МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. К. В. АБРАМОВ, И. Д. БРЕСЛАВСКИЙ
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ДВУМЯ СВОБОДНО ОПЕРТЫМИ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ КРАЯМИ
В статье аналитически найдены точные собственные формы линейных колебаний прямоугольной в плане пологой оболочки с двумя свободно опертыми противоположными краями. Эти формы использованы для получения дискретной модели колебаний пологой оболочки при геометрически нелинейном деформировании. Методом гармонического баланса исследованы свободные и вынужденные нелинейные колебания при внутреннем резонансе. Анализируется устойчивость по Ляпунову полученных периодических колебаний.
Ключевые слова: пологие оболочки, нелинейные колебания, внутренний резонанс, устойчивость движения.
1. Введение. Элементы летательных аппаратов, лопаток паровых и газовых турбин, лопастей гидротурбомашин моделируются тонкими оболочками. Вследствие сравнительно малых изгибных жесткостей, такие конструкции совершают поперечные колебания с амплитудами, соизмеримыми с толщиной, что описывается геометрически нелинейной теорией изгиба.
Одной из первых работ по динамике пологих оболочек была статья [1], где исследованы колебания цилиндрической панели, шарнирно опертой по всем сторонам с умеренными амплитудами. Для анализа динамики использована двухмодовая аппроксимация движения. В [2] изучены линейные и нелинейные свободные колебания пологой, шарнирно-опертой по всем сторонам панели. Предполагалось, что она имеет различные параметры кривизны в двух ортогональных направлениях. В статье использовалась система с одной степенью свободы, описывающая одномодовое приближение колебаний. В [3] исследованы нелинейные колебания шарнирно опертой цилиндрической панели. Предполагалось, что колебания возбуждаются начальным отклонением от положения равновесия. В статье [4] рассматривались вынужденные колебания с умеренными амплитудами в случае внутреннего резонанса прямоугольных в плане пологих оболочек двойной кривизны. В [5] даны точные выражения для собственных форм колебаний прямоугольной пластинки, два противоположных края которой шарнирно оперты. В статье [6] получены аналогичные выражения для незамкнутых круговых цилиндрических оболочек. В [7] высказано предположение, что точные собственные формы колебаний пологих оболочек произвольной кривизны могут быть получены с помощью уравнений движения, записанных относительно функции напряжений.
В публикуемой статье исследуются свободные и вынужденные колебания пологой цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по двум противоположным краям и свободной на двух остальных. Получены аналитически точные формы линейных колебаний оболочек произвольной кривизны с двумя свободно опертыми противоположными краями. Для исследования колебаний с умеренными амплитудами движения оболочки раскладываются по этим точным модам. Получена нелинейная дис-
Фиг. 1
кретная модель колебаний с двумя степенями свободы, которая исследуется методом гармонического баланса.
2. Постановка задачи. Рассмотрим вынужденные нелинейные колебания пологой, прямоугольной в плане оболочки с двумя свободно опертыми краями (фиг. 1), находящейся под воздействием сосредоточенной периодической силы. Исследуются тонкие оболочки; поэтому сдвигом и инерцией вращения можно пренебречь. Так как в таких оболочках собственные частоты продольных колебаний значительно выше изгибных, то продольные колебания не рассматриваются. Колебания таких оболочек опишем уравнениями Доннелла—Муштари—Власова в перемещениях [8]:
д2и , 1 -\д2и , 1 + у д2и /, , , , дмд2м ,
■ +---т +----(к1 + \к2 ) — + —--1 +
2
1 ду 1 дхду
дх
2 2 + 1 + у дм д м +1 -удм д м
2 ду дхду 2 дх ду2
дх дх дх
12 -,2 Л 2 +1 -у
е дг2 ен '
= 0
(2.1)
д 2и + +1- (к2 + дж ^ +
ду
2 дх1 2 дхду
2 2 + 1 + удм д м +1 -удмд м
2 дх дхду
2 ду дх
2 , 2
2
ду ду ду
12 -л2 1 2
- -у д и +1-V
Е дг2
ЕН
Ру = 0
1 -V2д2м , 1 -V2 , Н^т-н , , \ди , , \дг , +-# + — V м-(к1 + vk2)--(к2 +vk1)--+
Е дг2 ЕН + (к]2 + к2 + к1 к2) м -
12 дх ду
(к1 ^ к2) (дм)2 - (к2+V к1) )
2 (дх) 2 [ду
д [дм дх [дх
д | дм ду [ду
+ v— - {к1 + vk2 ду 1 '
1 - vдw
уди + ди
дх ду
- {к2 + V к1} м
2 ду 1 - vдw
2 дх
ди + ди ду дх _
ди + ди _ду дх_
(2.2)
(2.3)
^ = 0 , (х, у) е 5
где и, и, м — перемещения точек оболочки в направлениях х, у, I, соответственно; E, V, р — модуль упругости, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки; k1 и
0
у
^ — кривизны срединной поверхности оболочки в направлениях х и у; h — толщина оболочки; рх, ру, ^ — интенсивность внешних нагрузок, приложенных к элементу по направлениям х, у, I.
Предполагается, что на краях у = 0 и у = * выполняются граничные условия Навье [7], а края х = 0 и х = ^ — свободны:
Чу=0Л = 0, Му|у=0Л = *у\у=0,а1 = 0, «Ц* = 0 (24)
(Ох + дМху/ду)| х=0,„2 = 0 Мх|х=0*2 = 0. Кх\х=0* = 0
(Мху + к2Мху )| х=0*2 = 0 (2.5)
где N — мембранные усилия; Mх, M , Mхy — изгибающие моменты; Qх — перере-
зывающая сила [7].
3. Свободные линейные колебания. Для анализа нелинейных колебаний необходимо найти собственные формы и частоты линейных колебаний. В уравнениях (2.1)—(2.3) отбросим нелинейные слагаемые и положим рх = ру = ^ = 0. Линейные периодические колебания имеют вид
и (х, у, г) = и (х, у) ехр (Юг), и (х, у, г) = и (х, у) ехр (Шг)
ж (х, у, г) = ж (х, у) ехр (Юг)
Рассмотрим оболочку, которая на краях у = 0 и у = * удовлетворяет условиям (2.4), а на краях х = 0 и х = a2 имеет произвольные граничные условия. Тогда собственные формы колебаний оболочки представим так:
Щх, y) = sin ^J X aC exp ^J (3.1)
u(x, y) = sin ^^J X a 2iCi exp U(x, y) = cos ^П^) 2 a 3tct exp j^)
После подстановки (3.1) в линейные уравнения (2.1)—(2.3) и разделения переменных получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно a1¿, a2i, a3i, i = 1, ..8. Приравнивая нулю ее определитель, получаем характеристическое уравнение системы:
2 ,,222 .(, 2 4 4 и .Лтсст.2 ~п2п Л
,8 h ,6h n п
Л ITT-Л ~ТГ + Л 2 4а 2 6а1 а 2
h2n4п4 + [1 - v2] [0.5Ek2 -pQ2]
А 4 4 + г 4
4а1 а2 Еа2
,2 8 8 , h n П , Л 2 +-— + Л
24а8
( h2пп + п2п2[1 -v2][-Ek1k2 + 2pQ2]Л
6 2 т-г 2 2
6а1 а2 Еа1 а2
(3.2)
+ иУ(1 -V2)(0.5Ек2 -Р^2) = 0 Е*4
Корни характеристического уравнения являются функциями искомой частоты Так как уравнение (3.2) содержит только четные степени X, то оно может быть сведено к уравнению четвертой степени, и зависимости (О) могут быть найдены явно. Ко-
Таблица 1
1 —, м к2 П = 1 П = 2 п = 3
154.9 619.8 1394.7
® [9] 370.9 915.7 1722.6
1223 1847 2750.5
154.9 619.9 1394.7
20 369.8 909.7 1708.4
1244.7 1848.8 2732.9
154.9 619.9 1394.7
5 368.6 909.4 1708.3
1701.6 2045.7 2795.7
154.9 619.9 1394.7
2.5 366.6 908.8 1708.2
2254.5 2330.6 2894.8
154.9 619.9 1394.7
1.25 356.7 905.3 1706.8
3981.4 3401.3 3340.8
эффициенты а1(-, а2(-, а31 являются ненулевым решением соответствующей системы линейных уравнений. Подчеркнем, что и а1(-, а2г, а3(- являются комплексными.
Решения в виде (3.1) удовлетворяют условиям на краях х = 0 и х = »2, что приводит к однородной системе восьми линейных алгебраических уравнений относительно Ci. Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем частотное уравнение. После нахождения ^ из частотного уравнения, из системы линейных алгебраических уравнений определяются параметры Ci.
Приведенный метод является развитием метода, использованного в [5, 6] на новый класс объектов — пологие оболочки произвольной кривизны. Предложенный способ получения точных собственных форм колебаний, в отличие от подхода из [7], учитывает последнее из условий (2.4). Собственные формы удовлетворяют всем условиям на опертом крае.
В табл. 1 приводятся результаты расчета собственных частот и форм линейных колебаний стальной пологой оболочки с параметрами E = 2.1 ■ 1011 Н/м2, р = 7800 кг/м3, V = 0.3, a1 = 1 м, a2 = 0.6 м, h = 0.01 м, 1/к1 = ж в зависимости от радиуса кривизны оболочки. Края х = 0 и х = ®2 свободны и удовлетворяют (2.5). Частоты колебаний представлены в рад/с. В первой строке приведены частоты, полученные для пластинок, на основании соотношений из [9]. В табл. 2 приводится зависимость собственных частот от длины оболочки при a1 = 1 м, 1/к2 = 2.5 м, h = 0.01 м.
Для всех рассмотренных вариантов геометрии оболочки и для всех п первая собственная частота отвечает собственной форме без узловых линий, параллельных оси у, вторая частота соответствует форме с одной узловой линией, параллельной оси у, третья частота — с двумя узловыми линиями. Из представленных в таблицах результатов следует, что частоты, отвечающие формам без узловых линий, параллельных оси у, не зависят от геометрических параметров оболочки; частоты, отвечающие формам с
Таблица 2
а2, м П = 1 П = 2 п = 3
154.9 619.9 1394.7
0.3 683.8 1476.2 2442.4
2593.8 3293.1 4041.3
154.9 619.9 1394.7
0.5 428.1 1011.9 1833.8
2558.1 2807.5 3451.7
154.9 619.9 1394.7
0.6 366.6 908.8 1708.2
2254.5 2330.6 2894.8
154.9 619.9 1394.7
0.7 324 840.6 1627.9
2066.6 1997.6 2530.4
154.9 619.9 1394.8
1 251.9 733.9 1508.1
1701.3 1393.2 1968.7
154.9 619.9 1394.8
1.5 203.3 670.5 1441.3
1234.9 964 1648
Таблица 3
П = 1 П = 2 п = 3
147.5 309.3 2064
598.9 766.1 1948.6
1394.7 1614 2588.9
одной узловой линией, параллельной оси у, практически не зависят от кривизны оболочки.
Для проверки достоверности результатов собственные частоты дополнительно определялись методом Релея—Ритца. Использовались базисные функции, удовлетворяющие условиям (2.4). Результаты расчета для оболочки с параметрами a1 = 1 м, a2 = 0.7 м, 1/ к2 = 2.5 м, h = 0.01 м приведены в табл. 3.
Из сравнения данных, приведенных в табл. 2 и 3, следует, что частоты, полученные методом Релея—Ритца, ниже частот, полученных точным методом. Аналитически полученные частоты несколько завышены, так как входящие в уравнения (2.5) и представленные в [7] коэффициенты Ляме для упрощения вычислений полагались равными единице. Для рассматриваемой оболочки это справедливо для одного из коэффициентов и с большой степенью точности справедливо для второго. Однако, вход
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.