МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2012
УДК 532.5.013.4
© 2012 г. А. В. БУРНЫШЕВА, Т. П. ЛЮБИМОВА
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ В ПРИСУТСТВИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Исследовано возникновение колебательной неустойчивости адвективного течения проводящей жидкости в горизонтальном цилиндре кругового сечения в присутствии вращающегося магнитного поля. Расчеты, проведенные для значений числа Прандтля Рг = 0 и 0.01, показали, что в обоих случаях происходит переход от монотонной неустойчивости в отсутствие поля и в слабых полях к колебательной неустойчивости при достаточно больших значениях магнитного числа Тейлора. При Рг Ф 0 колебательная неустойчивость возникает при значительно более высоком значении магнитного числа Тейлора.
Ключевые слова: адвективное течение, горизонтальный цилиндр, вращающееся магнитное поле, устойчивость течения, колебательная неустойчивость.
В последние десятилетия воздействие вращающегося магнитного поля на равновесие и течения проводящей жидкости широко исследуется в связи с процессами, имеющими место при выращивании полупроводниковых кристаллов. По сравнению со статическими магнитными полями, также используемыми при выращивании кристаллов, вращающиеся поля обладают рядом преимуществ. Во-первых, это значительно более низкие требуемые значения магнитной индукции и энергопотребления, во-вторых, более простые экспериментальные установки, в-третьих, отсутствие побочных эффектов, например, термоэлектромагнитной конвекции [1], в-четвертых, возможность использования в случае материалов с низкой электропроводностью. Применение вращающегося поля приводит к большей однородности распределения примеси в кристалле, позволяет влиять на кривизну фронта кристаллизации, при выращивании кристалла из раствора уменьшает плотность включений растворителя [2].
В статье [3] аналитически и численно исследовано влияние вращающегося магнитного поля на устойчивость равновесия проводящей жидкости в вертикальном цилиндре, подогреваемом снизу. Показано, что поле повышает критическое число Рэлея для асимметричной моды неустойчивости, но не влияет на потерю устойчивости через осесимметричную моду. Линейный анализ для конвекции Рэлея—Бенара в подогреваемом снизу вертикальном цилиндре конечной высоты, проведенный в [4], подтвердил стабилизирующее влияние поля.
Для адвективного течения в горизонтальном канале с идеально теплопроводными боковыми границами при наличии однородного горизонтального градиента температуры возможны различные моды неустойчивости [5]. При малых Рг наиболее опасна монотонная гидродинамическая мода, связанная с развитием вихрей на границе встречных потоков. При Рг > 0.1 потеря устойчивости происходит благодаря релеев-ским модам, связанным с наличием зон неустойчивой температурной стратификации. Имеется также колебательная мода, представляющая собой внутренние волны в зоне устойчивой стратификации.
В работе [6] исследовано влияние вращающегося магнитного поля на структуру и устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале кругового сечения. Най-
дено, что воздействие поля приводит к перестройке структуры и значительной стабилизации стационарного течения. Получены зависимости критического числа Грасго-фа от Pr для значений магнитного числа Тейлора Ta m = 0, 100 и 1000. Обнаружено, что в отсутствие поля и при Ta m = 100 неустойчивость стационарного течения связана с развитием монотонных гидродинамических возмущений, а при Ta m = 1000 — колебательных гидродинамических возмущений.
Настоящая работа посвящена выяснению природы обнаруженного в [6] перехода от монотонной к колебательной неустойчивости и исследованию зависимости параметров перехода от Pr. Рассматриваются малые числа Прандтля, характерные для жидких металлов. В этом случае наиболее опасна гидродинамическая мода, поэтому анализ ограничивается рассмотрением этой моды.
1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассматривается поведение жидкости в бесконечно длинном горизонтальном канале кругового сечения, на боковой границе которого задан однородный горизонтальный градиент температуры. Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном оси цилиндра и вращающемся вокруг этой оси.
Уравнения Максвелла и закон Ома в пренебрежении токами смещения записываются в виде
rot E = -, rot H = — j, div H = 0, j = o (e +1 v x h)
c д t c \ c !
Здесь E — напряженность электрического поля, H — напряженность магнитного поля, j — плотность электрического тока, c — скорость света, а — проводимость жидкости, v — скорость жидкости. После исключения напряженности электрического поля получаются уравнения для плотности тока
rot j = + Нrot (v х H), div j = 0 (1.1)
c д t c
Считается, что индуцируемые токи малы. В этом случае малы и индуцируемые магнитные поля, поэтому ими можно пренебречь по сравнению с приложенным вращающимся однородным полем.
Пусть поле H вращается с постоянной частотой Q. Тогда д Н/д t = Q х H и уравнения (1.1) принимают вид
rot j = 2Н х П + 2rot (v х Н), div j = 0, (1.2)
c c
Поверхность цилиндра считается непроводящей: j n = 0.
Если частота вращения поля велика, слагаемым (c/c) rot (v х Н) можно пренебречь. Тогда решением системы уравнений (1.2), удовлетворяющим граничному условию, будет j = (с/c) (Н r) П, где r — радиус-вектор точки. В этом случае сила Лоренца на единицу массы записывается в виде
Fl j х H = (Нг)(П х Н) (1.3)
Pc р c
Здесь р — плотность жидкости. Выражение (1.3) можно представить как
Fl = H2 (£2 х г) + V [(Нг) г • (£ х Н)] (1.4)
2 р c 2 р c
Градиентное слагаемое может быть включено в давление. Таким образом, существенная часть силы Лоренца не зависит от времени и имеет лишь азимутальную компоненту.
С учетом силы Лоренца (1.4) уравнения, описывающие конвективное течение проводящей жидкости в магнитном поле, в безразмерной форме (с использованием вязких единиц)имеют вид
д V
_+ (vV)v = -Vp + A v + GrT у + Tame x r (1.5)
д t
dT + vV T = — A T, div v = 0, (1.6)
д t Pr
Or = iM^4, Ta „ = НЦ^, Pr = V
v 2 p с v x
Здесь у и e — единичные векторы вдоль вертикальной оси y и продольной оси z, p — давление, T — температура, t — время. Уравнения (1.5), (1.6) содержат три безразмерных параметра: числа Грасгофа Gr и Прандтля Pr и магнитное число Тейлора Tam, где A — продольный градиент температуры, R — радиус цилиндра, g — ускорение силы тяжести, Р — коэффициент теплового расширения, v — кинематическая вязкость, х — температуропроводность.
Граничные условия на боковой поверхности цилиндра, при r = 1, имеют вид: и = 0, T = z. Кроме того, должно выполняться условие замкнутости течения J" wdS = 0, где
s
w — продольная скорость, а интегрирование производится по поперечному сечению канала.
2. Стационарное адвективное течение. Следуя [6], будем искать стационарное решение задачи в виде v = (u(r, a), w(r, а)), T = z + 9 (r, а), где а — азимутальная координата.
Как показано в [5], в случае стационарного адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения в отсутствие магнитного поля при Pr = 0 существует решение, соответствующее плоскопараллельному течению. При этом продольная скорость пропорциональна Or, четна по горизонтальной координате и нечетна по вертикальной (если начало системы координат расположено в центре поперечного сечения канала). В нижней части канала жидкость движется в направлении приложенного градиента температуры, в верхней — в противоположном направлении. При Pr ф 0 задача не имеет решений, соответствующих плоскопараллельному течению. В этом случае адвективное течение от холодной стенки к теплой в нижней части канала и в обратном направлении в верхней части приводит к образованию теплого слоя сверху и холодного снизу, несмотря на постоянство температуры на границе канала в каждом поперечном сечении. В результате в поперечном сечении канала образуются четыре вихря: жидкость всплывает в верхнем слое и тонет в нижнем. Сделанные в [5] выводы об особенностях стационарных адвективных течений при различных числах Прандтля справедливы и для случая канала кругового сечения [6].
Исследование стационарного адвективного течения в горизонтальном канале кругового сечения в присутствии вращающегося магнитного поля проведено в работе [6]. В случае Pr = 0 поперечная скорость определяется выражением
1 2
u =-Tam(1 - r )e x r 8
а для скорости адвекции получается уравнение
1 Tam(1 - r2) — = A w - Gr rsina (2.1)
8 da
из которого после представления решения уравнения (2.1) в форме w(r, а) = = GrIm( W(r)eia) следует уравнение для W(r) в виде
W" + 1W' - -1W + - Tam(r2 - 1)W = r (2.2)
r r 8
с граничным условием
r = 1: W = 0 (2.3)
и условием регулярности на оси
r = 0: W = 0 (2.4)
В [6] найдено аналитическое решение задачи (2.2)—(2.4) через функции Уиттекера и интегралы от них. Анализ полученного решения показал, что магнитное поле уменьшает интенсивность адвективного течения и приводит к повороту границы раздела между встречными потоками. В сильных полях движение сосредоточено вблизи границы, а в центральной области устанавливается слабое течение с вертикальной границей раздела.
Для рассмотрения случаев с Рг ф 0 удобно ввести функцию тока и завихренность для поперечной скорости
1 дш дш
ur , ua =-~г-, Ф = -AV
r да or
Тогда система уравнений для стационарного течения принимает вид
1J(ф, у) = Аф + Gr [ cos а — - 1 -^-sin а 1 + 2 Tam (2.5)
r ^ дr rда )
1J(w, у) = Aw - Gr r sina + a, 1J(9, у) = — A8 - w r r Pr
д2 1 я 1 я2 (2.6)
a = A_ +1d + J_
d r r dr r da
Здесь J — якобиан по переменным r и a, A — лапласиан в цилиндрических координатах (с учетом того, что нет зависимости от z), a — константа, которая определяется из условия замкнутости.
Граничные условия для функции тока, продольной скорости и температуры записываются в виде
Мг =
dy .dr.
= [w]r = [0]г = 0 (2.7)
г
Уравнения (2.5), (2.6) с граничными условиями (2.7) дискретизировались с помощью метода конечных разностей. Полученная система нелинейных уравнений решалась с помощью метода Ньютона.
3. Задача устойчивости стационарного адвективного течения. Рассмотрим ус
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.