Автоматика и телемеханика, № 1, 2015
© 2015 г. В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (tkhai@ipu.ru, tkhaivn@yandex.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
КОЛЕБАНИЯ В АВТОНОМНОЙ МОДЕЛИ, СОДЕРЖАЩЕЙ СВЯЗАННЫЕ ПОДСИСТЕМЫ1
Рассматривается модель, содержащая связанные подсистемы (МССП). При отсутствии связи между подсистемами МССП распадается на независимые подсистемы - системы автономных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В структуре всей системы подсистемы образуют уровни иерархии. Исследуется автономная МССП. Показано, что в отдельной системе в невырожденной ситуации всегда реализуется альтернатива "цикл или семейство периодических движений". Для основного режима колебаний МССП дан сценарий бифуркации семейства, состоящего из всех семейств периодических решений подсистем, с рождением семейства периодических решений МССП. Исследуется устойчивость периодического решения МССП, решается задача их стабилизации.
1. Введение
Изучается модель, содержащая связанные подсистемы (МССП) и описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которой подсистемы - системы автономных ОДУ. Связь между подсистемами задается параметром е; при е = 0 модель распадается на независимые подсистемы. Таких параметров в МССП может быть один или несколько. Параметры отражают иерархичность подсистем в МССП. Размерность каждой подсистемы в МССП в общем случае - индивидуальная, а сама подсистема может быть линейной или нелинейной. Различные примеры МССП приводились ранее в [1].
МССП относится к сложным системам. Характерные отличия модели: иерархичность, многоуровневость, многорежимность, нелинейность, высокая размерность. МССП относится также к "большим системам".
МССП распадается на независимые подсистемы, когда параметр е = 0. Иначе говоря, происходит естественная декомпозиция МССП на подсистемы. Что касается взаимосвязей в МССП, то они учитываются по "третьему закону Ньютона", т.е. как "действие равно противодействию".
Примеры МССП показывают [1], что МССП существует "де факто", независимо от применения того или иного метода исследования. С другой стороны, сама структура МССП наталкивает на естественный подход [1] к исследованию динамики МССП. Суть подхода заключается в следующем: классификация подсистем по типам (динамическим свойствам), выделение различных связок подсистем и последующий анализ этих связок. На такой основе изучались в [1] колебания, бифуркации, устойчивость, стабилизация для основного
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамендальных исследований (проекты № 13-01-00347, № 13-01-00376) и Программы 14 ОЭММПУ РАН.
режима колебаний МССП, содержащей две подсистемы, каждая из которых задана на плоскости.
Точки семейства (по параметру Л) одночастотных колебаний, на которых период ^Т(Л) = 0, называются обыкновенными (о-точка), а точки, в которых ^Т(Л) = 0, называются критическими (с-точка) (см. также [2, 3]). Критическая точка может вырождаться в равновесие (е-точка) [1].
В соответствии с типом точек семейства (о-точка, с-точка, е-точка) режимы колебаний в подсистеме называются как о-режим, с-режим и е-режим соответственно (см. также [1]). Комбинация режимов, где в подсистемах имеются только о-точки, называется основным режимом колебаний в МССП.
В [1] рассматривалась периодическая МССП. В данной работе изучается автономная МССП. При этом для отдельной системы в невырожденном случае показывается существование альтернативы "цикл или семейство периодических решений". Для основного режима колебаний МССП, содержащей произвольное число подсистем, каждая из которых имеет произвольный порядок, дается сценарий бифуркации семейства, состоящего из всех семейств периодических решений подсистем, с рождением семейства периодических решений МССП и исследуется устойчивость этих решений. Предлагается решение задачи стабилизации решений МССП.
2. Альтернатива "цикл или семейство периодических решений"
Рассматривается гладкое уравнение
(1) ж = Хо(х), ж € Кп.
Общее решение уравнения (1) обозначим через х(х1,..., жП, £). Тогда необходимые и достаточные условия существования Т-периодического движения даются равенством
(2) / = ж(ж1,...,жП,Т) - ж0 = 0,
где ж0 = (ж°,..., жП) - начальная точка (при £ = 0).
„о
Пусть уравнение (2) имеет решение ж0 = ж*,Т = 2п. Вычислим ранг Да* функциональной матрицы для функции / в точке ж* при Т = 2п. Так как в силу автономности системы (1) уравнение (2) вместе с указанным решением всегда обладает однопараметрическим по параметру 7 семейством решений
(3) ж0 = ж* (7), Т = 2п,
то получим: ранг Да* < п — 1.
Случай Да* = п — 1 назовем невырожденным для периодического решения случаем. Далее используется следующее понятие.
Определение. Изолированное периодическое 'решение автономного уравнения называется циклом.
Теперь формулируется такая альтернатива.
Теорема 1. В невырожденном для периодического решения случае реализуется альтернатива: цикл или семейство периодических решений, на котором период зависит от одного параметра. Если в уравнении (1) реализуется альтернатива - цикл или семейство периодических решений, на котором период зависит от одного параметра, то имеем невырожденный для периодического решения случай.
Доказательство. Пусть Ка* = п — 1. Составим для рассматриваемого периодического решения систему уравнений в вариациях (СУВ), которая в этом случае имеет одно периодическое решение. При этом само периодическое решение может быть циклом или принадлежать семейству. Докажем, что на семействе период зависит от одного параметра.
Для изохронного семейства размерности к имеем к периодических решений СУВ, следовательно, такое семейство не существует. Если же сам период зависит от к параметров, то в СУВ имеем к — 1 периодических решений [4]. Это возможно с учетом равенства Ка* = п — 1 только для к = 1.
Пусть теперь реализуется альтернатива "цикл или семейство периодических решений", на котором период зависит от одного параметра. Тогда уравнения в вариациях для периодического решения х = уравнения (1) имеют только одно периодическое решение и Ка* = п — 1.
Замечание 1. Для цикла один показатель Ляпунова равен нулю. В случае семейства имеем двойной нулевой показатель Ляпунова в жордановой клетке [4]. Так как Ка* = п — 1, то остальные показатели Ляпунова отличны от нуля.
Замечание 2. При выполнении условия Ка* = п — 1 критические точки семейства исключаются.
Замечание 3. Семейство периодических решений размерности к > 1 ( [4], гл. 6, § 8) может существовать только в вырожденном случае.
Рассмотрим теперь возмущенное автономное уравнение (4) Х = Х0(х) + рХ\(р,х)
(р - малый параметр) и предположим, что невозмущенное (порождающее) уравнение (1) допускает периодическое решение, для которого Ка* = п — 1. Тогда по альтернативе теоремы 1 в порождающем уравнении (1) имеется цикл или семейство периодических решений по параметру Н.
В случае цикла возмущенное уравнение (4) обладает единственным периодическим решением, обращающемся в порождающее при р ^ 0 (теорема Пуанкаре [4, с. 411]).
Для теории нелинейных колебаний представляет, однако, наибольший интерес тот случай, когда такого однозначного соответствия между порождающей и возмущенной системами не существует.
В случае семейства простые корни амплитудного уравнения [4, с. 417] приводят к изолированным периодическим решениям возмущенной системы: происходит бифуркация порождающего семейства и рождение циклов.
Отметим, что устойчивость таких циклов можно исследовать теоремой Андронова - Витта [5].
Далее доказывается рождение семейства периодических решений в основном режиме колебаний МССП.
3. Периодические решения в автономной МССП
Рассмотрим гладкую МССП, в которой подсистемы находятся на одном
уровне иерархии:
(5)
ж5 = X5(ж5) + еХ5(е, ж1,..., жт), ж3 € Ете, 8 = 1,...,т, = п.
Предположим, что при е = 0 подсистема с номером в допускает семейство периодических решений
(6) ж3 = ^(Л + 7з),
на котором период Т3(Л3) зависит от параметра Л3, и подобное семейство имеется в каждой подсистеме; второй параметр 73 дает сдвиг начальной точки по траектории. Тогда порождающая система (система (5) при е = 0) допускает в общем случае семейство условно-периодических решений с т частотами. Пусть среди этих решений находятся 2п-периодические решения. Ставится вопрос о существовании в (5) при достаточно малых е = 0 периодических решений, которые при е ^ 0 стремятся к 2п-периодическим решениям порождающей системы.
Периоду 2п в порождающей системе отвечают решения с набором параметров - вектором Л = Л*, Л = (Л1,..., Лт). Следовательно, ставится задача нахождения вектора Л*, для которого возмущения удовлетворяют условиям существования периодического решения при е = 0.
Предполагаем, что ^Т3(Л*) = 0, в = 1,..., т. В дальнейшем, имея в виду поиск вектора Л*, параметры 73 в явном виде не пишем.
Из постановки задачи следует, что исследуется основной режим колебаний МССП [1], когда во всех подсистемах рассматриваются обыкновенные точки. При этом в каждой подсистеме ранг для функции (2) равен Да* = т3 — 1, для периодических решений имеем пару нулевых характеристических показателей (ХП) в жордановой клетке, а остальные ХП отличны от нуля (замечание 1).
Заметим, что периодические решения порождающей МССП образуют семейство £, на котором выполняется закон зависимости периода от одного параметра [6, 7]. При этом в рассматриваемой порождающей системе ранг для функции (2) меньше числа п — 1; случай следует отнести к вырожденным.
Обозначим через
(7) ж(е, ж0, £) = (ж1(е, ж0, £),..., жт(е, ж0, £))
- решение системы (5) с начальной точкой ж0 (при £ = 0). Далее вычислим частную производную от функции (7) по параметру е в точке е = 0 в случае, когда решение (7) совпадает с решением (6). Искомая производная будет
решением линейной неоднородной системы
дх% V де
(8)
/ дх^
.7 = 1 ^ '
р. (н:,<) =
дх?
в = 1,..., т, к = 1,..., ш8
(звездочка означает вычисление частной производной при подстановке функций (6) с Н = Н*), с нулевыми начальными условиями.
Однородная часть системы (8) распадается на в под
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.