КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
539.3
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ
СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ: АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
© 2015 г. С. О. Папков
Севастопольский национальный технический университет Севастополь, ул. Университетская 33 E-mail: stanislav.papkov@gmail.com Поступила в редакцию 02.06.2014 г.
Получено новое асимптотически точное решение задачи о поперечных колебаниях прямоугольной ортотропной пластины со свободными краями. Общее решение уравнения колебаний строится в форме суммы рядов Фурье с неопределенными коэффициентами, которые связаны посредством однородной квазирегулярной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Анализ бесконечной системы позволяет найти степенную асимптотику нетривиального решения системы, что дает возможность вычислить собственные частоты колебаний и построить соответствующие им собственные формы. Приводятся примеры численной реализации для реальных материалов.
Ключевые слова: прямоугольная ортотропная пластина, фигуры Хладни, бесконечная система линейных уравнений, асимптотика.
DOI: 10.7868/S0320791915010086
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 2, с. 152-160
УДК
ВВЕДЕНИЕ
Задача о свободных поперечных колебаниях прямоугольной пластины относится к числу старейших классических проблем. Еще в начале XIX века опыты с демонстрацией фигур Хладни [1] благодаря эстетическому аспекту привлекли внимание широкой общественности к проблеме колебания пластин. Попытки математического описания проблемы, в свою очередь, дали мощный толчок к развитию аппарата математической физики.
Точные аналитические решения всегда вызывают повышенный интерес [2, 3]. Тем не менее, несмотря на долгую историю и посвященные указанной проблеме сотни работ на основе различных подходов, задача о поперечных колебаниях прямоугольных пластин имеет точное решение в форме рядов Фурье (решения типа Levy) лишь в случае, когда две противоположные стороны пластины являются шарнирно-опертыми [4, 5]. В других случаях закрепления сторон пластины переменные в краевой задаче не разделяются. Попытки преодолеть данное препятствие не прекращаются и сегодня. В частности, отметим спорную работу [6], где используется новый метод dual separation of variables применительно к полностью защемленной ортотропной пластине.
Использование техники классического разделения переменных позволяет построить общее решение уравнения колебаний в виде суммы
частных решений, что приводит для произвольных граничных условий к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих рядов. При исследовании колебаний прямоугольных пластин со свободными краями данный подход был использован впервые [7]. Более известной модификацией данного подхода к определению собственных частот прямоугольных пластин является method of superposition, который был развит в [8]. Здесь решение строится в виде конечной суммы частных решений, что позволяет получить, благодаря искусственному усечению бесконечных рядов, конечную систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. В работе [9] используются решения типа Levy в форме неурезанных бесконечных рядов для исследования гибких колебаний и устойчивости прямоугольных пластин в случае произвольных граничных условий.
Чрезвычайная важность прямоугольной пластины как элемента в структурной механике и инженерных приложениях привела к появлению большого числа работ, где проблема колебаний изучалась на основе различных подходов. Одним из них является метод Ритца, который первоначально был предложен [10] для решения задачи колебаний изотропной пластины с полностью свободными краями. Различные модификации вариационного подхода позволяют найти приближенные решения для ряда задач колебаний и устойчивости прямоугольных пластин [4]. В част-
ности, в статье [11] метод Рэлея—Ритца используется для исследования влияния сложной нагрузки в плоскости пластины на ее колебания и устойчивость. Колебания и устойчивость симметрично -ламинированных композитных прямоугольных плит под действием сил в ее плоскости исследовались [12] на основе метода Рэлея—Ритца и finite strip method. Приложение метода конечных элементов для исследования колебаний ортотропных пластин дается в работах [13, 14], метода Канторовича — в [15], метода функции Грина — в [16].
В представленной работе задача о колебаниях ортотропной прямоугольной пластины со свободными краями сводится к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. На основе авторского обобщения закона асимптотических выражений Б.М. Кояловича [17, 18] найден степенной закон убывания нетривиального решения данной системы, что позволяет построить эффективный алгоритм вычисления собственных частот и форм пластины.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотрим прямоугольную ортотропную пластину {(x,y) е [-a;a] х [-b;b]} толщины h. Согласно [19], упругие свойства материала можно описать при помощи четырех упругих констант, например, с помощью модуля Юнга E1 вдоль направления оси х, модуля сдвига G и двух коэффициентов Пуассона v12 и v21. Тогда уравнение свободных поперечных колебаний пластины в приближении классической теории Кирхгофа—Лява может быть записано относительно прогиба пластины w(x, y, t) = W(x, y)emt:
n д4W , on d4W . n д4W n /i\
D1-T- + 2Д , 2 + Dj—-T - D1Q. W = 0, (1)
dx
dx2dy2
dy
где О = 4ы — безразмерный частотный параметр, р — плотность материала, ю — круговая частота;
D =
Eh
12(1 -V12V21)
D2 =
V2iEih
12vi2(1 -V12V21)
D3 = D12 + 2D6
y66>
D66 =
Gh_ 12
D12 = v,,D,.
12^2-
Граничные условия свободного края на сторонах х = ±а имеют вид
Mx =-
D, dW + Da I = 0,
dx
dy
Vx =-
D1 dW + (D3 + 2D66) дW
dx
дxdy'
(2)
= 0
на сторонах y = ±b:
My =-
D12 ^W + D2 ¿W 1 = 0,
dx
dy
Vy=-
D fW + (D + 2D«) fW
dy dx dy
(3)
= 0.
Общее решение задачи может быть представлено в виде суммы четных и нечетных составляющих по каждой из координат:
W = X Wj
(4)
kj=0
где Ж00 является четной по обеим координатам, Ж01 — четная по х и нечетная по у, и т.п.
Используя стандартную технику разделения переменных, общее решение уравнения колебаний (1) для каждого случая симметрии может быть записано в виде суммы двух рядов Фурье с неопределенными коэффициентами
Wkj = X (AnHj(Pnky) + ВпНj(pnky))Tk(aпкх) ■
n=1
ж
(5)
+ X (CnHk(qnJx) + DnHk (qnjx))Tj(e nJy),
n=1
где тригонометрические и гиперболические функции обозначены как
(cos z, j = 0, (eh z, j = 0,
Tj(z) = \ . . л H(z) = \ , . ,
[sin z, j = 1, [sh z, j = 1.
Константы разделения выбираются в форме, обеспечивающей полноту решения (5) на границе пластины:
a * = П (n - 1 + 2), Pnj=f(n -1
(6)
Величины рпк, рпк и ^ являются корнями следующих характеристических уравнений:
D2p4 - 2D3a2p2 + D1 (a4 - Q4) = 0,
D1q4 - 2D3 p2q2 + D2p4 - D1Q4 = 0, которые легко выражаются аналитически:
q =
q =
D3a2 W (D2- - D1D2)a4 + D1D2Q4
D2
D3a2 -J (D32 - AD2)a4 + D1D2Q4
D2
D3P2 W (D2 - AD2)p4 + D2Q4
V D2 '
D3P2 W (D2 - D1D2)p4 + d2q4
(7)
(8)
(9)
(10)
A
В зависимости от знаков подкоренных выражений величины (9), (10) могут быть, вообще го-
ж
воря, комплексными. Однако в силу соотношений теоремы Виета для уравнений (7), (8) выражения
Р1(а
пк
2 ) 2 ' Чш] Аапк
чШ) = А(Р2
ш]
-рПк ХР2
Ш]
-рПк) =
= А аПк + 2^3 аПквШ, + РФШ - А^4
(11)
Ап —
Вп —
Сп =
Хп
(-1)„^А (А РПк - (Рз + 2Рбб)а Пк)
2Р2РпкН'(РпкЬ)(рп2к - РПк) (-1)"^ (Ар1к - (Рз + 2Рбб)аПк)
2Р2РпН)(РпкЬ)(рПк - Р1к) (-1)„а^ (- (Рз + 2Рбб)вП])
Х
2Р1Чп]Н,к(Яп]0)(я1]
2 ч ' Чщ)
У„,
р _ (- 1)"+1^УРЛ (Щ - (Рз + 2Рбб)вЩ ) у
Рп = '22
2Р1ЧП]Нк(яП]а)(я„] - Чщ) указанные условия выполняются тождественно.
Условия на моменты Мх и Му дают два функциональных уравнения вида
ЬА. V Хп ^ А
¿—¡Р 2
„=1 Рпк
2
' рпк
(Р2Р„к - (Рз + 2Рбб)а„к)(Р12Р„к - А«„к) Н](рпкУ)
„ р„к Н](р„кЬ)
\
(Р2Р„к - (Рз + 2Рбб)«„к)(Р12рП!к - АаПк) Н](р„ку) Рпк Н'(РпкЬ),
_ V НуХ v
Р1 ш=1 Чш - Ч
ш
АЧш - (Рз + 2Рбб)Рш/)(А4ш/ - Р12ршу)Нк(Чш,а)
Ч,
Ш]
Нк(йш,а)
(АчШ - (Рз + 2Рбб)рШ])(Р1Ч,Ш- - Р12РШ])Нк(дщО)
Ч
Ш]
Нк(Чща)у
х Г;(Рш]У), У е [-Ь; Ь],
^ш] Ш]
обязательно являются действительными.
Общее решение (4), (5) точно удовлетворяет уравнению колебаний (1) и имеет достаточный произвол для выполнения любых заданных граничных условий. В случае свободных краев пластины условия (2) и (3) на нормальные реакции Ух и Уу могут быть выполнены точно. Действительно, из (6) следует, что для любого типа симметрии
Т'к(а пка) = Т](в п]Ь) = 0. Тогда при выборе неопределенных коэффициентов в форме
П ¿-^ — 2 2
Р1 „=1 Ч„2 - Ч^ (АЧЩ - (Рз + 2Рбб)Р„/)(Р12Ч]- - АРЩ) .
„ Чп]
Нк(Ч„]Х) X----
Н'к(Ч„]аа
(РаЩ - (Рз + 2Р66)рп].)(Р12Ч„;- - АРЩ) ^
Нк (ЧщХ)
Н'к(Чща) у
_ьУА V (-1)ШХщ
Р
¿-1—2
2 Ш_1 рШк рШк
\Р2рШк - (Рз + 2Рбб)аШк)(Р2РШк - Р12аШк) ;
рШк
Н]( РткЬ)
X —---
Н](РшкЬ)
(Р2РШк - (Рз + 2Рбб)аШк)(Р2РШк - Р12аШк) ,
. Н](РШкЬ) Н ЖкЬ)
РШк
Тк(аткХ), х е [-а;а].
Данные равенства после разложения входящих в них гиперболических функций по тригонометрическим
нк (дх) Н'к(да)
(-1)Ш+1(2 - 5^о51ш)
1 , Ш=1
да
2 2 аШк + Ч
\Ш+1/
Тк(ашкх),
= Р Т( в
Н'(РЬ) ЬШ., К + Р и перестановки порядка суммирования в левой части равенств приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно последовательностей {Х„}„=1 и {Г„}"=1: 2 - 5 /об1
У =
-у'051щ
2aAШ^/Р^
V
(4Рб2б + Р1Р2 - Рз2)рШ]а„к + А2АО
2=1
(а „к + Чш^ (а „к + Чш])
2 - 5к051ш
-Х2
Хш —
2ЬА Шл/Р^
х
(12)
х V (4Рбб + Р1Р2 - Рз/)Р;аШк + Р12Р1^4У
2=1
(Рп] + Ршк)(Р щ + Ршк ) (Ш — 1,2,...).
ТО
2]
Ж
х
Здесь дт„ — символ Кронекера,
Л1 _ Hk(qmja) w
Л m = ; х
Hk(qmja) w (D!mj - (D + 2D66)pmj)(Diqmj
2D1qmj (qmj - qmj )
Hk ШщО)
---— X
H'k(Qmja)
X (Diq2mj - (D + 2D66)Pmy-- DA)
2D1qmj (qmj -
qmj )
* 2 _ Hj (Pmkb) x
* m _ ; x
Hj (Pmkb)
x (D2pjk - (D + 2D66)ajk)(D2pmk - Dijajk) -
2D2pmk(pmk - pmk)
Hj ( ~Pmkb)
----X
Hj (Pmkb)
X (D2plk - (D3 + 2D66)ajk)(D2pmk - Di2ajk).
2D2pmk(pmk - pmk)
Заметим, что выражения Am , Am обязательно являются действительными для любой комбинации параметров зада
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.