ФИЗИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
532.529.5
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОТНОСТЬ СУСПЕНЗИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССАХ © 2014 г. В. С. Федотовский, А. И. Орлов, С. В. Лунина, Е. А. Пильщикова
Физико-энергетический институт им. А.И. Лейпунского 249033 Обнинск, пл. Бондаренко 1
E-mail: fedotovsky@ippe.ru Поступила в редакцию 16.05.2013 г.
Рассмотрены эффективные инерционно-вязкие свойства суспензий, проявляющиеся в колебательно-волновых процессах. На основе ячеечной модели концентрированных суспензий получена зависимость для комплексной плотности, действительная часть которой характеризует эффективную инерционность, а мнимая — объемное вязкое сопротивление колебательному движению. Из гидродинамических моделей низкочастотных и высокочастотных поступательных колебаний сферических включений в несущей жидкости получены оценки внутренних динамических параметров суспензии — коэффициента присоединенной массы и времени релаксации включений, конкретизирующих формулы общего вида для комплексной плотности.
Ключевые слова: суспензии, колебания, динамическая плотность, релаксационная дисперсия звука. DOI: 10.7868/S0320791914020051
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 2, с. 173-178
УДК
ВВЕДЕНИЕ
В колебательно-волновой динамике дисперсных сред межфазное взаимодействие несущей жидкости с включениями играет существенную роль в скорости распространения и затухания звука [1—4] и может учитываться в эффективных динамических свойствах. Одно из таких свойств, комплексная динамическая плотность, учитывает инерционно-вязкое взаимодействие компонентов при их относительных поступательных колебаниях. Действительная часть комплексной плотности характеризует собственно инерционные свойства суспензии, а мнимая часть — объемные силы вязкого сопротивления или трансляционную вязкость [5]. В значительной мере комплексная динамическая плотность совместно с эффективной объемной упругостью определяют скорость и затухание звука в дисперсных средах [6, 7].
Известные модели комплексной плотности дисперсных сред (как жидких, так и твердых) [8— 10] были основаны на изучении гидродинамических и акустических процессов рассеяния звука на одиночной сферической частице без учета влияния объемной концентрации включений. Позднее процессы многократного рассеяния на включениях рассматривались на концентрированных дисперсных средах [4].
В данной работе рассмотрены гидродинамические аспекты взаимодействия твердых сферических включений с несжимаемой несущей жидкостью при поступательных колебаниях концентрированных суспензий. На основе ячеечной
модели получены релаксационные зависимости общего вида для комплексной плотности, содержащие такие внутренние динамические параметры, как коэффициент присоединенной массы и время релаксации включений. В свою очередь, для этих внутренних параметров также получены зависимости от физических свойств компонентов, объемной концентрации включений и частоты колебаний суспензии.
ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СУСПЕНЗИИ
Взвешенные в жидкости включения совершают колебания под действием осциллирующего поля давления, инерционных и вязких сил сопротивления. Уравнение движения сферических включений в несущей жидкости имеет вид [5, 7]
И^ + т£(V - и) + %(V - и) = (4/3) пра3 ^, (1) dt dt dt
где и — колебательная скорость дисперсной среды (скорость движения геометрического центра представительного объема или элементарной ячейки с одним включением), V — колебательная
скорость включений, И = (4/3) пр0а3 — масса включения радиусом а, т — присоединенная масса, р — плотность жидкости, £, — коэффициент вязкого сопротивления. Правая часть уравнения представляет выталкивающую архимедову силу, действующую на включения в результате уско-
ренного движения суспензии под действием сил давления.
Вводя обозначения для коэффициента присоединенной массы у = т/ (4/3) про3, относительной плотности А = р0/р и времени релаксации включений т = (М + т)/2,, уравнение (1) запишем в виде
& - ли( 1±уУ - и) = 0. (2)
йг йг ^Д + у^ т
Задав амплитудное значение скорости гармонических поступательных колебаний элемента суспензии и0, из решения уравнения (2) нетрудно получить амплитуды дисперсионной и диссипа-тивной составляющих скорости включений У'{) и
К0", определяющих кинематику их движения в несущей жидкости
1 + у
+ -
1
V' _ А + у (сот)
ио
1+
1
(3)
1 -А
К = А + у
ио ЮТ1+ . 1
(4)
М
р* (/ю) = р* (<а) - -п* (ю).
ю
(6)
Действительная часть описывает эффективную инерционность суспензии или собственно динамическую плотность р*(ю), а мнимая — коэффициент объемного вязкого сопротивления колебательному движению или трансляционную вязкость суспензии п* (ю).
Формулы для р*(ю) и П* (ю) можно получить, например, следующим образом. Записав амплитудное значение импульса представительного элемента дисперсной среды единичного объема, со-
вершающего поступательные колебания, как сумму импульсов несущей жидкости и включений
I/ + I- = Р(ио - ^о'а) + роКо'а,
(7)
где а — объемная концентрация включений, и приравняв его импульсу псевдооднородной среды I* = р* ио, получим
/■ л
1 - % а
и о ,
>. о )
Р* И = Р
V,'
+ Р ото а. и о
(8)
Подставив (3) в (8), получим формулу для динамической плотности суспензии [5]
Р* И = р-
1 + у
1
- у (ют)
(ют)
р (А- 1)а.
(9)
Трансляционную вязкость суспензии п* можно определить по средней за период колебаний скорости диссипации энергии (йЕ/йг), возникающей при относительном движении включений и несущей жидкости
* , ч 2(йЕ/йг)
п* И _ Л _
_ Ьда
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОТНОСТЬ
Относительное колебательное движение включений и несущей жидкости обуславливает их динамическое инерционно-вязкое взаимодействие и существенно влияет на связь силы давления, действующей на единичный представительный объем суспензии, с его колебательным ускорением. Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением, зависящий от физических свойств компонентов, геометрических параметров и частоты колебаний, есть эффективная комплексная динамическая плотность суспензии
(4/3)
па
и2
^2 _ Р(А + у)а Фо
2
V ио
(10)
где Жо = (V' - ио) + V" — квадрат амплитудной
относительной скорости включений. Как следует из (3), (4),
^о
ио
1 -А
Д + у,
/Г
1 + -
1
(ют)
(11)
Подставив (11) в (10), получим формулу для трансляционной вязкости суспензии [5]:
П* (®) = ■
р (1 - А) а
т (А + у)
1 + ■
м _
(12)
Релаксационные зависимости (9), (12), как и другие известные зависимости для комплексной плотности разбавленных суспензий [8—10], имеют простой физический смысл, состоящий в том, что при уменьшении параметра ют колебательная подвижность включений относительно несущей жидкости уменьшается. Соответственно, при ют ^ 0 динамическая плотность стремится к истинной плотности смеси ртк = роа + р (1 -а), а трансляционная вязкость стремится к нулю. В другом предельном случае ют ^ да динамическая плот-
ность суспензии стремится к высокочастотному пределу
Р* = Р
1 +
(1 + у)(А -1) а" А + у
(13)
а трансляционная вязкость возрастает по закону ю1/2 (мнимая часть комплексной плотности
* П*
убывает как ю 1/2).
В частности, для сферических включений в идеальной несжимаемой жидкости (1/ют = 0) коэффициент присоединенной массы, определенный по ячеечной модели, удовлетворительно описывается формулой
У о = (14)
2 (1 - а)
а формула для динамической плотности (13) в этом случае принимает вид [11]
р* = р (2 + а)А + (1 -а)
■ (15)
2 (1 - а) А + (1 + 2а) Интересно отметить, что формула (15) совпадает с известной формулой Максвелла для эффективного сопротивления Я* (термического, электрического и др.) дисперсной среды со сферическими включениями, если вместо относительной плотности А = р0/р подставить относительное удельное сопротивление включений А = Я0/Я [12]. В этом смысле и полученная обобщенная зависимость (13) является аналогом формулы для удельного термического сопротивления дисперсного материала с включениями произвольной формы.
Возвращаясь к суспензии, образованной вязкой жидкостью и твердыми сферическими включениями, конкретизируем зависимости для коэффициентов вязкого сопротивления £,, присоединенной массы у, определяющих время релаксации включений т:
т = (4/3)яра3 (Д + у)Д. (16)
Если рассматривать разбавленную суспензию (а <§ 1), то, следуя известной формуле для гидродинамической силы, действующей на колеблющееся в вязкой жидкости сферическое тело [13], коэффициенты присоединенной массы и вязкого сопротивления можно записать в виде
^ 2 ( 2а,
\ = бща I1 + -),
(17)
(18)
где 5 = (2п/рю)2, а — радиус включения, п — вязкость жидкости. Формула (16) в этом случае принимает вид
т _ 2ра
2п
^А +1 + — 2 4а
1+а
(19)
Как видно из (17), (19), коэффициент присоединенной массы и время релаксации включений, входящие в формулы для динамической плотности и трансляционной вязкости (9), (12), зависят от параметра 8/а или от частоты колебаний суспензии. Кроме того, внутренние динамические параметры суспензии, как будет показано ниже, зависят от объемной концентрации включений, что существенно влияет на характер релаксационных зависимостей эффективных динамических свойств (9) и (12) концентрированных суспензий.
В отличие от разбавленных суспензий, для которых формулы (17), (19) справедливы при любых частотах колебаний, для концентрированных суспензий относительно простые формулы могут быть получены лишь в предельных случаях низкочастотных и высокочастотных колебаний. Определим внутренние динамические параметры у и т для концентрированных суспензий при малых и больших колебательных числах Рейнольдса
(Яеш = ра2 ю/п), по-прежнему предполагая, что амплитуда поступательных колебаний суспензии существенно меньше радиуса включений.
Исходя из ячеечной модели суспензии примем, что сферическая ячейка жидкости радиусом Ь с содержащимся в ней твердым сферическим включением является представительным элементом суспензии с объемной концентрацией включений а = (а/Ь)3. При малых колебательных числах Рейнольдса возмущенное движение жидкости в ячейке определяется вязкими силами и находится из решения стационарного уравнения
Стокса Ур = пУ и. При условии прилипания жидкости на пов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.