ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 4, с. 19-23
УДК 539.941
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ
РЕНТГЕНОВСКОЙ ФОТОЭМИССИИ
© 2015 г. В. П. Афанасьев*, О. Ю. Головина, П. С. Капля
Московский энергетический институт (Национальный исследовательский университет "МЭИ"),
111250 Москва, Россия *Е-таИ: v.af@mail.ru Поступила в редакцию 20.01.2014 г.
Аналитическое описание спектров рентгеновской фотоэмиссии строится на основе решения граничной задачи для уравнения переноса с учетом внутренних источников методами инвариантного погружения. Находятся как решения в малоугловом приближении, так и точные решения, полученные в результате численной процедуры. Определялись распределения по длинам пробега фотоэлектронов в мишени и коэффициенты разложения плотности потока фотоэмиссии в ряд по кратностям неупругого рассеяния. Показана несостоятельность подходов, пренебрегающих процессами многократного упругого рассеяния при описании энергетических спектров рентгеновской фотоэмиссии. Дана оценка погрешностей, возникающих при использовании приближений.
Ключевые слова: спектры рентгеновской фотоэмиссии, инвариантное погружение, численное решение уравнения переноса, распределение по кратностям неупругого рассеяния, ARXPS.
БО1: 10.7868/80207352815020043
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время все большую популярность завоевывают методы анализа поверхности, которые для восстановления послойного состава исследуемой мишени исследуют спектр рентгеновской фотоэмиссии в широком интервале потерь энергии [1]. В литературе указанная методика получила название: Photoelectron Spectroscopy XPS (PES XPS) [1]. С данной методикой тесно связан подход, основанный на измерении спектров рентгеновской фотоэмиссии в широком интервале углов визирования или фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (Angle Resolved X-ray Photoelectron Spectra, ARXPS) [2, 3].
Традиционная рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия занимается не анализом спектра фотоэмиссии, а лишь анализом пиков, сформированных электронами, не попавшими в неупругий канал рассеяния (так называемый peak shape analysis) [2, 3]. Основная масса методик расшифровки спектров фотоэмиссии сводилась к выбору процедуры вычитания фона с последующим представлением упругого пика в виде набора подпиков, непосредственно ответственных за искомый элемент или содержащее его химическое соединение [3]. Указанная процедура количественной интерпретации, с математической точки зрения, относится к классу некорректных задач [4] и приводит к неоднозначному определению послойного состава исследуемого образца, если анализ ведется только по интенсивности упругого пика [3].
Наиболее надежным способом решения некорректных задач является методика, основанная на процедуре подбора [4], которая заключается в сравнении расчетных спектров рентгеновской фотоэмиссии в интервале потерь энергии порядка сотен электрон-вольт с экспериментально измеренными. В основе процедуры подбора лежит многократное решение прямой задачи описания мишеней с различным послойным компонентным составом. Успех и эффективность процедуры подбора определяется быстротой и надежностью прямых вычислений. Наибольшую скорость вычислений имеет подход, в основе которого лежат расчеты на основе аналитических формул, которые можно получить только в рамках приближенных методов. В работе будет показано, что малоугловое приближение в ряде случаев дает значительно меньшую погрешность, чем транспортное приближение. Отметим, что только транспортным приближением ограничиваются современные методы анализа рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии (РФЭС) сигналов [2, 3]. Подчеркнем, что малоугловое приближение было создано Гаудсмиттом и Саундерсеном для решения количественных задач электронного рассеяния [5]. Транспортное приближение использовалось в задачах переноса электронов для выполнения качественных оценок [6]. Апробация приближенных вычислений будет выполнена на основе сравнения полученных результатов с точными численными решениями уравнений в рамках методики, подобной представленной в [7].
19
2*
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ФОТОЭМИССИИ
В настоящей работе расчет рентгеновских фотоэлектронных спектров в широком интервале потерь энергии строится как на основе точного решения задачи упругого рассеяния фотоэлектронов, так и в рамках традиционного для электронного рассеяния малоуглового приближения [5, 7, 8]. Граничная задача для уравнения переноса фотоэлектронов в настоящей работе решается на основе методов инвариантного погружения [8]. Последовательное описание РФЭ-спектров, как показано в [8, 9], приводит к необходимости совместного решения системы уравнений для функции отражения R, функции пропускания T и функции плотности тока фотоэмиссии Q. Решение системы уравнений для перечисленных выше функций в настоящей работе мы будем искать на основе численного метода, представленного в [7]. Там же дано подробное описание процедуры решения системы для функций R и T.
Выпишем полученные в [8] уравнения для функции плотности тока фотоэмиссии Q. Приняты следующие обозначения: n — концентрация атомов среды; х — глубина, отсчитываемая от поверхности мишени, юе1 (ц', ц, ф'); сте1 — дифференциальное и полное упругие сечения; ®in(E0, A), a in — дифференциальное и полное неупругие сечения; ц = cos 0, где 9 — полярный угол, отсчитываемый от нормали к поверхности мишени, направленной вверх; ф —
азимутальный угол; p — лаплас-образ потерь энер-
J«
®in(^o, A)exp(-pA)d А =
0
= СТin - ®in(Eo, p); Wt(p) = CTel + Win(p);
f (и, Цо, ф) = ^[p (0)—в P (0)]; (1)
F (|i, ^ ф) = ^ ф)
— функция источников фотоэлектронов в случае возбуждения атома неполяризованным фотоном, вычисленная в дипольном приближении. Анализ процессов, меняющих интенсивность фотоэмиссии в заданном направлении с заданной потерей энергии при добавлении тонкой полоски к слою сверху, приводит к уравнению:
2п 2п 1
Q(х,p,И0, И, ф) + Wt (Р)Q(x,Р, Но,И,ф) пдх и
2п 0
= F (И0, И, ф)+ JJF (и 0, И', ф'-ф)х
0 -1
х R(х,p,ц',ц,ф') —dф' + И'
!п 1
J JQ(х, p, ц0, ц-, ф- - ф) (ц-, ц, ф'))-dф'
(2)
J J JQ (х, p, И0, И', ф') )®e1 (и', и", ф" - ф') Х
0 0 0
X Я (х, р, ц", ц, ф" - ф) ) йф' йф".
ц' ц''
Для определения функции О необходимо иметь уравнение для функции отражения Я. В соответствии с работой [7] уравнение для Я имеет вид:
д пдх
R(x, p, ц, ф) +
+ Wt(p) I - + — I R(x, p, ц, ф, ц,, Ф0) =
\Ц Ц 0)
= ®ei(^, ф, -i0, Ф0) +
2п 1
+ JJ®ei(|i, ф, ф'Жх, p, ф', | 0, Ф0) ^ d ф'+ (3)
0 0 2п 1
J jR(x, p, ф, i, ф')®е1(-|', ф', 0, ф0) dф'
+
0 0
2п 1 2п 0
JJJ JR(x, p, Ц, ф, ц', ф')Юе1(-ц', ф', и", ф") Х
0 0 0 -1
X Я(х, р, ц", ф", ц0, Фо)йф'^йф".
ц ц
Впервые точное решение системы уравнений (2) и (3) для случая полубесконечной среды и "игольчатого" сечения упругого рассеяния,
®need1(l ф, Ф0) =
= f 8 (1-I0 )S (Ф-Ф0) + b8 (1 + I0 )8 (Ф-Ф0),
(4)
получил Бородянский [9, 10]. Для отыскания распределений по длинам пробегов в уравнениях (2) и (3) достаточно сделать замену, специфичную для приближения непрерывного замедления: Win(p) = р/п. После чего уравнения (2) и (3) в результате подстановки сечения (14) преобразуются к виду:
(р + пЬ)2 Я(р) = пЬЪ (| + |0) + А пЬЯ 2(р), (5) И |
Q (p) = nF (|i0, | ф) +
I
1 nR (p)F (10, ф) +1Q (p)nbR (p).
(6)
Решая квадратное уравнение (5) и выполнив обратное преобразование Лапласа, получаем:
0 0
R > = ^ 1 [ iJexp 1
0
Рис. 1. Распределение плотности потока фотоэлектронов по длинам пробега: а — результаты моделирования, полученные методом Монте-Карло [11], в сравнении с расчетами (8); б — зависимость функции й (1, ц) от угла визирования, вычисленной в малоугловом приближении (11).
Подставляя решение уравнения (5) в уравнение (6) и проводя обратное преобразование Лапласа, получаем:
й (1) = 1 р о, И, ф)'ехр Ь 1
Iе
1 ''Г
+ ' ''г
, (8)
Жт (Рй(х,р, Ио, И, ф) = Р(о, И, ф) +
и
2п 1
| |й (х, р, И о, И', ф' - ф)е1 (и', И, ф') ) А ф'.
(9)
(10)
Раскладывая функции д (х, , ц, ф) = 0(х, |а0, ц, ф)/ц, Р (цо, ц, ф) и юе1 по полиномам Лежандра, для коэффициентов разложения получаем:
[Ь + Ж (р)] до = Ро + /0; [ -СТ2 + Ж (р)] = Р + /2.
Далее, заменяя Ж (р) ^ р/п, получим решение, в котором величина р будет лаплас-образом распределения фотоэлектронов по длинам пробега. Но проделанная процедура, несмотря на ее нецелесообразность, позволит нам провести сравнение
с результатами других работ [10, 11]. Проведя указанную замену и выполняя обратное преобразование Лапласа, получаем распределение фотоэлектронов по длинам пробега ж:
где /е1 = 1/пЬ, 1о и I' — модифицированные функции Бесселя; ж — длина пробега. В (7) мы приняли, что ц = ц о = 1.
Как показано в работе [10], решения (7) и (8) соответствуют транспортному приближению, если принять, что /е1 = 2/1г, где /1г — транспортный пробег.
Решению системы уравнений (2) и (3) в малоугловом приближении посвящен ряд работ [7, 8]. Если пренебречь процессами обратного рассеяния, другими словами, задать условие: Я (х, ц', ц, ф - ф') = о, уравнение (2) для полубесконечного слоя принимает вид:
й (1, и) = И х^е х X {ехр [-1Ьп]- Р2 (|а)веХр[-1 (сте1 -СТ2 )п]}.
(11)
Рис. 1 иллюстрирует зависимость функции ц) от угла визирования, полученную в малоугловом приближении (11), а также распределение (8) в сравнении с результатами работы [11], где выполнялось моделирование методом Монте-Карло.
Для интерпретации экспериментов, используя метод РФЭС, нам необходимо иметь механизм вычисления энергетических спектров, какой реализует формула
й (А, ц) = \й!й (1, ц)^ |йр
о -/ю
х ехр [- (((р)п - рА)1].
(12)
В процессе перехода к отысканию распределения по длинам пробега ж был проделана ненужная работа, это был шаг назад. Спектры намного точнее, быстрее и целесообразнее получить из уравнений (9):
й (А, = ц[ йр X
х ехр (рА)<
Ь + Ж (р)
- Р2 (Ц)в
2 СТе1 -СТ2 + Ж (р)
1.8
1.6
1.4 - ^^Чьс
1.2 - ^fcvO
О" ^1.0 " vV\
(N ^ 0.8 О ■ \ ч!
0.6 Эксперимент \ ' " г SESSA ^
0.4 ---Транспортное приближение " - - SLA
0.2 Малоугловое приближение
-Численный расчет | |
-80
-60
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.