М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 532.517.013.4:537.2
© 2014 г. В. Я. ШКАДОВ, А. А. ШУТОВ
КОЛЬЦЕВАЯ ПОВЕРХНОСТНО ЗАРЯЖЕННАЯ СТРУЯ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Рассмотрена задача о форме кольцевой заряженной струи во внешнем электрическом поле. В приближении сильного поля постановка сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследована асимптотика решения на больших расстояниях от точки истечения. Найдено условие формирования невозрастающего профиля струи в зависимости от продольной координаты.
Ключевые слова: форма кольцевой струи, поверхностный заряд, электрическое поле.
В работе исследуется задача течения кольцевой заряженной струи вязкой жидкости под действием внешнего электрического поля. Полость внутри струи и внешняя область представляют собой газовые среды, поддерживаемые при разных давлениях. Рассмотрение проводится в предположении доминирования электрических сил над поверхностным натяжением и гравитацией. При таких условиях однородная струя неограниченно сжимается [1]. Этот эффект имеет практическое приложение в технологии электропрядения — методе получения ультратонких волокон из растворов или расплавов полимеров. Подобная технология позволяет получать как однородные, так и неоднородные по составу волокна, например, с включением газовых полостей.
Для получения полых (пористых) волокон используются два метода. Согласно первому способу по схеме течения "струя в струе" во внутреннюю область подается масло. После формования составного полимерного волокна масло экстрагируется растворителем и внутри образуется полость [2]. Во втором способе используется метод инверсии фаз, широко применяемый в технологии формования фильтрующих мембран [3]. С этой целью в полимерный раствор добавляется осадитель, что позволяет получать пористые волокна с высоким значением удельной поверхности [4]. В данной работе рассматривается течение, в котором воздушная полость внутри струи формируется от точки истечения.
1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарное осесимметричное движение заряженной жидкости во внешнем однородном поле напряженности E0. Жидкость истекает из кольцевого отверстия, в полость подается воздух, ось симметрии струи совпадает с направлением вектора напряженности поля. Движение описывается уравнениями Навье—Стокса и уравнением неразрывности. В приближении сильного поля в цилиндрических координатах г, I система уравнений движения жидкости имеет вид [5]
(1.1)
(1.2)
(1.3)
д1 г дг
где р, ц — плотность и вязкость жидкости, р, и, и — давление, продольная и радиальная компонента скорости. На внутренней поверхности г = /¡(г) ставятся следующие условия
и = и ^ (¡.4)
&
-р + 2ц ^ = -р1 (¡.5)
д г
гдер1 — давление в полости струи. На внешней поверхности струи г = /2(г) должны выполняться условие непроницаемости, равенство нормальных, а также касательных напряжений
и = и ^ (¡.6)
дг
-р + 2ц ^ = -р2 (¡.7)
дг
= о Ео (¡.8)
дг
Здесь р2 — давление в среде вне струи. В приближении сильного поля влияние поляризационных сил и сил взаимного отталкивания зарядов мало по сравнению с касательными силами, действующими на внешней границе раздела [5]. Вклад этих взаимодействий в граничные условия не учитывается. Предполагается, что заряд концентрируется на внешней поверхности струи. Его поверхностная плотность ст, определяемая из закона сохранения заряда, равна [5]
^(г) = '
2пи(г = /2, гШг)
где I — электрический ток, переносимый струей.
Введем функцию тока у(г, г), определяемую соотношениями
1дш 1дш и = ——, и =---—
г дг г дг
Дальнейшее рассмотрение проведем в безразмерных переменных, определяемых следующим образом
,22 г* = г, г* = г, /* = /, и* = и ^ э и* = и ^
Г20 г2о г2о 0 0
2 4 /->
р* = р ЫЖ > г = Ке = s
Р0 0 Лг20Ц 2л/Е0г20
Величины размерности длины нормированы на начальный радиус внешней границы струи г20 = /2(0), Q — объемный расход жидкости в струе, безразмерные переменные отмечены надстрочным знаком. Уравнение (¡.3) удовлетворяется тождественно, а соотношения (¡.¡), (¡.2) принимают вид
1 + Xду д2у = XIАгА.I(¡9)
г 3 дг дг г 2 дг дгдг г 2 дг дг 2 Ке г дг дг г дг
58
В.Я. Шкадов, А.А. Шутов
1 (ду|2 1 дуд2у 1 ду д\
г3 иг1 " +
др _ X д_ 1 д2у г2 дг дг2 г2 дг дгдг дг Яе дг г дгдг
(1.10)
Здесь и далее обозначение безразмерных величин опущено. Граничные условия (1.4)-(1.8) записываются, соответственно, следующим образом
¥(г = Л(г), г) = 0 2 д 1ду
Р +---1----1 = Р1
Яе дгг дг Л=/1(г)
¥(г = /2(г), г) =
1
, 2 д 1 дУ
Р +----Г1 = Р2
Яедгг дгЛ=/2(г)
1
дгг дг
Яе
1
(1.11) (1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
г=/2(л) 45 и(г = /2, г)/2(г) 2. Решение задачи. Функцию тока ищем в виде
V = ао(г) + Я1(г)г2 + й2г4 где a2 — константа. Уравнение (1.9) дает следующую связь искомых величин a0, a1 и a2:
а1аи - 2а0а 2 = а2 Яе
Давление определяется из соотношения (1.10)
р = - ^^ + 2а1а0' 1п г + 2г 2
'2 А
а1а1' + 2а2а0' -
а1
г + а2а;\г + Г(г)
Равенства (1.11)—(1.14) принимают следующий вид:
а0 + а1/1 + а2/ = 0
Р(г = /1, г) +
Яе
а а0 а1--2
/1
\
= Р1
а0+^+^=2
Р(г = /2, г) +
Яе
а а0 а1--2
/22
Л
= Р2
(2.1) (2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Отыскивается решение задачи в области /1(г) < г < /2(г), г ^ 0, для которого /¡(г) и /2(г) являются асимптотически невозрастающими функциями при г ^ да. Согласно соотношению (2.5), имеем и(г = /2, г)/22 = 1 - 2а0 + 2а2/24. Как будет показано ниже, коэффициент а0 экспоненциально убывает с ростом г, и а2/2 ~ 1/г. Опуская малые слагаемые, из (1.15) получаем
а2 =
Яе
325
(2.7)
В системе (2.1), (2.3)—(2.6) неизвестными являются а0, а1, fbf2, F(z). Из (2.3) и (2.5) имеем
f 2 = Уal - 4Д0Д2 - ai (2 8) 2a2
f2 = Уa2 + 4a2 (0.5 - af))- at (2 9) 2ai
Из соотношений (2.1) и (2.7) находим
2 Z
a2 - 4a0a2 = —+ const (2.10)
4s
Подставляя (2.10) в (2.8), определяем асимптотическое поведение f
/12=^ У+С0П81 Vг+^+соп* ] *-(2.¡¡)
Отсюда следует, что коэффициент а0 < 0 и может возрастать не быстрее, чем ^/г. Из (2.9) и (2Л0) находим асимптотику/2 и а!
/22 (1 - 2—0) (2.¡2) -1=£
Уравнение для а0 можно получить, вычитая (2.6) из (2.4). Удерживая в (2.2) слагаемые с наименьшим порядком убывания, имеем
- 2—0 /22 - Л2 _ .
Ке /1/2
гдеАр = Р1 - Р2.
Учитывая асимптотики (2.П) и (2.¡2), находим
—0 = Яе АрЁ
—0 (1 - 2—0) Чг
Решение этого уравнения есть 1 Сеаг
а0(г) = --(2Л3)
21 + Сеаг
Здесь С — константа, и параметр а равен а = 2Яе Арл/;
Поскольку асимптотически а0 < 0, то а < 0 и Ар < 0. Константу в равенстве (2Л3) можно определить из условия при г = 0
1 С
—0(0) = (2.Х4)
21 + С
Обозначим д = г10/г20, где г10 = /1(0) — начальный радиус внутренней границы струи. Из (2.3), (2.5) имеем
—0(0) + -1(0)д2 + —2д4 = 0 —0(0) + —1(0) + —2 = 2
б0 В.Я. Шкадов, A.A. Шутов
Отсюда находим
—1(0) = °'5 - —2(12- д4)
1 - д 1 2
—0(0) = - + —2д2 (2.Х5)
21 - д
Приравнивая (2.¡4) и (2Л5), определяем константу С
2 -1 + 2—2(1 - д2)
С = " 2 2 1 - 2—2д (1 - д )
Поскольку а0 < 0, то из (2.Х5) получаем условие на толщину оболочки в точке истечения
д > 1--= 1--
2—2 Яе
Согласно экспериментальным данным, устойчивое течение однородной струи
— 1 3
можно получить в широком диапазоне значений физических величин: 0 < 10 см3/с, Е0 > 105 В/м, I < 10-7 А,
г20 < 0.5 мм, ц > 0-2 П, р > ¡ г/см3. Основные безразмерные параметры изменяются в пределах 5 < ¡0-2, Яе < 1. Для полой струи следует ожидать таких же характерных значений параметров. Толщина оболочки регулируется отношением 5/Яе, которое наиболее значительно зависит от Q и г20. Поэтому расход и начальный радиус физические величины, управляющие течением полой струи.
Заключение. Исследована задача о струйном течении несжимаемой вязкой жидкости, подаваемой с постоянным расходом через кольцевое отверстие в область электрического поля. Предполагается, что внешняя поверхность струи заряжена. Рассмотрение проведено для случая доминирования электрических сил над поверхностным натяжением и гравитацией. Газообразные среды в полости и вне струи поддерживаются при разных давлениях, влиянием их вязкости на течение пренебрегается. В приближении сильного поля задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассчитаны асимптотические зависимости параметров течения на больших расстояниях от точки истечения. Найдено условие на толщину оболочки в начальной точке, при котором образуется струя. Установлено, что струйное течение возможно, если давление вне струи не меньше давления газа в ядре.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ ¡2-0^97505, ¡2-0^00405).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кириченко В.Н., Петрянов-Соколов И.В., Супрун Н.Н., Шутов А.А. Асимптотический радиус слабопроводящей струи в электрическом поле // Докл. АН СССР 1986. Т 289. № 4. С. 817—820.
2. Li D., Xia Y. Direct fabrication of composite and ceramic hollow nanofibers by electrospinning // Nano Lett. 2004.V 4. № 5. P. 933-938.
3. MulderM. Basic principles of membrane technology. Dodrecht: Kluwer, 1991. 530 p.
4. Han S.O., Son W.K., Youk J.H., Lee T.S., Park W.H. Ultrafine porous fibers electrospun from cellulose triacetate // Materials Lett. 2005. V. 59. P. 2998-3001.
5. Шутов А.А. Получение ультратонких волокон методом электропрядения // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 4. С. 38-52.
Москва, Обнинск
E-mail: shutov@iate.obninsk.ru
Поступила в редакцию 26.X.2012
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.