АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2012, том 58, № 4, с. 443-449
АКУСТИЧЕСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ШУМЫ И ВИБРАЦИЯ
УДК 534.121
КОМПЛЕКС АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОГНОЗА ШУМА
В САЛОНЕ САМОЛЕТА
© 2012 г. Б. М. Ефимцов, Л. А. Лазарев
Научно-исследовательский Московский комплекс ЦА1И 105005 Москва, ул. Радио 17 E-mail: efimtsov@prob-lab.ru Поступила в редакцию 10.12.2011 г.
Разработана серия аналитических расчетных моделей для прогноза шума в салоне самолета. Это ор-тотропная модель, модель с дискретными шпангоутами, модель с дискретными стрингерами, модель из изолированных ячеек, модель с перекрестной системой дискретных ребер. Аналитическое решение строится на основе метода пространственных гармонических разложений. Колебания представляются в виде двойных тригонометрических рядов. Строгая периодичность позволяет разбить ряды на большое число независимых групп, что позволяет эффективно производить расчет для больших фрагментов фюзеляжа во всем диапазоне частот как для детерминированных, так и для случайных полей внешних сил.
Ключевые слова: шум в салоне, цилиндрическая оболочка, подкрепленная оболочка, метод пространственных гармонических разложений, турбулентный пограничный слой.
ВВЕДЕНИЕ
Существующие методы расчета колебаний оболочки фюзеляжа и звукового поля в ней, такие как метод конечных элементов, статистический энергетический метод, по-прежнему не позволяют проводить адекватный расчет во всей области звуковых частот. Наибольшую трудность при рассмотрении вибро-акустической задачи о возбуждении системы оболочка фюзеляжа — слои звукоизолирующей конструкции (ЗК) — воздушный объем представляет расчет колебаний ортогонально подкрепленной оболочки. Значительную площадь бортовой конструкции возможно трактовать как состоящую из однородных фрагментов с регулярной системой ребер жесткости (стрингеров и шпангоутов). Регулярность структуры подкрепленной оболочки позволяет использовать аналитические подходы при решении задачи о ее колебаниях. Колебаниям регулярно подкрепленных оболочек, пластин и балок посвящено большое число работ, которые отчасти отражены в обзорах [1—3] и в работах [4—8]. В работе авторов [9] метод пространственных гармонических разложений применен для ортогонально подкрепленной оболочки и обобщен на случай взаимосвязанных колебаний всех трех компонент смещений оболочки и четырех компонент смещений ребер, включая угол поворота. В работе [10] авторами метод обобщен на случай стохастических колебаний и применен для расчета звукового поля внутри замкнутой цилиндрической оболочки под дей-
ствием поля пристеночных пульсаций давления турбулентного пограничного слоя.
В зависимости от частоты возбуждения, а также от пространственных характеристик возбуждающего поля давления, подкрепленная оболочка ведет себя по-разному. В одних случаях ребра и оболочка колеблются как единое целое и можно использовать упрощенную ортотропную модель, в других случаях необходимо рассматривать ребра как дискретные элементы.
В данной работе рассматривается серия из трех аналитических моделей (рис. 1, 2): ортотропной, с размазанными стрингерами и шпангоутами (00); модели с дискретными шпангоутами и размазанными стрингерами (10); наиболее точной и сложной модели с дискретными стрингерами и шпангоутами (11). Здесь в условном номере модели цифра 0 означает "размазывание", а 1 — дискретность, первая цифра — шпангоуты, вторая — стрингеры.
Используемый метод пространственных гармонических разложений основан на разложении колебаний подкрепленной оболочки в двойной тригонометрический ряд по собственным формам колебаний неподкрепленной оболочки. Колебания отдельных ребер раскладываются в одинарный тригонометрический ряд. Ограниченная оболочка рассматривается как часть бесконечной. Для этого на торцах принимается условие, что она свободного опирается на оставленные "половинки" шпангоутов. В соответствии с теоремой Блоха—Флоке для периодических структур
443
3*
Я
Рис. 1. Регулярно подкрепленная ограниченная цилиндрическая оболочка (модель 11).
(а)
(б)
Шпангоуты
Рис. 2. Ортотропная модель 00 (а), модель с дискретными шпангоутами 10 (б).
формы колебаний разбиваются на большое число независимо возбуждаемых групп. В каждой группе форм задача сводится к определению относительно небольшого числа обобщенных реакций ребер. Колебательная скорость конструкции определяется непосредственно, без решения задачи на собственные значения. Все это позволяет эффективно проводить расчет для больших фрагментов исследуемой конструкции практически во всем звуковом диапазоне частот. Для получения точного аналитического решения акустической задачи рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка. Звуковые колебания раскладываются по объемным функциям Бесселя, амплитуды которых определяются из условия равенства нормальных скоростей объема с оболочкой или панелью интерьера. Для простоты реше-
ния используется условие акустически мягких торцов объема.
Описанная в данной работе серия аналитических моделей каркасированной оболочки позволяет проводить расчет детерминированных и случайных колебаний оболочки, а также звукового поля внутри нее в широкой полосе частот, на которых еще справедливы соотношения теории тонкой оболочки.
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Решение для всех трех моделей подкрепленной оболочки рассмотрено в работах [9, 10]. В данной статье не приводятся громоздкие строгие выкладки. Задачей ставится объяснение хода решения и физический смысл конечного выраже-
ния. Поэтому для упрощения в соотношениях используется модель бесконечной подкрепленной оболочки вместо ограниченной оболочки, а вместо трех компонент смещения оставлена единственная нормальная компонента. Разложение для простоты проведено по экспоненциальным функциям, а не по синусам и косинусам.
В основе всех методов решения задач о колебаниях периодических структур лежит использование теорем Блоха—Флоке. Теорема Блоха гласит, что собственные колебания периодических структур, к которым относятся как кристаллические решетки в задачах физики твердого тела, так и рассматриваемая здесь регулярно подкрепленная оболочка, всегда представимы в виде произведения гармонической функции на периодическую. Для бесконечной периодической структуры собственное решение выглядит в виде ур1с = = е'кгирк(г), ирк(г + Я) = ирк(г), где Я — любой из векторов решетки, волновой вектор к определяет фазовые константы а = к^х, в = kydy, ар — номер решения с такими фазами. Колебания соседних ячеек для собственной волны отличаются на эти фазы. Теорема Флоке делает подобное утверждение, относящееся к произвольной линейной системе дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Следствие этих теорем состоит в возможности разбиения функций при разложении колебаний в двойной тригонометрический ряд на большое число независимо возбуждаемых групп функций (форм колебаний). Действительно, периодическую функцию ирк всегда можно разложить в бесконечный ряд по гармоническим функциям с тем же периодом, следовательно, собственное решение урк — в ряд по функциям с теми же фазовыми константами.
При разложении колебаний в ряд по гармоническим формам колебаний связанными оказываются только формы с одинаковыми фазовыми константами. Таким образом, все формы можно разбить на независимые группы форм, число которых равно числу возможных пар фазовых констант. Нормальные смещения оболочки можно представить в виде двойного ряда:
м>(х, у) = ЕЕ
Е
Е еХР '(катх + квпУ)
(1)
кта = (а + 2%т)ёх, к„р = (в + 2пп)/ёу.
Здесь п, т — индексы в группе. Аналогичным образом раскладываются внешние силы q, а также
силы реакций от ребер (стрингеров qS и шпангоутов qR):
я Б д - д - д =
( Ю Ю
ЕЕ Е Е (барпт — бофпт — бофпт) Х (2)
а р \п=-ю т=-ю
Х ехр г(катХ + квпУ)
авпт
— обобщенные внешние силы,
Здесь О,
впт, 0'1впт - обобщенные реакции ребер, рассматриваемые здесь как распределенные по поверхности силы.
Далее отдельно для каждой группы форм решается задача относительно неизвестных обобщенных амплитуд смещения ^арпт. В этом и состоит суть метода пространственных гармонических разложений. Амплитуды можно определять непосредственно, без решения задачи на собственные моды и частоты колебаний. Для каждой формы колебаний оболочки, являющейся ее собственной модой, считаем известным образ упруго инерционного оператора, связывающий обобщенные силы и смещения:
Ка^пт^авпт ба@пт ба@пт ба@пт.
(3)
Образ зависит от теории, применяемой для оболочки. Условимся далее называть его просто жесткостью моды, а обратную к нему величину -податливостью. В расчетах применялись матричные соотношения согласно теории оболочки Гольденвейзера-Новожилова.
Предполагается, что ребра взаимодействуют с оболочкой по линиям. Смещения ребер и действующие на них силы раскладываются по формам ехр('арЯ + /кпру), ехр('вр5 + ''ктах), непрерывным вдоль ребер и дискретным в поперечном направлении:
м>'
( ж Л
1(рЕ,у) = ЕЕ е'а Е ехр 1(кпРу)
а р \ п=—ж ( ж
дЯ(РЯ,У) = ёхЕЕ е'аР Е ехр'(^у)
(4)
(х,рБ) = ЕЕ е'в Е ^вт ехр'(ктах)
( В ж Л
дБ(х,рБ) = ёуЕЕ Е б^ртехр'(Ках)
а в \ п=-ж
У
Здесь рЯ, р5 — номера ребер, ЖаЯап, Ж^ — обобщен-
ные смещения сразу всех шпангоутов и всех стрин я С)Б
авп, бар
геров. б<Ярп, — обобщенные силы, действующие
на ребра. Они имеют несколько иной физический
смысл, чем Q^nm, Qlp,nm в выражении (2). Формы колебаний для ребер в точности совпадают (для бесконечных систем) вдоль линий ребер с формами, по которым раскладываются колебания оболочки, действительно, exp(ikampRdx) = exp(iapR), exp(ike„pSdy) = exp(i'PpS). Для каждого отдельного ребра эти формы совпадают с их собственными модами.
Обобщенные смещения и силы для ребер связаны образами операторов, зависящими от используемой для них теории:
K afin^^afin Qaftn, K a^mWa^m Qafîm- (5)
Обобщенные силы и жесткости для ребер делятся на шаг их расстановки dx, dy, чтобы эти силы имели ту же размерность, что и силы для оболочки. Поскольку формы оболочки вдоль ребер полностью совпадают с формами ребер, то обобщенные смещения ребер есть суммы обобщенных смещений оболочки с теми же тремя индексами по четвертому ин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.