и высчитывался коэффициент различия путем применения к паре бинарных изображений логической операции "исключающее ИЛИ"
Х = 1 X Р1(1,])ХОЯр2(1,]) N = X лО N
1=1..у, у=1..Х 1=1..У, у=1..Х
где рр р2 — бинарные функции, хранящие значения пикселей, X, У — ширина и высота, а N — общая площадь капли, выраженная в количестве точек, содержащихся в ее изображении, полученном из данных эксперимента.
Введенный таким образом численный критерий используется для оценки эффективности выбора функций /(9) и ^(9), используемых для описания начальных условий (1.2).
3. Результаты. На фиг. 2 представлены результаты численного моделирования отрыва капли воды диаметром 5 мм.
Видно, что по поверхности капли распространяется группа мелкомасштабных деформаций. Эти возмущения сходятся в нижней точке капли, интерферируют, затем бегут вверх и сходятся в верхней точке.
Результаты численного моделирования достаточно хорошо отражают динамику распространения этих деформаций. Сравнение с экспериментом показывает, что значение коэффициента А не превышает 0.05, что отвечает расхождению в пределах 5%.
Отметим, что расчетные кривые содержат в себе большее число мелких деталей, неразличимых на фотографиях. Это может быть вызвано недостаточным разрешением фотосъемки, а также тем, что модель не учитывает вязкость реальной жидкости, которая и подавляет высокочастотные моды. Вязкость можно учесть, не прибегая к численному решению уравнений Навье—Стокса, а используя небольшую модификацию формулы (1.1). Для этого достаточно каждый член ряда умножить на экспоненту, показатель которой зависит в общем случае от номера моды п и от вязкости жидкости.
Заключение. Анализ кадров высокоскоростной видеосъемки показывает, что источником колебаний формы оторвавшейся капли служит быстро втягивающийся маленький остаток разорвавшейся перемычки.
Изв. РАН. Механика жидкости и газа, № 4, 2015
143
Разработана численная схема, учитывающая высокие моды осцилляций и позволяющая рассчитывать временную эволюцию формы капли невязкой жидкости после отрыва, а также поведение и основные характеристики капиллярных крупно- и мелкомасштабных деформаций, образующихся на поверхности капли сразу после отрыва.
Рассчитанная динамика изменений форм капли воды удовлетворительно согласуется с наблюдениями.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РАН (Программа ОЭММПУ РАН IV.4.4 "Динамика формирования и взаимодействия волн и вихрей в сплошных средах") и РФФИ (грант № 15-01-09235).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Badie R., de Lange D.F. Mechanism of drop constriction in a drop-on-demand inkjet system // Proc. Math Phys. Eng. Sci. 1997. V. 453. P. 2573-2581.
2. Shield T.W., Bogy D.B., Talke F.E. A numerical comparison of one-dimensional fluid jet models applied to drop-on-demand printing // J. Comput. Phys. 1986. V. 67. P. 324-347.
3. Eggers J. Nonlinear dynamics and breakup of free-surface flows // Rev. Mod. Phys. 1997. V. 69. P. 865.
4. Kizito J.P., Vander-WalR.L., Tryggvason G. Effects of splashing droplets on spray cooling processes // Proc. IMECE2004. ASME Proc. Heat Transfer. 2004. V. 1. P. 149-153.
5. Spillman J.J. Spray impaction, retention and adhesion — an introduction to basic characteristics // Pesticide Sci. 1984. V 15. № 2. P. 97-106.
6. Chen D.L., Li L., Reyes S., Adamson D.N., Ismagilov R.F. Using three-phase flow of immiscible liquids to prevent coalescence of droplets in microfluidic channels: criteria to identify the third liquid and validation with protein crystallization // Langmuir. 2007. V. 23. P. 2255.
7. Cheng C.C., Chang C.A., Yeh J.A. Variable focu
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.