БИОФИЗИКА, 2009, том 54, вып.4, c.599-605
МОЛЕКУЛЯР НАЯ БИОФИЗИКА =
УДК536.758
КОЛЬЦЕВАЯ ЗАМКНУТАЯ ДНК. ТОПОЛОГИЯ, ЭНЕРГИЯ
И НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ И УСЛОВИЯХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
© 2009 г. А.В. Ширко, А.Н. Камлюк, В.Б. Немцов
Белорусский государственный технологическийуниверситет, 220006, Минск, ул. Свердлова 13а, Беларусь
E-mail: a_shirko@tut.by Поступила в p едакцию 25.07.08 г.
И сследована топология кольцевой замкнутой ДНК пр и различных p авновесных конфигур ациях и условиях дефор мир ования. Изучено распределение энергии и напряжения изгиба и кручения. Показано, что отношение жесткостей на кручение и изгиб молекулы ДНК качественно влияет на пр оцесс дефор мир ования кольцевой ДНК.
Ключевые слова: энергия, напряжение, изгиб, кручение, топология.
Топологические характеристики кольцевых замкнутых ДНК биологами берутся за исходную точку для дальнейших научных исследований. В нашей же работе эти характер истики непосредственно определяются из построенной модели, что является основным результатом, представленным в статье [1]. Определение равновесных конфигураций замкнутой молекулы ДНК с использованием методов теории упругости значительно расширило возможности исследования подобных молекул по сравнению с чисто топологическими методами. Поэтому на базе теории, описанной в работе [1], мы продолжили изучение свойств кольцевых замкнутых ДНК.
В данной работе исследованы пространственные равновесные конфигурации кольцевой замкнутой ДНК, перераспределение энергии изгиба и кручения, а также соответствующего напряжения в этих конфигурациях. Изучено влияние длины кольцевой молекулы ДНК, а также отношение изгибной жесткости к крутильной жесткости на энер гетические характеристики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ КОЛЬЦЕВОЙ МОЛЕКУЛЫ ДНК П РИ РАЗЛИЧНЫ X РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ
Для равновесных конфигураций, соответствующих различным значениям угла поворота atw, можно рассчитать энергию изгиба и кручения по следующим соотношениям [2]:
Ub(atw) = ^Z(Ki(Ui(q)i - u0)2 + K2(u2(q\ - U^As
i=0
Ut(«tw) = 2 E(Ks(u3(Q)i - u3)2As.
i=0
Напомним, что для универсальности расчетов мы используем модель стер жня единичной длины. Для определения энергии кольцевой ДНК конкретной длины необходимо значения и, иь, иг разделить на эту длину. Важно отметить, что данная модель неприменима для кольцевых молекул с длинами более персис-тентной, так как в этом случае большую роль играют тепловые флуктуации, которые нами не учитывались. Графики соответствующих энергий, отнесенны х к жесткости на изгиб К1 =
Яъ (и = и/8ъ, иъ = и = иЛъХ приведены
на р ис. 1. В последующем изложении используются безразмерные величины полной энергии, энергии изгиба и кручения.
Сравним распределение энергий кр учения и изгиба пр и а^ < 10 рад для двух случаев: 1) свободного кольца и 2) кольца, надетого на цилиндр. Для первого варианта можно отметить медленное увеличение энергии изгиба по сравнению с ростом энергии кручения (рис. 1, кривые 1). П ри а^ ~ 11 рад наблюдается сближение кривых энергий кручения и изгиба. Для второго же варианта характерно постоянство энергии изгиба при более быстром по сравнению с первым случаем росте энергии кручения (рис. 1, кривые 2). Значения полной энергии,
Рис. 1. Завиcимоcти энеpгий изгиба ^ (pомбы), кpучения щ (кружки) и полной энергии и (сплошная кривая) от угла закручивания а^.
как для первого, так и для второго случаев близки друг к другу и на рис. 1а пр актически неразличимы. Однако следует отметить, что пр и р асчете энер гии кольца, надетого на цилиндр, мы пользовались идеализир ованной моделью , так как в ней не учитывали сь контактные взаимодействия кольца с цилиндр ом, энергия продольной деформации кольца, а также жесткость самого цилиндр а. В реальны х системах полная энергия кольца, надетого на цилиндр, будет отличаться из-за вкладов факто-р ов, неучтенных в нашей модели. Качественный график полной энергии для второго варианта пр едставлен на р ис. 1, кр ивая 3. Видно, что если при каком-либо конкретном значении угла закручивания а^ снять кольцо с цилиндр а, то часть энер гии дефо р мации пер ейдет в р аботу, а кольцо пр имет конфигур ацию, соответствующую данному значению а^ для свободного кольца. Подобного рода переход качественно пр оиллюстр ир ован на рис. 1а стр елкой, напр ав-ленной из точки А в точку В, т.е. из менее энергетически выгодного со стояния в более выгодное.
При больших деформациях, соответствующих а^ > 10 рад (р ис. 1, пр авый верхний угол), кривые энергий изгиба и кручения сначала максимально сближаются друг с другом, но уже пр и а^ = 10,87 р ад наблюдается стр емительный р о ст энергии изгиба пр и столь же быстр ом падении энер гии кр учения. Это свидетельствует о потере устойчивости деформирования, что соответствует переходу сильно деформированного кольца (рис. 1, справа внизу) в более энергетически выгодное состояние с появлением
пер вого супер витка и обр азованию новой пр о -стр анственной конфигур ации в виде восьмер ки (см. р ис. 2, пр авый нижний угол). Данная пер еходная область дефор мир ования пр едставля-ет значительный интерес, так как дает возможность оценить энергию для кольцевых дефор-мир ованных фор м молекулы и фо р м с единственным супервитком. Пр и этом важно знать зависимость энергии деформации от изменения порядка зацепления АЬк, которая представлена на рис. 2 (внизу проиллюстрировано, как с изменением угла закручивания меняется пр о -стр анственная конфигур ация кольца).
Из рис. 2 видно, что на первом этапе дефор мирования (точки 1-2 на кривой полной энер гии), когда со хр аняется кольцевая фо р ма, с увеличением пор ядка зацепления энер гия изгиба растет, а энергия кручения имеет максимум при АЬк = 0,72. При этом полная энергия стремится к постоянному значению и ~ 65 (стрелками обозначено направление возрастания угла а^).
При достижении углом закручивания критического значения акр ~ 10,87 рад (рис. 2, точка 2, через которую проведена вертикальная штрихпунктирная линия) происходит переход от деформированной кольцевой формы к форме в виде во сьмер ки. После чего пр и значении угла а^ = 11,06 р ад (р ис. 2, точка 3) обр азуется пер вый супер виток. Этот пер еход пр оисходит при очень незначительном изменении порядка зацепления АЬк. На данном этапе наблюдается возрастание энергии изгиба при быстром спаде энергии кручения, при этом полная энергия
уменьшается. Это свидетельствует о том, что система при практически неизменном порядке зацепления принимает энергетически более выгодную конфигурацию. Данный результат показывает, что сверхскрученная конфигурация ДНК является энергетически выгодной, так как пр и минимально возможной энергии со хр аня-ется тот же порядок зацепления.
Важно отметить, что как только образуется пер вый супервиток, появляется контакт между двумя соприкасающимися ветвями. Возникает вопрос о необходимости наложения на модель дополнительных ограничений. В этом случае большую р оль игр ает отношение диаметра стержня й к его длине Ь. Так, на рис. 2 это отношение принято равным: к(1 = й/Ь = 0,03. При этом, несмотря на то, что исследуется стержень единичной длины, мы имеем возможность варьировать параметр ка.
Контакт между ветвями можно задать с
помощью функции Хевисайда, включив ее в
функционал и (формула (1) в работе [1]) в качестве дополнительного ограничения:
Ь = W - шаз(я) - ¡1(я)|я| -
- ^^ 3(ф(Н (5 - 1 /4) - Н (5 - 3 /4)),
где ^^ = (^1, ^2, ^3) - множители Лагранжа.
П р и этом появляется дополнительное условие вида:
3 / 4
^(яй = кй,
1 / 4
(1)
которое определяет расстояние между точками осевой линии каждой ветви в месте контакта (рис. 3, справа).
Е стественно, данная модель не задает контакт в полной мер е, а лишь устанавливает геометрические огр аничения. В нашем случае это
Рис. 3. Зависимости энергии изгиба иъ (треугольники), кручения их (квадраты) и полной энергии и (кружки) от соотношения диаметра стержня к его длине кй = й/Ь.
ограничение означает невозможность пересечения одной ветви др угою, т.е. самопер есечение. На рис. 2 точке 3 соответствует геометрическое ограничение = 0,03, при этом супервиток оказывается в со стоянии с минимальной энергией, когда а^ = 11,06 рад. Если теперь устранить это ограничение и продолжать увеличивать угол закручивания а^, то при практически постоянной энергии будет наблюдаться уменьшение порядка зацепления АЬк ^ 0 (участок 3-4, штриховая линия на рис. 2), т.е. сверхспирализация полностью исчезает, чего в пр инципе быть не может. П ри достижении а^ = 4п (рис. 2, последняя иллюстрация) АЬк = 0, пр и этом осевая линия имеет точку самопересечения. Равенство нулю АЬк объясняется следующим: энергия кручения в супервитке близка к нулю, т.е. АТц? = 0, а райзинг для плоской самопересеченной фигуры, согласно его определению [3], тождественно равен нулю, поэтому и АЬк = 0. Это свидетельствует о том, что при изучении сверхскрученных структур необходимо накладывать дополнительные ограничения типа (1).
Как видно из рис. 3, при увеличении отношения кс1 = й/Ь энергия супервитка увеличивается. Поэтому в зависимости от й/Ь точка 3 на рис. 2 может скользить по кривой 2-4, но в окрестности АЬк ~ 1, так как райзинг для одного супервитка ^т ~ 1. Данный факт свидетельствует о том, что длинные молекулы, находящиеся в конфигурации восьмерки, обладают более низкой энергией по сравнению с короткими молекулами.
РАСП РЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ИЗГИБА И К РУЧЕНИЯ ПО ДЛИНЕ КОЛЬЦЕВОЙ МОЛЕКУЛЫ ДНК
Интересно знать, как распределяются напряжения изгиба сь и кручения а( по длине кольца в зависимости от угла закручивания а^. Так как напряжения изгиба пропорциональны деформациям изгиба аь(я) ~ л/и^я)2 + и2(У)2, а напряжения
кручения деформациям кручения а((я) ~ и3(я), то, зная распределение деформаций по длине кольца согласно формуле (8) из работы [1], можно оценить распределение напряжений по длине молекулы (рис. 4).
Распределение напряжений для первого супер витка при кй = 0,03 и С = gt/gъ = 0,8 показано на рис. 5. Видно, что при я = 1/4 и я = 3/4 (эти точки соответствуют местам контакта) напряжения изгиба минимальны, что
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.