Галканов А.Г., кандидат технических наук, доцент
Труб Н.В., старший преподаватель (Московский государственный гуманитарно-экономический университет)
КОМБИНИРОВАННОЕ УМНОЖЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА
Определено понятие комбинированного умножения и перечислены его основные свойства. Ключевые слова. Число, поле, сложение, умножение, обобщённое сложение, свойства.
COMBINED MULTIPLICATION AND ITS PROPERTIES
The concept of combined multiplication and lists its properties.
Keywords. Number, field, addition, multiplication, addition of generalized, properties.
Пусть П = (P, +, есть числовое поле. В частности, П = (М, +, или П = (С, +, , 0, 1 — нуль и единица, +, - есть символы сложения и умножения чисел в этом поле. И пусть A — множество, замкнутое относительно обобщённого сложения у [1] и б: P X A — A — некоторая функция. Значками ◄, ► обозначим начало и конец доказательства свойства.
Определение. Если Q1. Vx е А[б(1, x) = x];
О,. VaeP VxеAVyеA[a(a, y(x, y)) = y(a(a, x), a(a, y))]; Ц. VaeP VfieP VxеA[aXa+P, x) =у(б(а, x), co{fi, x))]; О4. VaeP VfieP Vxe A[б(а-Д x) = a(a, б(Д x))],
то б: P X A —> A называется комбинированным умножением, y = б(а, x) e A — произведением элемента x e a на число a e P.
Свойства комбинированного умножения
10. Vae P Vx e A [3!a(a, x) e A ]. 20. б(0, в) = в, где 0 e P, в e A.
x=y(B, x) О2
◄ б(0, x) = б [О, у(в, x )] = у[б(0, в), б(0, x)], а из того, что у[б(0, в), б(0, x)] = б(0, x), откуда, согласно свойству 10 сложения, следует
б(0, в) = в. ►
30. Vae P [a(a, в) = в], где вe A.
20 О4 20
◄ a(a, в) = б [a, б(0, в)] = a[a- 0, в] = б(0, в) = в. ► 40. Vx e A [a(0, x) = в], где 0 e P, вe A.
◄ Считая, что X — произвольный элемент А, имеем
20 в=у(х, X) □
в = ((0, в) = ([0, у(х, х')] = у(((0, х), ((0, х ')),
т.е. у(((0, х), (о(0, х')) = в. Следовательно, по свойству 60 сложения имеет место эквивалентность
у (((0, х), (0, х' )) = в о ((0, х) = (((0, х' )) V ((0, х' ) = (((0, х))'.
Из равенства (((0, х' )) =((0, х) с учётом х = у(в, х) имеем
□ 20 (((0, х) )=((0, у(в, х)) =2 у(((0, в), ((0, х)) = у (в, ((0, х) ) =
= ((0, х), т.е. (((0, х)) =((0, х). Тогда, согласно 70 свойства сложения, ((0, х) = в. ►
50. Ух е А [((— 1, х) = х '], где —1 е Р, х е А, х' е А.
◄ Считая, что х — произвольный элемент А, имеем
40 П3 □1
в = ((0, х) = ([1 — 1, х] = у(((1, х), ((—1, х)) = у(х, ((—1, х)).
Поскольку по свойству 30 сложения противоположный элемент х' к элементу х единственен, то из полученного равенства у(х, ((—1, х))= = у((( —1, х), х) = в по условию ^4 сложения следует ((—1, х) = х'. ►
60. Уае М Ух е А
((—а, х) = (((а, х))
□ 4
◄ ((—а, х) = ((—1 -а, х) = ((—1, ((а, х)) = (((а, х)) . ► 70. За е М ЗЗ е М(а2 + ¡З2 ф 0)[((а, х) = (З, у) о
о х = ((±З, у) V у = ((±а, х)].
а=1
◄ Слева направо. ((а, х) = ((0, у) ^ х = ((0, у). При а = — 1 имеем
' 60
((—1, х) = ((З, у) о х' = ((З, у) о х = (((З, у)) = ((—З, у).
З=1
((З, у) = ((а, х) ^ у = ((а, х), ((—1, у) = ((а, х) о у' = ((—а, х). Справа налево. Пусть х = ((±0, у). Имеем
□4 а=1
((а, х) = ((а, ((З, у)) ((аЗ, у) ^ ((0, у).
□4 а=—1
((а, х) = ((а, ((—З, у)) ((—а0, у) ^ ((0, у). Пусть теперь у = ((±а, х). Тогда
□4 З=1
((З, у) = ((З, ((а, х)) о(аЗ, х) = ((а, х).
0
□4 р=~\
со(Р, у) = ю((3, со(-а, x)) со(-а(3, x) = со(а, x). ►
ЛИТЕРАТУРА
1. Галканов А.Г. Об одном обобщении понятия сложения// Естественные и технические науки, №6, 2015. - С. 52
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.