ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 3-13
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 62-50
КОМПОЗИТНЫЙ РЕГУЛЯТОР В ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ* © 2014 г. М. Г. Дмитриев, Д. А. Макаров
Москва, ИСА РАН, Научно-исследовательский университет "Высшая школа экономики", Поступила в редакцию 11.07.14 г., после доработки 23.07.14 г.
Рассматривается подход к построению стабилизирующей обратной связи для линейной нестационарной системы. Подход основывается на эвристическом выделении двух упрощенных подсистем меньшей размерности, для них строятся стабилизирующие регуляторы, которые затем объединяются в составной (композитный) регулятор. Работа обобщает ранее известные результаты, что может привести к значительному расширению области применимости композитного управления. Последнее иллюстрируется на ряде примеров.
Б01: 10.7868/80002338814060055
Введение. Широкий спектр прикладных задач автоматизации описывается с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Синтез управления для таких систем может быть затруднен большой размерностью, "жесткостью" при вычислениях, зависимостью коэффициентов от времени и другими факторами. Поэтому для исследования и управления широко применяются подходы, основанные на использовании асимптотического анализа: методы осреднения на большом временном интервале [1], регулярных возмущений [2], например, связанные с учетом слабых связей между подсистемами [3], и сингулярных возмущений [4—6].
Конечно, само понятие малого или большого параметра не является четким. Строгие математические утверждения, гарантирующие корректность асимптотического анализа, как правило, не включают в себя практические случаи и применение асимптотики в численных расчетах, вообще говоря, выступает нестрогим, эвристическим приемом. Очевидно, что выбор малых или больших постоянных своего рода искусство и может опираться, с одной стороны, на анализ прецедентов, а с другой — на использование знаний о свойствах моделей. Например, знания о подгруппе асимптотически устойчивых движений позволяют выдвинуть гипотезу, что соответствующие переменные могут быть объявлены быстрыми и, следовательно, получить конкретный способ декомпозиции системы управления.
После выбора условных малых параметров проводится соответствующий асимптотический анализ и получаются приближения к решению. Такие приближенные решения, если параметр не является малым, могут содержать некоторую информацию, элементы знаний о качественной структуре решения. Поэтому представляет интерес применение принципа разделения движений при построении стабилизирующих управлений, где не требуется существование малого параметра, а его выделение является эвристическим приемом.
Данная статья посвящена более полному изложению подхода авторов к построению композитного управления, предложенного в [7]. Этот подход связан с выделением при части производных условного малого параметра, который становится своеобразной "меткой" "быстрой" подсистемы. В итоге в системе управления выделяются две подсистемы меньшей размерности, в каждой из которых строится своя стабилизирующая обратная связь. Затем эти обратные связи объединяются в составное (композитное) стабилизирующее управление. Отличительной особенностью предлагаемого подхода является более общий матричный критерий устойчивости замкнутой системы, позволяющий расширить область применения композитного управления.
В настоящей статье излагается алгоритм построения композитного регулятора на основе регуляторов подсистем, рассматриваются частные случаи критерия устойчивости, гарантирующие робастность замкнутой системы относительно выделяемого условного малого параметра, а также несколько примеров, иллюстрирующих расширение области применения композитного управления.
* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00692).
Практическая значимость работы обуславливается возможностью построения системы управления объектами, адекватно описываемыми линейными нестационарными системами дифференциальных уравнений большой размерности.
1. Постановка задачи. Пусть имеем систему
x = A(t)x + B(t)u, x e R"+m, x(t0) = x0, которая может быть представлена в виде
y = A(t)y + A2(t)z + B1(t)u, y e Ry(t0) = y0, (11)
sz = A3(t)y + A^(t)z + B2(t)u, z e Rm, z(fQ) = z' где s = const > 0 — некоторый положительный параметр, не обязательно малый; y, z — фазовые
координаты подсистем; u е Rг — управление; t е [t0,да),t0 > 0. Далее для краткости записи не будем указывать зависимость нестационарных матриц из (1.1) от времени t.
Сделаем следующие допущения:
все нестационарные матрицы в (1.1) равномерно ограничены по t;
A-1 существует при Vt е [t0,да).
Требуется построить управление в виде линейной обратной связи по состоянию, такое, что замкнутая система будет равномерно асимптотически устойчива по Ляпунову для каждого положительного значения параметра s из некоторого интервала.
Такая задача при малых s, т.е. для сингулярно возмущенных систем управления (1.1), рассматривалась в многочисленных публикациях [5, 6]. При этом приводилась естественная для сингулярно возмущенных систем приближенная декомпозиция исходной системы на две подсистемы управления, где в каждой строится своя стабилизирующая обратная связь, которые потом объединяются в составной (композитный) регулятор, стабилизирующий исходную систему (1.1).
Здесь приводится более общий алгоритм построения композитного регулятора, заключающийся в построении суммы двух регуляторов, построенных на основе декомпозиции системы управления. Этот регулятор позволяет стабилизировать (1.1) при значениях параметра s, не являющихся обязательно малыми.
2. Схема декомпозиции управляемой системы и структура регулятора. В исходной системе выделяется группа движений с условно превалирующими по модулю коэффициентами в правой части. В этой группе движений выделяется условно малый положительный параметр s при производных (в простейшем случае s можно положить равным 1). Выделенная группа движений считается условно "быстрой", остальная группа движений — условно "медленной".
Далее строится управление us для "медленной" подсистемы
у, = (A - A2A4-1A3)ys + (B - A2A4-1B2)Us, (2.1)
получающейся из (1.1) при s = 0 и подстановке корня zs = -A41(A3у, + B2us) соответствующей алгебраической системы в дифференциальное уравнение для у. Наличие нижнего индекса "s" в (2.1) означает вырождение системы (1.1), т.е. отсутствие "быстрой" динамики.
Второе управление uf строится для "быстрой" подсистемы, полученной из (1.1) с помощью замены Zf = z - z, = z + A-1(A3 у, + BjU,):
z/ = A4 zf + f uf + ну U 01 u^ (2.2)
H(y, u01 u^ = Aу/ + d[A-1(A3уs + B2u,C,))L у/ = у - у,.
где
- У + 71
8 7
Будем искать управления в подсистемах с помощью линейных обратных связей по состоянию: и. (у.) = N. (,)у. и и у ) = Му (0-2/, где N.(0, Му (,) — некоторые матрицы, выбор которых будет описан ниже. При таком выборе управления член Н из (2.2) имеет вид
H = A yf + d [A41(A3 y, + B2us (ys))] = A yf + d [A41(A3 + B2Ns )y , ] = s dt s dt
A3
= — Уг + s
^ + Ni(Ai - A2 A4-1 A3 + (Bj - A2A-lB2)N s) dt
У, ,
N1 = A4-1(A3 + B2Ns ).
Обычно в работах, связанных с композитным управлением для сингулярно возмущенных задач управления, при построении управления uf пренебрегают членом H в (2.2). Такое допущение можно обосновать при достаточно малом s. В этом случае управление Uf в (2.2) будет близко для каждого параметра 0 е [t0,да) к управлению в пограничном слое [5], т.е. к управлению в "упрощенной" задаче:
dZL = MtyZf + B2(®uf, (2.3)
dx
где т = t / е — "быстрое" время.
Несмотря на то, что в данной работе параметр s не предполагается малым, сделаем два общепринятых допущения.
1. Управление "быстрой" подсистемой будем также находить из задачи (2.3).
2. В итоговом композитном управлении uc вместо ys будем использовать у. Отличительной особенностью работы является поиск итогового композитного управления uc
при произвольном s > 0 в виде суммы двух векторов uc = C1u, + C2uf, где C1, C2 — корректирующие постоянные квадратные матрицы соответствующей размерности, выбор которых позволяет сделать полностью независимым определение управлений us, Uf с точки зрения последующих требований к uc.
Таким образом, итоговое композитное управление uc для системы (1.1) будет иметь вид uc(y, z) = Cu, (У, )| y, =y + C2uf (Zf, У, )| y, =y = CiN sy + C2MfZf
= CiN ,y + C2(Mf (z + A41 (A3 y + B2N,y))) = (2.4)
= (CiN, + C2MfA-1 (A3 + B2Ns ))y + C2Mfz.
3. Построение функции Ляпунова. Подставляя (2.4) в (1.1), получаем замкнутую систему
У = (Ai + BiKy )y + (A2 + BiKz )z, &Z = (A3 + B2Ky )y + (A4 + B2KZ )z, Ky (t) = CiN, + C2MfA-l(A3 + B2N ,), Kz (t) = C2Mf
(3.1)
или
у = А1У + А 2 г, ег = А3У + А г, где
А() = А + Б1КУ, А2Ц) = А2 + Б1К1,
Аз(0 = А3 + Б2 Ку, ) = А4 + Б2 К,.
Пусть А4-1 существует при каждом I > t0. Теперь, следуя [8], в (3.1) производим замену переменных:
V = У, V 2 = г + А^у. (3.2) Приходим к системе
V = ^ + (3.3)
V 2 = A4 V2 + {d; + Ш) V1 + ^2}, (3.4)
где к (t) = A;1 A3, jR(t) = A - A2 A4-1A3.
В [8] на основе работы [9] показано, что композитный линейный регулятор uc = u, + uf является стабилизирующим для системы (1.1) при достаточно малых s > 0. Далее будем использовать схему рассуждений из [8], не предполагая, что s > 0 достаточно мало. Рассмотрим две подсистемы:
p = (A - A2A-1 A^p, (3.5)
q = A4(Q)q, (3.6)
где 0 — фиксированный параметр, 0e [t0,да). Введем следующие условия.
Ус л о в и е 1. Положение равновесия p = 0 в (3.5) равномерно асимптотически устойчиво и известна такая квадратичная форма W1(p, t) = p Np, где N(t) — положительно определенная матрица при каждом t > t0 (что здесь и далее будем обозначать как N(t) > 0), что производная W1 в сит
лу (3.5) есть квадратичная форма W2(p) = -p Q1 p с некоторой постоянной матрицей Q1 > 0.
Иными словами, известно решение следующего дифференциального матричного уравнения:
dN + RTN + N11 = -Q1, Q = const > 0, (3.7)
dt 1
относительно N при произвольно заданной постоянной положительно определенной матрице Q1. Согласно [10], равном
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.