ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, №2 август, 2005
' \ , I, н
© 2005 г. Н. Олвер*, И. В. Барашенков*
КОМПЛЕКСНОЕ УРАВНЕНИЕ СИНУС-ГОРДОН-2:
НОВЫЙ АЛГОРИТМ ПОЛУЧЕНИЯ МНОГОВИХРЕВЫХ РЕШЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ
Для второй интегрируемой комплексификации уравнения синус-Гордон на плоскости получено новое преобразование, повышающее вихревое число решения. Новое преобразование состоит из произведения всего четырех отображений Шлезингера пятого уравнения Пенлеве в себя и позволяет строить п-вихревые решения более эффективно, чем известное ранее преобразование, состоящее из произведения 2п таких отображений.
Ключевые слова: вихри, преобразования Беклунда, пятое уравнение Пенлеве, комплексное уравнение синус-Гордон. -,!
1. Комплексное уравнение синус-Гордон, известное также как модель Редже-Лунда, возникает в ряде моделей теории поля [1]. В пространстве размерности (2+0) уравнение принимает вид ,,.
- ^ + ^ + = о "" Н (1)
(здесь и далее V = \дх + }ду.) Будем называть уравнение (1) комплексным уравнением синус-Гордон-1 с тем, чтобы отличать его от другой интегрируемой комплексификации уравнения синус-Гордон - так называемого комплексного уравнения синус-Гордон-2:
Эта модель также известна с конца 1970-х годов, когда она была введена в пространстве размерности (1 +1) [2]. Названия проистекают из того факта, что если считать ф вещественным и подставить ф = эт(а/2) в уравнение (1) и ф = л/2 эт(а/4) в уравнение (2), то обе системы редуцируются к стандартному вещественному уравнению синус-Гордон
'Department of Mathematics, University of Cape Town, Rondebosch 7701, South Africa. E-mail: igor@maths. uct .ac. za
r
406 н. ОЛВЕР, И.В. БАРАШЕНКОВ ítA'HrX'íi*í» i Л <"•
V2a + sin а = 0. В физической литературе эти две модели обычно определяются соот-
ветствующими функционалами действия
С А. ■ к«:
d2x.
Недавний подъем интереса к комплексным уравнениям синус-Гордон связан с тем, что они представляют собой интегрируемые массивные возмущения конформных теорий поля [3]. Имеется, однако, и еще одно основание для более детального рассмотрения этих систем. Среди всех уравнений для одного комплексного поля, обладающих вихревыми решениями, уравнения синус-Гордон-1 и -2 являются единственными двумя системами, в которых вихревые (в тот числе и многовихревые) решения известны в явном виде [4], [5]. Тем самым они представляют собой уникальную лабораторию для анализа общих свойств топологических солитонов на плоскости. Последнее обстоятельство может оказаться существенным для целого ряда моделей, таких как уравнения Грос-са-Питаевского и ферромагнетиков с анизотропией типа "легкая плоскость", где вихри поддаются только численному анализу.
Многовихревые (в частности, коаксиальные) решения комплексного уравнения си-нус-Гордон-2 были получены посредством преобразований Шлезингера пятого уравнения Пенлеве [4]. Процедура весьма непроста: для построения n-вихревого решения отображение Шлезингера приходится применять 2п раз, причем тот факт, что (п -1)-вихревое решение уже известно, никаких преимуществ для построения п-вихревого не дает. Напротив, для комплексного уравнения синус-Гордон-1 имеется одношаговая рекурсивная процедура, позволяющая построить n-вихревое решение по известному (п-1)-вихревому. Цель данной работы - сформулировать аналогичную рекурсивную процедуру для комплексного уравнения синус-Гордон-2.
2. Коаксиальная n-вихревая конфигурация имеет вид ip(r,9) = Ql/2(г)егпв. Подстановка этого анзаца в уравнение (2) приводит к уравнению для радиальной "амплитуды" Qn, которое мы запишем в виде ^ ¡ ¡^-( ¿'7)
$П~г 7-, * |,Ч ~ А
dPQn+ ldQr 1 " /Jn х2
dr2 г dr
+ +<?nd-Qn)(2-<?„) +
. (a2- b2)Qn 4а2(1 - Qn) 7Qn(2 - Qn) _
r2(2 - Qn) + r2Qn(2 - Qn) 2r l4W
где а = 7 = 0и6 = —2 п. Поскольку два последних слагаемых в уравнении (3) тождественно равны нулю, такая форма записи может показаться несколько искусственной. Причина, по которой мы рассматриваем уравнение (3) с произвольными а, Ь, и 7, состоит
КОМПЛЕКСНОЕ УРАВНЕНИЕ СИНУС-ГОРДОН-2
407
в наличии преобразований, связывающих решения с различными наборами параметров. Действительно, замена переменных [4] 1
• .«/> '.:■} .»шт^с.-' .и'п а - •«. Чп — ^ _ цг адгЛш- (4)
переводит уравнение (3) в пятое уравнение Пенлеве:
<Р\У \(Ш 3\У-1 /с1\У\2_(\У-1)2( £\ \У{\У +1)
<*г2 2\¥(\У-1)\<1г) ~ г2 И" И" г +* цг_1 '
где а = а2/2, /3=—Ь2/2и<$ = 2. Пятое уравнение Пенлеве является ковариантным относительно преобразования Шлезингера [6], которое переводит решение \У со значениями параметров а, Ь, -у и <5 в решение W того же уравнения со значениями параметров
Л
и 6 = 6. Здесь с - одно из двух значений, для которых с2 = — 2<5; в нашем случае можно без потери общности положить с = 2г. В терминах фиф = 2(1 — И^)-1 прямое и обратное преобразования Шлезингера имеют вид
*
<2 = 1-
- 2)
¿0 (¿(а + Ь) - 2а
йг г
+ » Ш _ (д-1)(о + Ь-1) + ¿7 0(0-2)1 л- г 2г
(ба)
(бб)
Если <2(°) = - решение уравнения (3) с параметрами а^0^ = 7^ = 0и&(°) = -2п, то, применяя преобразование (6а), получаем решение ф = (¿(^ с параметрами
,-) : 2\ с ) 2'
(0) \ 1 :Н •
м". »'К-;.- 1
" - ^ ' 6(1) = \ (> + Ь(0) + ^ —
? ' - 7(1) = 2г(б(°) - а<°>) = —4гп. ^ • '
>!КЯ. ! НШК'Д* V- ч"' !Л'ДН'.,1Г,. >'«•:
Поскольку а^1) и ненулевые, а Ь^ не является целым отрицательным четным числом, то ф^1) не представляет собой амплитуду никакого многовихревого решения. Далее, снова используя (6а), на этот раз при С} =
и <? = С}(2), получаем решение с параметрами ч ¡а ■• \ ¡п •>.•• - : .и«». е.г • '¡~аь ■ ■.
. (1)\ - 1 а(2)= 1^(1)+^) . ,.Г; I
•г
! * .!<У-М-П-Х 7 • !• .Л.!. „•:,&••
■а эъл^ап гч'чет ¿,(2) = I [ а(1) + ¿,(1) _ 1 + 1_] = _2п _ 1 ¡к жтггл;
^ яке I ^ V с / ' .-1 , , (-''УЗ'-,
408
Н. ОЛВЕР, И. В. БАРАШЕНКОВ
Таким образом, произведение преобразований <2^ —> являющееся произведением двух вышеупомянутых преобразований, уменьшает а и Ь на единицу. Заметим, что хотя 7 теперь нулевое, (¿^ по-прежнему не является многовихревым решением (поскольку а(2) ненулевое). Ключевое наблюдение теперь состоит в том, что уравнение (3) содержит зависимость только от квадрата а, поэтому является решением уравнения (3) нетолько приа = —1, Ь = —2 п — 1, но и одновременно при а = +1, Ь = —2 п— 1. Повторение двух приведенных выше преобразований уменьшает и а, и Ь еще на одну единицу, и в результате получаем а= О, Ь^ = — 2га — 2. Соответствующим решением поэтому будет (¿п+1 - многовихревая конфигурация с вихревым числом п + 1. Таким образом, преобразование <2^ —»■ состоящее из произведения четырех отображений Шлезингера, является не чем иным, как повышающим вихревое число преобразованием
(^п Яп+1-
Начав с тривиального "вихря" фо = 1 и рекуррентно применяя преобразование £?п —> <2п+ъ можно построить многовихревые решения с любым наперед заданным вихревым числом. Из вида преобразования следует, что все <2„ будут рациональными функциями г. Одно-, двух- и трехвихревые амплитуды таковы:
г2 г4 (г2 + 24)2
= „2 ^ 4' =
<?3 =
г2+4' г8+ 64r6 + 1152r4+9216Г2 + 36864'
г6 (г6 + 144г4 + 5760r2 + 92160)2
D3 где
£>з = г18 + 324г16 + 41472г14 + 2820096г12 + 114130944г10 + 2919628800г8+ + 50960793600г6 + 61152952300г4 + 4892236185600г2 + 19568944742400.
Эти решения совпадают, разумеется, с построенными ранее [4], однако наш новый алгоритм намного проще.
3. Таким образом, мы построили преобразование, повышающее вихревое число (топологический заряд) для радиально-симметричных многовихревых решений комплексного уравнения синус-Гордон-2. Это преобразование позволяет строить коаксиальные многовихревые решения рекуррентным способом "от п к п + 1" и является намного более эффективным подходом, чем применявшаяся ранее процедура "от 0 к п" [4]. В новом подходе многовихревые решения с вихревым числом п + 1 (получение которых ранее требовало 2(п +1) шагов [4]) получаются из га-вихревых всего за 4 шага.
Помимо вычислительных преимуществ, существование повышающего вихревое число преобразования указывает на сильное сходство двух интегрируемых комплексифи-каций уравнения синус-Гордон, а именно комплексных уравнений синус-Гордон-2 и си-нус-Гордон-1. Преобразования этого типа сыграли центральную роль в построении некоаксиальных многовихревых решений комплексного уравнения синус-Гордон-1 [5]. Наличие повышающего вихревое число преобразования указывает на то, что явные некоаксиальные многовихревые решения должны также существовать и у комплексного уравнения синус-Гордон-2. .....11 - ^ - -
являющееся произведением а единицу. Заметим, что хотя кревым решением (поскольку том, что уравнение (3) содер-егся решением уравнения (3) а = +1, Ь = -2п - 1. Повто-и а, и Ь еще на одну единицу, :твующим решением (¿(^ по-1ым числом п + 1. Таким обленил четырех отображений свое число преобразованием
) применяя преобразование эбым наперед заданным вих-будут рациональными функ-
16г2 + 36864' £
„ю
г10 + 2919628800г®+ >0г2+ 19568944742400. 4], однако наш новый алго-
иощее вихревое число (то-февых решений комплекс-нет строить коаксиальные 1" и является намного бо-ура "от 0 к п" [4]. В новом получение которых ранее о за 4 шага.
ышающего вихревое чис-грируемых комплексифи-ний синус-Гордон-2 и си-ьную роль в построении гения синус-Гордон-1 [5]. вает на то, что явные не-вовать и у комплексного
КОМПЛЕКСНОЕ УРАВНЕНИЕ СИНУС-ГОРДОН-2
409
Благодарности. Работа была поддержана со стороны NRF of South Africa, грант № 2053723, Johnson Bequest Fund и URC of the University of Cape Town.
Список литературы
[1] К. Pohlmeyer. Commun.Math. Phys. 1976. V. 46. P. 207; F. Lund, T. Regge. Phys. Rev. D. 1976. V. 14. P. 1524; Б. С. Гетманов. Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 25. С. 132; A. Neveu, N. Papanicolaou. Commun. Math. Phys. 1978. V. 58. P. 31.
[2] S. Sciuto. Phys. Lett. B. 1980. V. 90. P. 75; Б. С. Гетманов. ТМФ. 1981. Т. 48. С. 13.
[3] V. A. Fateev. Int. J. Mod. Phys. A. 1991. V. 6. P. 2109; I. Bakas. Int. J. Mod. Phys. A. 1994. V. 9. P. 3443; Q-H. Park. Phys. Lett. B. 1994. V. 328. P. 329; V.A. Brazhnikov. Nucl. Phys. B. 1997. V. 501. P. 685; I. Bakas, J. Sonnenschein. JHEP. 2002. V. 0212. P.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.