Автоматика и телемеханика, № 7, 2015
© 2015 г. В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (tkhaivn@yandex.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
КОЛЕБАНИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ В МОДЕЛИ, СОДЕРЖАЩЕЙ СВЯЗАННЫЕ ПОДСИСТЕМЫ С ЦИКЛАМИ1
Рассматривается модель, содержащая связанные подсистемы (МССП). При отсутствии связи между подсистемами МССП распадается на независимые подсистемы - системы автономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуется МССП в случае наличия циклов в подсистемах. Для автономной МССП находятся условия существования циклов, их устойчивости, предлагается стабилизация цикла управлением, не зависящим явно от времени. Для периодической МССП доказывается рождение изолированных периодических решений, решается задача их устойчивости и стабилизации.
1. Введение
Изучается модель, содержащая связанные подсистемы и описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и в которой подсистемы - системы автономных ОДУ. Связь между подсистемами задается параметром е, при нулевом значении которого модель распадается на независимые подсистемы. Таких параметров в МССП может быть один или несколько. Параметры отражают иерархичность подсистем в МССП. Размерность каждой подсистемы в МССП в общем случае - индивидуальная, сама подсистема может быть линейной или нелинейной, а физическая природа подсистем может быть разной. Примеры МССП: У-планетная задача (подсистемы находятся на одном уровне иерархии), многозвенный маятник, система связанных осцилляторов (подсистемы связаны последовательно), система Солнце-планеты-спутники, система поступально-вращательно движущихся небесных тел (иерархические структуры с двумя уровнями), система роботов (возможны перекрестные связи), ветротурбина (электромеханическая система), модель колебаний ДНК, связанные невроны, задачи механотроники и др.
2. Характеристика МССП. Естественный подход к изучению динамики
Понятие МССП стало результатом формализации имеющихся на практике задач, описываемых ОДУ. Такое же понятие можно ввести для систем с распределенными параметрами (пример - электротепловая задача в индукционном нагреве), дискретных систем и т.д. Появление МССП обусловлено усложнением используемых моделей, и данная модель, в первую очередь,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проекты № 13-01-00347, № 13-01-00376) и Программы 14 ОЭММПУ РАН.
позволяет учитывать связи между системами, до этого исследовавшиеся отдельно. С позиции теории построения математических моделей каждая подсистема видится самодостаточной. В этом смысле связь должна быть слабой. С другой стороны, например, в задаче о маятнике с колеблющейся точкой подвеса, связь - действие другой подсистемы - заменяется силой, которая в общем случае может быть велика.
Понятие МССП введено недавно [1]. МССП относится к сложным системам. Характерные отличия модели: иерархичность, многоуровневость, мно-горежимность, нелинейность, высокая размерность. МССП относится также к большим системам. МССП может быть автономной или неавтономной.
На сегодня есть понимание того, что: а) МССП существует "де факто", независимо от применения того или иного метода исследования, б) необходима классификация МССП по структуре, в) взаимосвязи в МССП учитываются по "третьему закону Ньютона", т.е. как "действие равно противодействию", д) при отсутствии связи в МССП происходит естественная декомпозиция МССП на подсистемы.
Структура МССП натолкнула на подход к изучению динамики, названный естественным подходом [1]. Суть подхода заключается в следующем: классификация подсистем по типам (динамическим свойствам), выделение различных связок подсистем и последующий анализ этих связок. Принципиальное отличие подхода от декомпозиции [2-9] заключается в учете связей как "действие равно противодействию" и самой структуры МССП.
На основе естественного подхода дана [1] общая постановка задачи о колебаниях, бифуркации, устойчивости, стабилизации, резонанса. Изучаются одночастотные колебания - периодические решения.
3. Задача о колебаниях, устойчивости и стабилизации
Далее используем понятие, введенное первоначально А. Пуанкаре [10] для системы на плоскости.
Определение 1. Изолированное периодическое 'решение автономного уравнения называется циклом.
Периодическое решение автономного уравнения, строго говоря, представляет однопараметрическое семейство по параметру сдвига по траектории. Изолированность периодического решения понимается в геометрическом смысле, так что в окрестности указанного семейства нет других таких же семейств.
В неавтономном уравнении изолированность периодического решения означает, что в окрестности данного решения нет других периодических решений. Для неавтономного уравнения далее используется понятие изолированного периодического решения.
Постановка задачи о колебаниях, устойчивости и стабилизации МССП, содержащей циклы в подсистемах, состоит в следующем.
Для автономной МССП. Найти условия существования цикла в МССП, его устойчивости, стабилизации колебаний связующими управлениями в системе, состоящей из подсистем МССП, а также колебаний самой МССП. Постанов-
ка задачи для периодической МССП отличается от данной для автономной МССП тем, что изучаются изолированные периодические решения. Для автономного уравнения
(1) X = X(ж), ж € И"",
общее решение которого обозначается через ж(ж1,...,ж", £), необходимые и достаточные условия существования Т-периодического движения даются равенством
(2) / = ж(ж?,..., ж", Т) - ж0 = 0,
где ж0 = (ж0,..., ж") - начальная точка (при £ = 0).
Пусть уравнение (2) имеет решение ж0 = ж*, Т = 2п. Вычислим ранг Да* функциональной матрицы для функции / в точке ж* при Т = 2п.
Определение 2. Случай Да* = п — 1 называется невырожденным для периодического решения случаем.
Замечание 1. Цикл может существовать и в вырожденном случае.
В невырожденном для периодического решения случае реализуется [11] альтернатива: цикл или семейство периодических решений, на котором период зависит от одного параметра. И наоборот, если в системе реализуется альтернатива - цикл или семейство периодических решений, на котором период зависит от одного параметра, то имеем невырожденный для периодического решения случай. Поэтому динамику МССП необходимо изучать в каждом случае альтернативы раздельно.
Случай семейства в подсистемах изучался [1, 11] как для автономной МССП [11], так и для периодической МССП [1]. Для основного режима колебаний получены выводы о бифуркации, рождении циклов, подсчитаны характеристические показатели (ХП) системы уравнений в вариациях для цикла и решены задачи стабилизации цикла.
Ниже исследуется случай циклов в подсистемах МССП. Здесь возможна только единственная связка и один режим колебаний.
Рассмотрим гладкую МССП, в которой подсистемы находятся на одном уровне иерархии:
(3) ж* = Х5(ж5) + еХ5(е,ж\...,жт,;£), ж5 € Ит, 8 = 1,...,тТт8 = п
т
€ -......^
5=1
(е - параметр).
Здесь при каждом значении параметра е имеем вполне определенную систему. Полагая е параметром, тем самым рассматриваем семейство систем по параметру е.
Предположим, что при е = 0 подсистема с номером 8 допускает цикл
(4) ж* = + 7*)
с периодом 2п; параметр Ys дает сдвиг начальной точки по траектории. Тогда порождающая система (система (3) при e = 0) также допускает цикл с периодом 2п. Возникает вопрос: допускает ли одночастотные колебания сама МССП.
Анализируются автономная МССП и периодическая МССП.
4. Цикл МССП
Изучим автономную МССП, в которой функции Xs не зависят явно от времени. Ранг Ra* для порождающей системы равен ^m=i ms — m, m > 1: имеем согласно определению 1 вырожденный для периодического решения случай. В системе (3) связи задаются функциями Xs. Поэтому вопрос о колебаниях МССП формулируется таким образом: найти условия, которым удовлетворяют функции Xs, достаточные для существования колебания в МССП. Ниже ищутся такие условия, чтобы ранг Ra* для периодического решения МССП стал бы равняться числу Ц ms — 1.
Решение {^>s(t + Ys)} содержит m параметров js и принадлежит семейству по этим параметрам. Значит, условия для отбора функций XXs налагаются на параметры ys. Тем самым определяется, какие решения порождающей системы приводят к периодическим решениям самой МССП. Ниже выводятся условия существования цикла в МССП. Описание цикла МССП содержит произвольный параметр 7 - сдвиг по траектории, поэтому на цикле параметры Ys порождающего решения зависят от 7; число независимых js должно быть не больше m — 1.
Обозначим через
(5) x(e,x0,t + 7) = (x1(e,x0,t + 7),..., xm(e, x0,t + 7))
- решение системы (3) с начальной точкой x0 (при t = 0). Далее вычислим частную производную от функции (5) по параметру e в точке e = 0 в случае, когда решение (5) совпадает с решением {^>s(t + Ys)}. Так как x(e, x0,7) = = x0, то при t = 0 данная производная равна нулю, т.е. производная будет решением линейной неоднородной системы
d (dxi \ ms (dxs \
k]- E Pkjit + Х'к(0, V\t + 71),..., vm{t + 7m)),
(6)
dt V de ' j V de
j=1 4
(dX s \
J > s = l,..., m, k = 1,..., m8
(звездочка означает вычисление частной производной при подстановке функций (4)), с нулевыми начальными условиями.
Однородная часть системы (6) распадается на в подсистем, каждая из них содержит свой параметр 7^ и допускает 2п-периодическое решение. Сопряженная с однородной частью система также распадается на в подсистем с решениями {фвк(Ь + 7^)} периода 2п. Поэтому условие существования в (6) решения периода 2п имеет вид
(7) #(7) = 0, 7 = (71,---,7т),
где компоненты векторной функции $(7) определяются формулами
2п та
$в(7) = / + 71),...,^т(£ + 7тМ(£ + 8 = 1,...
0
Равенство (7) дает необходимые условия существования в системе (3) решения периода 2п. Условие (7) приводит к системе т уравнений относительно неизвестных 71,... ,7т. С другой стороны, решение (5) содержит произвольный параметр - сдвиг по траектории 7. Так как при е = 0 решение (5) совпадает с решением (£ + 7«)}, то уравнение (7) выполняется тождественно по 7. Значит, если в какой-то точке 7 = 7* сис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.