ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 1, с. 54-64
Институт химии растворов им. Г.А. Крестова РАН, Иваново *Ивановский государственный химико-технологический университет **Ивановский государственный политехнический университет zueva_galina15@mail.ru Поступила в редакцию 10.01.2014 г.
Сформулирован и аналитически решен ряд задач тепло- и массопереноса в процессе сушки неограниченного цилиндра, в том числе задача Стефана с движущейся границей раздела жидкой и паровой фаз. Учтены факторы различной природы, интенсифицирующие явления переноса в процессе сушки. С помощью полученных моделей осуществлено расчетно-экспериментальное исследование процесса сушки на примере единичных целлюлозосодержащих волокон. Проведено сопоставление расчетных и экспериментальных данных по сушке волокон. Проанализирована область применения предложенной модели сушки.
УДК 662.612
КОМПЛЕКСНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕПЛО-И МАССОПЕРЕНОСА В ПРОЦЕССЕ СУШКИ НЕОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ © 2015 г. |В. А. Падохйн|, Г. А. Зуева*, Г. Н. Кокурина*, Н. Е. Кочкина, С. В. Федосов**
Б01: 10.7868/80040357115010108
ВВЕДЕНИЕ
Сушка является одним из наиболее распространенных процессов в химической технологии. В зависимости от природы, особенностей и свойств материалов, решаемых технологических задач для интенсификации явлений тепломассо-переноса в процессах сушки могут быть использованы различные приемы, например: комбинированный конвективно-лучистый подвод энергии; циклические режимы, создаваемые осцилляцией скорости сушильного агента, продуваемого через слой материала; чередование циклов нагрева и охлаждения при облучении электромагнитным полем; совмещение сушки с механическими процессами [1—11]. Так, установлено, что совмещение сушки дисперсных материалов с их механической ударно-импульсной активацией в комбинированных аппаратах позволяет существенно интенсифицировать явления внешнего и внутреннего тепло- и массопереноса [7, 10, 11]. Для ряда материалов, структура и свойства которых особо чувствительны к длительным температурным воздействиям, в частности, для природных волокон, нами предложен двухстадийный процесс их сушки в комбинированных центробежно-вихревых сушилках. Он включает в себя стадию высокоскоростного прогрева волокон до заданной температуры, осуществляемую на первой ступени сушилки, и стадию, собственно, сушки, проводимую на ее второй ступени. На данном
этапе исследований предполагалось, что на стадии прогрева и сушки материала могут действовать различные способы интенсификации явлений тепло- и массопереноса.
Для создания надежных методов расчета и оптимизации стадий процесса сушки в комбинированных аппаратах необходимы корректные математические модели. При математическом описании явлений переноса в процессах сушки используют, чаще всего, аналитические методы классической теории теплопроводности или же численные методы. Наряду с аналитическими методами классической теории теплопроводности для математического описания процесса сушки могут быть использованы неклассические аналитические методы теории теплопроводности. К таким методам можно отнести, в частности, оригинальный метод дифференциальных рядов, впервые разработанный в работах Э.М. Карташова и Б.Я. Любова применительно к решению задач нестационарной теплопроводности для областей с подвижными границами [12—15]. Данный метод оказался весьма эффективным для решения задач нестационарного тепло- и массопереноса, осложненных фазовыми переходами первого рода, в которых закон движения границы заранее неизвестен (кристаллизация, сублимация и т.п.). Кроме того, он позволяет получать "физически прозрачные" аналитические решения ряда весьма сложных краевых задач тепло- и массопереноса при
любом виде граничных условий. Целью данной работы являлось комплексное описание нестационарного тепло- и массопереноса при сушке тел цилиндрической формы с помощью аналитических методов теории теплопроводности.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Представим условно весь процесс сушки в виде стадий прогрева и, собственно, сушки. В соответствии с теорией сушки "выделим" два последовательных ее периода: первый период — период постоянной скорости сушки (внешнедиффузи-онный кинетический режим сушки); второй период — период падающей скорости испарения (внутридиффузионный режим).
Период прогрева. Для выбора оптимальных режимов стадии прогрева и последующей сушки бесконечного цилиндра необходимо знать динамику температурного поля в нем. Будем полагать, что на стадии прогрева цилиндра, (например, в центробежно-вихревых сушилках или же других подобных устройствах), факторами, интенсифицирующими явления переноса, являются: конвективный теплообмен, внутренние источники теплоты, инициированные механическим ударно-импульсным нагружением цилиндра и подводом лучистой энергии. Основные условия и допущения, принятые при постановке задачи можно сформулировать следующим образом. Перенос теплоты в цилиндре осуществляется теплопроводностью. Начальное распределение температуры по радиусу цилиндра /(г), (0 < г < Я) является неравномерным. Цилиндрическое тело находится в потоке газа с переменной температурой 0(0. Теплообмен между поверхностью цилиндра и несущей средой происходит по закону Ньютона. Одновременно волокно подвергается механическому ударно-импульсному воздействию, при этом в нем порождаются внутренние нестационарные источники теплоты. Полагаем, в первом приближении, что импульсные источники теплоты,
действующие в моменты нагружения ^ (/ = 1...п) имеют удельную мощность А; они распределены по радиусу цилиндра равномерно и суммарная удельная тепловая мощность, выделившаяся к опреде-
п
ленному моменту времени #(?) = £ Л^ -).
I=1
На поверхность цилиндра падает также поток лучистой энергии от излучателей, установленных на первой ступени двухступенчатой сушилки. Поглощение веществом волокна лучистой энергии, происходящее по закону Бугера—Ламберта— Бера, порождает в нем объемные источники теплоты удельной тепловой мощностью д(г) =
= — ю)ехр(—— г)), зависящей только от радиуса — г. Математическая формулировка задачи имеет вид:
дТ (г, 0
д1
= а
Гд 2Т (г, ^ 1 дТ (г, t)
дг2
дг
+1 £ лм - ^+
су
+ (1 -ю)£ехр(-ц(Я - г)), t > 0, 0 < г < Я;
су
Т (г, 0) = / (г); дТ (0,0
дг
= 0; Т(0,0
(1)
(2) (3)
^ЗЩО = а с () _ Т(Я, t)). (4)
дг
Требуется найти Т(г, I), при I > 0, 0 < г < Я.
Решить данную задачу "в лоб", применив преобразование Лапласа непосредственно к уравнениям (1)—(4), не удается в силу сложности выражений для плотностей тепловыделений, часть из которых зависит только от I, а часть только от г. Рассмотрим метод расчета нестационарного температурного поля применительно к цилиндрическому телу при сформулированных выше условиях, воспользовавшись подходом, предложенным в [16—17].
Полагаем, что начиная с момента времени I = 0, мощность тепловыделения # и температура окружающей среды 9 начинают изменяться во времени. Рассмотрим случай, когда тепловыделение изменяется на одно и то же значение во всех точках цилиндра.
Обозначим через Т(г) — стационарное температурное поле в цилиндре при I < 0, а через Т (г, t) нестационарное температурное поле в цилиндре при t > 0. Представим величины д(г, I), 9(1), Т(г, I) в виде постоянных и переменных во времени составляющих:
Я(г, 0 = Яв(г) + Я, (0,
0(0 = 0, +0, (0, I (5)
Т (г,,) = Т (г) + Т(г ,Р), где д&), 9,(0, Т(г, I) — переменные составляющие соответствующих величин. Здесь
п
Я(г,^ = |(1 - ю)£ехр(-|(Я - г)) + £- ti). (6)
I=1
Для Т(г) справедливо следующее уравнение:
(7)
га Т (г)+1 ОВД ^
ёг
г ёг
+ (1 -ю)£ ехр(-ц(Я - г)) = 0, 0 < г < Я
су
при граничных условиях ёТ (0) ёг
= 0,
-Ь аТ(Я) = агс(Т(Я) -0,).
ёг
(8) (9)
Для Т(г, I) справедливо уравнение (1) с начальным условием Т(г, I) = Т(г) и граничными условиями (3), (4).
Вычитая из уравнения (1) уравнение (7), а из граничных условий (3), (4) граничные условия (8), (9), учитывая при этом (5) и переходя к безраз-
г а
мерным переменным ц = —, т = —, получаем
уравнение, начальное и граничные условия для переменной составляющей температуры Т (г, t):
1 1 п
дТЖТ^д^ТХх) +1дЖТ+£у 5(Т_ ). (ю)
дт ЯГ Г ЯГ 1 ¿—I
5С С 5С X % Т(С,0) = 0, дТ (0, т)
= 0;
дТ (1, т)
= -Б1(Т(1, т) -0t(т)),
(11) (12)
(13)
(14)
п2 2
+ — IX Ат/0(ц т^)еХР(-Ц т(т-т'))^ (т')й т'.
0
Здесь /0(|аО — функции Бесселя первого рода нулевого порядка,
2В1
А = •
Ц т[(1 + Б1)/1<Ц т) + Ц „^(Ц „)] 2/1<Ц т) Цт[/0(Цм) + 112(Цм)]'
Вт =
2И-т В1
_ ^щЛ^щ)
(1 + Б1) /1( ^ т ) + ^ „/:( ^ „ ) /02(^ т ) + /2(р, т )
(15)
, (16)
Найдем температуру Т,(г) (стационарный случай). Для этого решим задачу (7)—(9), полагая, что источники теплоты распределены по радиусу равномерно. Уравнение (7) удобно записать в виде:
й Т(г) , 1 йТ р,
йг
г йг X
+ ^(1 -ю)Е ехр(Я - г)) = 0 (17)
или
IА (гЩ + Ш = 0. (18)
г йг\ йг ! X Дважды интегрируя данное уравнение по г и, проведя ряд несложных операций, получим решение задачи (8)—(9) в виде
Т(г) = —(1 - ю)Е ехр(-^Я) х цХ
Ш п /
у (1 - 1
\ п=2
Яп +
ХпЯ
1-1
• - г I +
а
(19)
Запишем решение задачи в безразмерных пере-
где В1 = . X
Решаем эту задачу, используя операционный метод [11, 12, 20]. Применим преобразование Лапласа относительно т. Проведя ряд промежуточных вычислений, которые здесь опущены, получим окончательное выражение для "избыточной температуры":
т да
Т(£,т) = IXВт/0(цтОехр(-цт(т - тт(т')йт' +
0 т=1
я г
менных с = —: Я
1
Т(0 = — (1 - ю)Еехр(-цЯ) X
ЦА
п I л-
у (1 - 1
„п !\ п,
V п=2
Яп + А«яп_1 - ^Я)п | + 0
а
(20)
Выражение (20) позволяет вычислить температуру в любой произвольной точке цилиндра Т(ф, сформированную к моменту времени I = 0. Зная ее, нетрудно найти температуру цилиндра в любой момент времени
Т (С, т) = Т (С) + Т (С, т) =
г» „, л
= —(1 - ю)Е ехр(-цЯ) цХ
Уп!(( п,
V п=2
Яп +
ХпЯ
п-1
а г
- (СЯ)п 1 + 0, +
(21)
IX Вт/0(ЦтС)ехр(-Ц2т(т - т)^(т')йт' +
0 т=1
+ Я
!Х-1 |У А„/ 0(ц тС)ехр(-ц 2т(т - т^ (т')й т'.
И т - корни уравнения 1 т\ = , а /0(ц т) и
/1(йт) В1
/1(ц т) — функции Бесселя пер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.