КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ФОТОНА АТОМОМ С ОТКРЫТОЙ ОБОЛОЧКОЙ
В одноконфигурационном приближении Хартри -Фока вне рамок широко используемого в литературе импульсного приближения построена нерелятивистская квантовая теория нерезонансного комптоновского рассеяния рентгеновского фотона свободным многоэлектронным атомом с открытой оболочкой в основном состоянии. Переход к атому с заполненными оболочками воспроизводит результаты, полученные ранее в работах авторов [6,7]. Представлены результаты тестового расчета для атомов с открытой (Тл, Ре) и заполненной (%п) Зй-оболочкой остова. Учтены эффекты радиальной релаксации одноэлектронных состояний в поле остовных вакансий. Результаты расчета хорошо согласуются с результатами эксперимента [15,16]. Установлено, что в исследованных диапазонах энергий рентгеновского фотона результаты импульсного приближения не только количественно, но и качественно не согласуются с результатами нашей теории. В частности, в окрестности линии упругого (томсоновского и рэлеевского) рассеяния импульсное приближение приводит к сильной переоценке вкладов в вероятность рассеяния от глубоких оболочек атома, участвующих в неупругом рассеянии фотона лишь виртуально. Представляемая теория носит общий характер и ее применимость к тому или иному элементу таблицы Менделеева с открытой оболочкой остова или многоэлектронному атомному иону ограничена лишь требованием корректности использования нерелятивистского приближения Хартри-Фока при описании волновых функций состояний рассеяния.
А. Н. Хоперский* А. М. Надолинский
Ростовский государственный университет путей сообщения 344038. Ростов-на-Дону. Россия
Поступила в редакцию 9 февраля 2012 г.
Нерезонансное (контактное; в представлении диаграмм Фейнмана в вершине взаимодействия сходятся четыре линии: падающего и рассеянного фотонов, возбужденного электрона и вакансии) комптоновское рассеяние фотона многоэлектронным атомом один из фундаментальных процессов в микромире. Экспериментальное и теоретическое исследование соответствующих энергетических областей спектров рассеяния дает богатую информацию как о рассеивающей системе, многочастичных эффектах и их квантовой интерференции, так и о квантовомеханической природе и математической структуре оператора рассеяния.
1. ВВЕДЕНИЕ
Амплитуда вероятности этого процесса в нерелятивистском приближении (для волновых функций состояний рассеяния и оператора перехода) как матричный элемент оператора контактного перехода
в гамильтониане взаимодействия электромагнитного поля с электронами атома традиционно рассматривается (см., например, недавний обзор [1]) в импульсном приближении (или его модификациях) [2 4]. Здесь Ап = Л(г„,0) оператор поля в представлении вторичного квантования, г„ радиус-вектор /¿-го электрона атома, N число электронов в атоме, в заряд электрона и те его масса, с скорость света в вакууме. Однако, как показали, в частности, наши исследования [5 7], в широких диапазонах энергий рентгеновского фотона и углов рассеяния импульсное приближение становится существенно некорректным. Так, в частности, одно из базовых условий применимости импульсного приближения, записанное в форме неравенства [4]
С = Лц/Л^! - й^г) 1 -с 1
Е-таП: Ьорегяку- \гт_ 1'fflrgups.ru
(формально математически некорректно отбрасывание величины с," в аргументе обобщенной ¿-функции
Дирака), эквивалентно исключению из рассмотрения величин энергий Гщи порогов ионизации /¿1/1 -оболочек атома. Здесь и>1 (и^) круговая частота падающего (рассеянного) фотона. Это, в свою очередь, приводит к переоценке вкладов атомных оболочек в вероятность рассеяния. В самом деле, при Ь.и-2 > — /„1/1 атомные оболочки ионизируются лишь виртуально. Как результат, в указанной области энергий рассеянного фотона вклад атомных /¿1/1-оболочск в вероятность рассеяния становится исчезаюгце малым.
Нерелятивистская квантовая теория вне рамок импульсного приближения для свободного атома с 15'о-термом основного состояния построена в работах авторов [5 7]. В данной работе мы проводим обобщение этой теории на случай свободного атома с открытой Л'-, [)-, (1- или /-оболочкой в основном состоянии. Для проверки теории исследованы абсолютные значения и форма сечений нерезонансного ком-птоновского рассеяния рентгеновского фотона атомами титана (Т1, заряд ядра атома Я = 22, конфигурация и терм основного состояния А = 73<-/24л;2(*^2), 7 = 1я22я22р63я23р6) и железа (Го, 2 = 26, А = = 73<164л'2(5£>4)) с открытой З^-оболочкой остова. С целыо демонстрации динамики сечений в последовательности элементов с заполняющейся З^-оболоч-кой приведены результаты расчета для атома цинка (2п, Я = 30, А = 73<1104л'2(15'о)) из работы авторов [7]. Мы не ставили перед собой задачи проведения обзора результатов огромного массива опубликованных в литературе экспериментальных и теоретических работ по исследованию процесса рассеяния рентгеновского фотона, в частности, 'М-элементами (от атома Бс, Я = 21 до атома Ъп, Я = 30) таблицы Менделеева. Атомы Ть Го и Ъ\\ (несмотря на их практическую ценность, например, как подгруппы биологически важных элементов, так и для астрофизики) взяты не более как пример для демонстрации основных положений развиваемой в данной работе нерелятивистской теории.
2. ТЕОРИЯ
Рассмотрим процесс нерезонансного комптонов-ского (и>2 < и>1) рассеяния линейно поляризованного фотона /¿1/1-оболочкой атома вида
Ты\ + А -¥ В + (1)
где (заполненные оболочки конфигураций здесь и далее не указаны)
А = //,/,4 (Г). В = П1/^1_1(Т1)е/(Т'),
/ = 0,1,... ,оо, Т = LSJ, ni/i</, el > /,
/ уровень Ферми (совокупность квантовых чисел валентной оболочки атома), Ni число заполнения /¿1/1-оболочки, Т, Т\ и Т' термы основного, промежуточного и конечного состояний атома, е энергия электрона сплошного спектра. Здесь и далее мы не учитываем эффект спин-орбитального расщепления оболочек атомного остова. С учетом структуры нерелятивистского С-оператора контактного взаимодействия электромагнитного поля с электронами атома для дважды дифференциального сечения процесса (1) в атомной системе единиц (е = Н = ш, = 1) имеем [4, 5]
оо
(Tnih = »o(ei • e2)2ß J Hn.i.Gn.i.ile, (2)
о
Hnih = [j]-1 Y, E I"'!2- (3)
T\T' MM'
N
W = £(.1. M\ oxp(<(q • г* ))| В, M'), (4)
k=1
ni/l ) . (5) 7 b J
В формулах (2) (5) обозначено:
<ynii1 = d2a„.1i1/duj2(K},
П пространственный угол вылета рассеянного фотона, Го классический радиус электрона, ei(e2) вектор поляризации падающего (рассеянного) фотона, ß = ui-2/u>i, [J] = 2J + 1, М (М') проекция полного J (J1)-момента, q = k 1 k2 переданный атому импульс, ki (k-2) волновой вектор падающего (рассеянного) фотона, 7ь = = Г;,сат/2\/1п 2, T'bcam ширина на половине максимума инструментальной функции Гаусса Лапласа GП111, Дщ/i = —oJ2 — Inih ■ Если спектральное разрешение эксперимента (ТьСат.) 110 превосходит естественную ширину распада (по каналам оже- и радиационного типов) /¿i/i-вакансии (Г,,^ = 27„.1;1), то функция Гаусса Лапласа (5) заменяется функцией Коши Лоренца
Lnih = b'mijn) [(Дщ/! - г)2 + 0',271/J 1 •
Конкретизируем аналитическую структуру величины Я,,^! из (3), следуя методам теории неприводимых тензорных операторов [8]. Детально отразим
Gmh —
охр
все этапы построения. Представим экспоненту в (4) двойным функциональным рядом:
expi/iq • i'/. )) =
ОО t
t=0 m=—t
Cl'H а) =
4тг
м
У im (в а , <Ра )
1 MV-
tl \2
(1
2 \t
cos(хг) dz
(6)
(7)
(8)
Здесь >/.т сферическая функция, сферическая функция Бесселя первого рода порядка I (в интегральном представлении Пуассона [9]),
с
гк = |г*|, 0 угол рассеяния (угол между векторами к! и к2), ва, <ра сферические углы вектора а. Учтем теорему Вигнера Эккарта,
A,M\Q^\B,M') =
j'-M' I J' t J \ —M' in M
= (-D
^4||Q(,)p) , (9)
для матричного элемента оператора рассеяния по мультнполыюстн t
N
QW = Т,с1г!,Чп)Мчгк).
(10)
к=1
Учтем также условие ортогональности 3,у'-снмволов Вигнера (6и/ символ Кронекера Вейерштрасса),
Ем
j' t j
X
ММ'
-М' in М у
( J' f J
-М1 т1 М
х
— 6ц'6п
(11)
и теорему сложения сферических функций,
I.
Е И^
m=—t
= 1.
(12)
Тогда с учетом выражений (6)—(12) из (3) получаем:
ОО
Т\Т' 1=0
(13)
В (9) в схеме LS-связи определен приведенный матричный элемент [10]:
х (l^LSWI^iLtSt)!^ х L J S 1
} х
J' V t J
х (/i||C(,)||/) i?,(m/i,e/), (14)
Rt(n1l1,£l)= I Pnih (r)j,.(qr)Pei(r)dr. (15)
В выражении (14) наличие множителя 6s,s' отражает факт сохранения полного спина атомной системы при нерезонансном комптоновском рассеянии фотона атомом. В формуле (15) P„,i радиальная часть волновой функции /¿/-электрона, волновые функции nik-электронов, riili < /, получены решением нере-лятнвнстскнх одноконфнгурацнонных ннтегроднф-ференцпальных уравнений самосогласованного поля Хартри Фока [11] для конфигурации А, волновые функции е/ электронов сплошного спектра получены решением уравнений Хартри Фока для конфигурации В (в поле /¿i/i-ваканснн). Изменение хартри-фоковского потенциала атомного остатка в результате появления /¿i/i-вакансии приводит к эффекту радиальной релаксации к ядру остов-ных одноэлектронных состояний конфигурации В и, как результат, к делокализации состояний сплошного спектра. Методы учета (методы теории неортогональных орбпталей [10]) соответствующей аналитической модификации радиальных частей амплитуд вероятностей перехода (15) представлены в работах [5 7]. Например, в случае перехода 2р ef по мультипольности t = 2 вместо (15) для исследуемых в данной работе атомов имеем:
R2(2po,ef+) i?2(2//,£■/+),
где определена (в обозначениях Дирака) корреляционная волновая функция
|2//) = Дг2р (|2/>о) — п'|3/>о)),
а =
{2ро\Зр+)
(Зро\Зр+)'
ОО
(2р0\3р+) = j Р-2р0 (г)Рзр+(г) dr.
Здесь АТ2Р произведение интегралов перекрывания радиальных частей волновых функций электронов, не участвующих в переходе, состояния /о получены в хартри-фоковском поле конфигурации А, а состояния /+ в хартри-фоковском поле 2/>вакан-сии конфигурации В.
Заметим, что в импульсном приближении волновая функция электрона сплошного спектра рассматривается в виде плоской волны [2 4]. Таким образом, в этом приб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.