теоретическая "»«"«•у.прх; N
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ "
ФИЗИКА :ia^m¡Жflq^lt^,rl>■.''^,
Том 144, № 1 июль, 2005
жттат-^ш' • -■ «Й--; А^пдогаше) .
© 2005 г. М. Дж. Абловиц*, К. Арене*,
Дяс. Бьондини*, С. Чакраварти*, Э. Докерти*
КОМПЕНСАЦИЯ ДИСПЕРСИИ ЗА СЧЕТ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППОВОЙ ЗАДЕРЖКИ УМЕНЬШАЕТ ИНДУЦИРОВАННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯМИ ВРЕМЕННЫЕ СДВИГИ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С УПРАВЛЕНИЕМ ДИСПЕРСИЕЙ
Компенсирующие дисперсию модули с периодической групповой задержкой (ПГЗ) были недавно предложены в качестве механизмов для уменьшения индуцированных столкновениями временных сдвигов в системах с управлением дисперсией. Получены частотный и временной сдвиги в квазилинейных системах с управлением дисперсией с ПГЗ и показано, что значительное уменьшение достигается, когда даже малая доля полной дисперсии компенсируется за счет ПГЗ.
Ключевые слова: нелинейное уравнение Шредингера, оптико-волоконные коммуникации, нелинейная оптика, периодическая групповая задержка, временной сдвиг, управление дисперсией, квазилинейные системы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Индуцированные столкновениями временные сдвиги, т.е. изменения времени прихода сигнала вследствие взаимодействия с сигналами в соседних частотных каналах, являются одной из главных проблем в осуществляющих включение-выключение (on-off-keying) системах с многоканальным разделением по длине волны (wavelength-division-multiplexed systems, WDM). Проблема оказывается сложной, если используется управление дисперсией: из-за периодического изменения знака хроматической дисперсии в зависимости от расстояния импульсы в различных частотных каналах претерпевают зигзагообразное движение по отношению друг к другу, что приводит к взаимодействиям, состоящим из последовательности "мини-столкновений." Более того, малое значение средней дисперсии в этих системах приводит к большим длинам столкновений, озна-
* Department of Applied Mathematics, University of Colorado at Boulder, Boulder, CO 80309-0526, USA. E-mail: markjab@boulder.colorado.edu, ahrensc@colorado.edu, biondini@buffalo.edu, chuck@crestone.uccs.edu, docherty@colorado.edu
пшНг^.
Докерти*
ЗА СЧЕТ ЗАДЕРЖКИ ДАННЫЕ 1НЫЕ СИСТЕМАХ ^СИЕЙ
I задержкой (ПГЗ) О .Н я индуцированных [ жаерсией. Получены , ием дисперсией I лаже малая доля
КОМПЕНСАЦИЯ ДИСПЕРСИИ УМЕНЬШАЕТ ВРЕМЕННЫЕ СДВИГИ 7
чающим, что взаимодействие разворачивается на больших расстояниях. Действительно. в то время как хорошо известно, что умеренное управление дисперсией может давать выигрыш в отношении взаимодействий между каналами, в предельных случаях процесс столкновений может привести к взаимному разрушению двух \УБМ-импульсов [1].
Недавно было предложено использовать модули с периодической групповой задержкой (ПГЗ) как средство уменьшения индуцированных столкновениями временных сдвигов [2]-[4]. ПГЗ-модули [5]-[7] служат для компенсации некоторой доли дисперсии, накапливаемой на каждом участке дисперсионного отображения, причем компенсация остающейся доли дисперсии по-прежнему достигается за счет компенсирующих дисперсию волокон. Преимущество такого подхода к солитонным системам с управлением дисперсией было продемонстрировано как в численных экспериментах [2], [4], так и в прямых экспериментах по передаче сигнала [3]. Цель данной статьи двояка. Во-первых, мы выведем выражения для значения индуцированных столкновениями частотных и временных сдвигов в квазилинейных системах с возвратом к нулю, использующих ПГЗ. Во-вторых, мы используем как наши аналитические результаты, так и прямое численное моделирование, для того чтобы показать, что использование ПГЗ высокоэффективно как средство уменьшения индуцированных столкновениями временных сдвигов в квазилинейных системах с возвратом к нулю. Как и в случае солитонов, основной механизм уменьшения временного сдвига состоит в радикальном уменьшении длины столкновения [2]. Мы также покажем, что сами по себе ПГЗ дают и значительный прямой эффект, который обеспечивает восстанавливающую силу для временного сдвига.
коюконные коммуникации, управление дисперси-
жавзэения времени прихо-^гстотных каналах, яв--зыключение (оп-оЯ-: л-ауеки^Ь^тйюп-используется управ--гческой дисперсии в залах претерпевают к взаимодействи-■е того, малое значе-гтолкновений, озна-
. ВоиИег, СО 80309-biHidiiii@buffalo.edu
4
2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ В СИСТЕМАХ С ПГЗ
Начнем с нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), записанного в безразмерных переменных t = г = г*. и = £/у/и Б = —к"/к", где нормировоч-
ные параметры обозначены звездочкой. Здесь £ - медленно меняющаяся огибающая комплексного оптического поля, и - запаздывающее время и длина распространения. Типичные нормировочные значения суть Р» = 1мВт, 2* = здь = 1/(7Р*) = 400км, = 12пс и к" — ^/г* — 0.36пс2/км, где 7 = 2.5 (Вт-км)-1 - нелинейный коэффициент волокна. Рассмотрим дисперсионное отображение для волокна, состоящего из двух участков (с коэффициентами дисперсии и длинами > 0, и £>2 < 0, 22) и усилителя в волокне с добавками эрбия (УВДЭ), расположенного позади второго волокна. Полная длина отображения есть = + 22, а доля отображения, приходящаяся на аномальное волокно, равна в = га. Здесь д(г) описывает периодическое изменение мощности из-за потерь и усиления, а, Л (г) - дисперсия локальной групповой скорости, причем обе функции являются периодическими с периодом га. При наличии УВДЭ имеем д(г) = (?оехр(—2Г,г) при пга < г < (п + 1)-га> где п - номер отображения, Г - безразмерный коэффициент потерь, а до = 2Тга/(1 — ехр(—2Гга)). Мера эффектов управления дисперсией выражается напряженностью отображения [8] в = [(£>1 - - (£>2 - (Г>>)22]/4, где (Б) - (Б^ + Г^г)/^ - средняя дисперсия.
Для одиночного импульса с нормированной частотой По его среднее положение (£) на
расстоянии г вдоль волокна имеет вид
(¿) = По Г ОД Лх = ПоКЯ)* + ОД], Уо
где
ОД= Г [ОД-<!>)] «¿г ь
- периодическая функция. Предположим, что два импульса и± с частотами =Шо изначально расположены в т^о! начальное временное смещение связано со средним положением столкновений го посредством соотношения ¿о = По {И) го. Мини-столкновения между импульсами при этом возникают, когда (г — го ){Щ + С (г) = 0. Длину столкновения можно оценить как £с = 2я/(О). Полные столкновения - это те, для которых Ьс/2 ^г0 ^ £ - £с/2.
В системах с ПГЗ в каждый участок дисперсионного отображения вставляется ПГЗ-модуль, что дает локальную диспергирующую силу с напряженностью НПГЗ и компенсирует некоторую долю / дисперсии, обусловленной вторым волокном. Другими словами, / = Нпгз/(Д222 + Нпгз) (здесь и далее штрих обозначает величины в системе при наличии ПГЗ). Мы будем считать, что при выполнении этой замены средняя дисперсия, отдельные дисперсии и длина отдела с первым волокном не меняются: 2 = -01,2, — и (£))' = (£>12; + £>2^2 + Нпгз)/7-'а = (-С). Тогда можно найти новые параметры системы: 9' = [(£>1 - £>2)(1 - /)0 - £>2/]/[£>1(1 " Л ~ ¿И < = (0/0')*а и ¿2 = (1 — 9') 2:'а. Полезно определить эффективную среднюю дисперсию формулой (-С)эфф = + £>2^2)12'а- Используя эквивалентное определение напряженности
отображения 2в = (£>1 — {В))г\, можно далее найти новую напряженность отображения в виде в' = [(£>1 — (£>)эфф)/ (£>1 — (-С))]«- Новая длина столкновения при этом равна Ь'с — 2$'/ Ш)Эфф. Распространение оптических импульсов в такой системе управляется возмущенным НУШ:
+ ^£>(z)utt + д{г)\и\2и = iP[u], (1а)
Р[и] = - 1) XI - т2'а)й(Ш' г) (1б)
т=1
(ср. с [9]), где Р[и\ выражает действие ПГЗ во временной области, Р[и] - преобразование Фурье от Р[и], а й(и>, г) - преобразование Фурье от и(£, г) и где Ма - полное число дисперсионных отображений в передающей линии. Функция Н(ш) представляет собой ПГЗ-отклик, который локально аппроксимирует квадратичный дисперсионный профиль, но является периодическим с периодом, равным расстоянию между каналами, в нашем случае 2По. Наконец, <5{г) - дираковская дельта-функция, которая кодирует изменение импульса на концах ПГЗ-модуля: = егН^й(ш,тг'а~).
3. ИНДУЦИРОВАННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯМИ ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ СДВИГИ ПРИ НАЛИЧИИ ПГЗ
Подставляя и = и+ + в уравнения (1) и пренебрегая четырехволновым смешиванием, находим эволюцию и± согласно уравнению (1) с дополнительным слагаемым
^гти,
Э. ДОКЕРТИ
-зстотами ±По изна-| со средним поло-Мини-столкновения "г' =0. Длину стол-это те, для которых
I вставляется ПГЗ-ью Япгз и компен-ом. Другими сло-г величины в системе Е замены средняя дис-к меняются: В'12 = | найти новые па-П2], < = {9/в')га »лисжрсию формулой напряженности аость отображе-I при этом равна ле управляется
(1а)
(16)
~'и] - преобра-:r Na - полное представляет лсперсионный -жду канала-рая кодирует
1АСТОТНЫЕ ШЗ
лновым смеши-слагаемым
КОМПЕНСАЦИЯ ДИСПЕРСИИ УМЕНЬШАЕТ ВРЕМЕННОЕ СДВИГИ 9
2д(г)\и^:\2и± в левой части (1а). Средние время и частота импульса определяются обычными формулами
' Ци±\2А . [ и*±{ди±/дг)(И
Е
где Е = / |tt±|2 dt - энергия импульса. (Все интегралы берутся от -со до оо, если специально не указано иное.) Используя уравнения (1) и тейлоровское приближение второго порядка для Р[и] вблизи и = По при Н(По) = Я'(По) = 0, найдем эволюционные уравнения для средних частоты и времени. Для и+ имеем
ад _ 2£Wy|u+(29|uJ2
дг
Е
dt
-dt,
Ш = D(z)(ü(z)) + Япгз £ Ф - mz'a)m - По), dz
(2а) (26)
m=1
и - И'ЧПЛ Частотный и временной сдвиги тогда равны ДП = Ü(z) - По (при-omi - í «Ím T{t(z])-Di^to.r.eDH = /о Ж*)^былобынакоплен-
ПГЗ как
D„r3(z) = D(z) + Япгз Е - mzá)
m=1
и накапливаемую дисперсию с учетом ПГЗ - как
¿пгз(-г) = / Dnr3{x)dx.
Jo
Эволюция квазилинейного импульса с исходно гауссовым профилем u±(í,0) = (а/\/2ттЬ) ехр[-(< ± ¿o)2/26 ± ¿S70í] в зависимости от расстояния тогда приближенно
описывается выражением [10]
(3)
u±{t,z) —
!27T{b+iD ПГЗ
2(6 + гХ>
ПГЗ
(4а)
(46)
Используя равенство (3) в уравнениях (2), находим
ДОД = ¿0. Г^фЦ-^иШ1-Ш-) А
Уо (Ь2 + Г>2гз(г))3/2 V +
И
Д*(£) = Д,(Ь)ДП(£) - Д^ост + япгз ДП(т<),
т=1
где ¿?о(~) = - {£>)зфф2-0, причем ,4 = 4ЕЬ3/2/\/Ъг, и где "остаточный" временной сдвиг Д*ост равен
(4в)
Уо (б2 + £>2ГЗ(г))3/2 V ¿2+£>2гз(г)У
Уравнение (46) показывает, что из-за ПГ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.